PDA

توجه ! این یک نسخه آرشیو شده میباشد و در این حالت شما عکسی را مشاهده نمیکنید برای مشاهده کامل متن و عکسها بر روی لینک مقابل کلیک کنید : تقارن محوری



HAMEDZH2
Saturday 7 February 2009-1, 01:15 PM
تقارن محوری


تعریف

تقارن محوری تبدیلی است که با خطی راست که محور تقارن نامیده می شود مشخص می شود . قرینه نقطهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.png نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png نقطهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4a463326c6c092594513f1403232fcab.png است در صورتی که، خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png عمود منصف پاره خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/514ec9d52481412fd69daba91e040770.png باشد .
هرگاه نقطهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4a463326c6c092594513f1403232fcab.png قرینه نقطهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.png نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png باشد آن را با نمادhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8d3fc84e6aa301dbb5d74f6f4be779e9.png نشان می دهیم .هر نقطه که روی خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png باشد قرینه اش نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png بر خودش منطبق است . در این تقارن خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png را محور تقارن می نامیم و قرینه ، قرینه محوری است . ار تعریف بالا به سادگی نتیجه می شود که قرینه قرینه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.pngنسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png بر خودhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.png منطبق است ، یعنی :
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/67fdad01b55c609fc49138a526caf98a.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/c/cb/mathm0014a.JPG

خواص تقارن محوری


خاصیت اول.

در تقارن محوری قرینه هر خط راست که با محور تقارن متقاطع باشد خطی است راست که از نقطه تقاطع آن خط با محور تقارن می گذرد و زاویه ان با محور برابر است با زاویه همان خط با محور. اگر خط با محور موازی باشد قرینه آن نیز با محور موازی و خط و قرینه اش از محور به یک فاصله می باشند . ( به شکل های الف و ب توجه کنید)

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/7/74/mathm0014b.JPG
(الف)

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/0d/mathm0014c.JPG
(ب)

اثبات.
اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1a6d41033061d8c5cfc5f57e7d6abbcc.png قرینهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png نسبت بهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png باشد و از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1a6d41033061d8c5cfc5f57e7d6abbcc.pngبه محل تلاقی خط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93e4305be32ae003ccddf6e0bbeab9f6.pngبا خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png وصل کنیم ، خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/68c72e0259159b42c4bb1841ee487ecd.png قرینه خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93e4305be32ae003ccddf6e0bbeab9f6.png نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png است .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/d/da/mathm0014d.JPG
اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3c87ba493fd840ce39c5283a94d765bc.png نقطه ی دلخواهی از خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93e4305be32ae003ccddf6e0bbeab9f6.png باشد و از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3c87ba493fd840ce39c5283a94d765bc.pngبر خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png عمود کنیم تا امتداد آن خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/68c72e0259159b42c4bb1841ee487ecd.png را درhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9e39ed9f1562e4e3ccc5ad2151bd86c7.png قطع کند، از تساوی دو مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5c030fe2d4baa3449744452de05b9e0f.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42c649e4d4bb96af1427cdb95154b0e8.png ( ز-ض-ز) نتیجه می شود که :
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/57f10e0752127b38f0eb9e329f45a025.png
یعنیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a1d15250822efe879063bf5f7485be8b.png ، پس قرینه ی هر نقطه دلخواه خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93e4305be32ae003ccddf6e0bbeab9f6.png نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png رویhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/68c72e0259159b42c4bb1841ee487ecd.png می افتد و هم چنین بر عکس ، ثابت می شود که هر نقطه خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/93e4305be32ae003ccddf6e0bbeab9f6.png قرینه یک نقطه خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/68c72e0259159b42c4bb1841ee487ecd.png نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png است ، یعنی : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/88eab6b27f49df4d4dcc0b289b3d667e.png

نتیجه ۱.

قرینه محوری هر پاره خط با ان مساوی است .

نتیجه ۲.

قرینه محوری هر زاویه زاویه ای است مساوی با آن .

نتیجه ۳.

تبدیل یافته هر شکل در تقارن محوری با آن شکل برابر است .
اما تساوی ، تساوی معکوس است . زیرا طرز قرار گرفتن زاویه ها و راس های نظیر در دو شکل هندسی در دو جهت مختلف است .

خاصیت دوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن با محورهای موازی یک انتقال است .
اثبات.
با توجه به شکل داریمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/194e94442ccdeb2fbd11043d912a0423.png ، بنابراین :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/6a/mathm0014e.JPG
پس می توان نوشت :
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8b0dc5ee1ba149a88f5f8b061679859.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9c563183218e251905ffd19b93ddfc95.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/67/mathm0014f.JPG

خاصیت سوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای متقاطع یک دوران است که مرکز دوران همان محل برخورد محورها و زاویه ی دوران دو برابر زاویه ی بین دو محور می باشد .
اثبات.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/7/72/mathm0014g.JPG

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/6d/mathm0014h.JPG

نتیجه ۱.

اگر دو محور بر هم عمود باشندhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/dc7bb2ad187c20b85f6ec964d291cbd9.png آنگاه زاویه ی دوران ۱۸۰ است یعنی نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای عمود بر هم یک تقارن مرکز است .

محور تقارن


تعریف.

هر گاه قرینه هر نقطه از شکلhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.png نسبت به خط ثابتhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.png بر روی خود شکل قرار گیرد خط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.pngرا محور تقارن شکل گوییم . یک شکل ممکن است چندین محور تقارن داشته باشد .
خاصیت چهارم. بنا به نتیجه (۱) و تعریف بالا هر گاه شکلی دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، دارای مرکزتقارن است و محل تلاقی دو محور تقارن خواهد بود . مانند بیضی ، دایره، مربع و …

خاصیت پنجم.

هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngضلعی منتظم دارایhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png محور تقارن است . اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngفرد باشد این محورهای تقارن از یک راس و وسط یک ضلع می گذرند مانند مثلث متساوی الاضلاع ، پنج ضلعی منتظم و … و اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.png زوج باشد نصف محورهای تقارن از وسط های اضلاع و نصف دیگر از راس ها می گذرند مانند مربع ، شش ضلعی منتظم و … هم چنین دایره بی شمار محور تقارن دارد .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/2/2f/mathm0014i.JPG
(الف)
(ب)


خاصیت ششم.

دو دایره با شعاع های مساوی و مرکز های متمایز دارای دو محور تقارن عمود بر هم می باشد و دو دایره با شعاع های نامساوی و مرکز های متمایز دارای یک محور تقارن می باشند که این محور تقارن امتداد خط المرکزین آن هااست و مماس مشترک های دو دایره نسبت به آن قرینه اند . هم چنین دو دایره متحد المرکز دارای بی‌شمار محورتقارن هستند.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/04/mathm0014j.JPG
(الف)
(ب)


خاصیت هفتم.

هر خط راست بی شمار محور تقارن دارد . نیم خط محور تقارن ندارد و پاره خط یک محور تقارن دارد که عمودمنصف آن است .

مساله‌ ۱.

بین تمام مثلث هایی که قاعدهو مساحت برابر دارند محیط مثلثی مینیمم است که متساوی الساقین باشد .
حل. فرض کنید مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5009359556adabe2498edd1a73f77a1f.png باشد، که ارتفاع آنhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9931759f5dcc840f8ba0d69f57171669.png است ، حال اگر قاعده مشترک راhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png بنامیم و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/42a5f0032d97163c15c63cbd2d7007d4.pngمساحت باشد؛ چونhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c67dbc8b22738f1eecf0de94147dbd09.png پس ارتفاع ثابت است و مکان هندسی راسhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png دو خط موازیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4cbe95420f38b4667c9d6e002d05571f.png می باشد .
حال برای آن که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d07092d8efa1a5044641568e761c56a9.pngمینیمم باشد (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4cbe95420f38b4667c9d6e002d05571f.pngثابت است ) قرینه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7f3525d483a47caf79690f9622e6ffe5.pngرا نسبت به خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png پیدا می کنیم و آن راhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0071cf4c101960a40174fb92487a9f42.png می نامیم . ازhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/3c87ba493fd840ce39c5283a94d765bc.png بهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0071cf4c101960a40174fb92487a9f42.png وصل می کنیم تاhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png را قطع کند . محل تقاطع راhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a71f12f397ddd1f9c6c9bc6bf5ade344.png می نامیم . چونhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4cbe95420f38b4667c9d6e002d05571f.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png موازیند، پسhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.pngوhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87d800e93cdca0554bbf44446b0c7c68.png مساوی و مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5009359556adabe2498edd1a73f77a1f.png متساوی الساقین است .

مساله‌ ۲.

مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/5009359556adabe2498edd1a73f77a1f.png و نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7a25b865e1eb8fc36b98cdd1baed692a.pngروی ضلع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4cbe95420f38b4667c9d6e002d05571f.pngمفروض است ، نقاطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f7b4f648468a9889700516c2b592e53e.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.pngرا رویhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87d800e93cdca0554bbf44446b0c7c68.pngطوری بیابید که محیط مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c640622ff01ebf448c9ac267036ba9e9.png کمترین مقدار ممکن را داشته باشد .
حل. فرض کنیدhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fef5cd5a28b541eb9aba4c6bf5552c29.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/95070917718f04156a37b20582e64796.png قرینه هایhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7a25b865e1eb8fc36b98cdd1baed692a.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.pngوhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87d800e93cdca0554bbf44446b0c7c68.png باشند . اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/315615a76dd7c282945ebd7439f03e4f.png،http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87d800e93cdca0554bbf44446b0c7c68.pngرا درhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f7b4f648468a9889700516c2b592e53e.pngوhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/712aca2c23db5611207713f4db69867c.png قطع کند ادعا می کنیم مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c640622ff01ebf448c9ac267036ba9e9.png مثلث مطلوب است وتوجه کنید کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d2f7eae0999b6440490fc362c7ce0efb.png . پس محیط مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c640622ff01ebf448c9ac267036ba9e9.png برابر طول پاره خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/315615a76dd7c282945ebd7439f03e4f.png است . مشابهاً اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0f4b24919d937947579789b4e2bdd91a.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1cd585f681165f5f7a8e2d7c9e8cf30b.png نقاط دیگری رویhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/77c431fbe2536cc427b4b09aa778e72a.png باشند محیط مثلث http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1fe8e4872af17d272e685b7d30824480.pngبرابر طول پاره خط شکستهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e9ae6ae101e754190e059ee98e55007d.png است که به وضوح از طول پاره خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/315615a76dd7c282945ebd7439f03e4f.png که برابر محیط مثلثhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c640622ff01ebf448c9ac267036ba9e9.png بود، بیشتر است . پس مثلث http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c640622ff01ebf448c9ac267036ba9e9.pngکمترین محیط را دارد .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/2/24/mathm0014k.JPG

مساله ۳.

تمام http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngهایی را پیدا کنید که بتوان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f120302f595acc3d7b0e4b5b7c4320d5.pngمربع یکسان را طوری در صفحه قرار داد که اضلاع آنها افقی و عمودی باشد و شکل حاصل حداقل سه محور تقارن داشته باشد .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/9/9d/mathm0014l.JPG
حل. فرض کنیدhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/489415f022e4bef69a7fb3626f4fcfd8.pngیکی از مربع های مذکور باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/81144ac8ac95d6ab024305933f9a36b1.pngیکی از محورهای تقارن وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png خطی موازی خطی افق وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c727859d24f4dd49476c8dab5d6a7afa.png قرینه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b480977d529a45aa6bbae64b7d1bb09c.pngنسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/81144ac8ac95d6ab024305933f9a36b1.pngباشد . داریم :
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/0494a84edcebc32d9bf4365e49b5887b.png
کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a0ef048cb6c77b04f4279706f5690a1f.png ( مطابق شکل ) . حال از آنجا کهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c727859d24f4dd49476c8dab5d6a7afa.png یکی از اضلاع مربع های موجود در صفحه است دو حالت داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/1/1d/mathm0014m.JPG
پس محورهای تقارن با یکدیگر و سطح افق زاویه ۴۵ یا ۹۰ درجه می سازند . زیرا اضلاع مربعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/489415f022e4bef69a7fb3626f4fcfd8.png ، یا موازی محور یا عمود بر آن می باشند . از طرف دیگر ممکن استhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/81144ac8ac95d6ab024305933f9a36b1.png ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9315813f39d07612f8d30c99abe25c00.png را قطع نکند و داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ce8da212368a76f8ddb73611c0bec364.png . پس چهار نوع تقارن داریم ، که در شکل شماره گذاری شده اند :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/6/62/mathm0014n.JPG
دو حالت داریم :
الف.فرض می کنیم هیچ دو محور تقارنی موازی نباشند پس یا محور تقارن های ۱و۳ با هم وجود دارند، یا محور تقارن های ۲و۴ با هم وجود دارند .
زیرا طبق اصلا لانه کبوتری اگر دو دسته (۳و۱) و (۴و۲) را در نظر بگیریم ، از یک دسته حتماً دو عضوآن انتخاب می شود؛ چون حداقل ۳ محور تقارن داشتیم .
بدون کم شدن از عمومیت مسیله فرض می کنیم دو محور از انواع ۳و۱ داریم :
حالت دوم از دوارن ۹۰ این دو محور نسبت به محل برخورد آنها حاصل می شود (دقت کنید که قرینه و یا دوران ۹۰ درجه محورها و شکل مربع ها ، تنها اضلاع افقی را به عمودی و عمودی را به افقی تبدیل می‌کند و یا تغییر در آنها نمی دهد.) حال فرض کنید محل برخورد دو محورhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/399f2fcb9c09a5f2de12541537091644.png مبدا مختصات باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87dbad72c61f2702ad979197bc3b6d91.pngمرکز یکی از مربع ها باشد . (واضح است که با توجه به یکسان بودن مربع ها و مختصات مرکز آنها و مربع ها به طور یکتا تعیین می شوند)

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/02/mathm0014o.JPG
پس اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/69c94774d6e206ab7a995bc727ba14fc.png موجود باشد آنگاهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4b4d1c8cdca1a64ebf0b0469c51504fe.png موجود است پس خطhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b61b29cee0fd8c51eec26100e0c92653.png نیز یک محور تقارن است و شکل حاصل ۳ محور تقارن دارد .
حال اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8b4ace358d169bfe9b6e8ecb1144f860.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cea275b73309375746762502431e29d3.png آنگاه از هر مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/594cb756f65c908cbe78fc983047709e.pngمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ab1999fc6a2f0b5f8793a760698500ca.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8f117a5c5059e17192ecb505ac0fd93e.png آنگاه از هر مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bb7d7e2865fc241e249730dfc4912d14.pngمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/64e466894ffe507b2b7517f852dea7bc.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e6beca5b3d9fcd9ff8f3716a700b8b0b.png آنگاه از هر مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1ea34c11c04e8fbfdd8abf4b7fc286a3.pngمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/64ac9563bbeb69958e9d278822389a20.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87396efa82c0d332309d2abd2e8da427.png آنگاه از هر مربع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bb7d7e2865fc241e249730dfc4912d14.pngمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e72136cd2ceff4292e11a5bc1c7532a4.png آنگاه از هر مربع یک و فقط یک مربع ( یعنی خود مربع ) حاصل می شود . از حالات فوق نتیجه می شود که تعداد مربع ها به شکلhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eb026197e6c7cf36429002e6ef1dee7e.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fef65e7ace5f433c1eba4b5370e12d07.png می باشد .
ب‌.فرض کنید حداقل دو محور تقارن موازی باشند . بدون این که خللی به فرض مسیله وارد شود فرض کنیم ازنوع ۱ باشند و یکیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4137b8cbe28d0b61ce44b64209c85b0c.png به معادله یhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ca81a1981ec0d0915b6b2902edcec261.png و دیگریhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/720e652c773f5e7a7685129186bb437d.png به معادلهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/6242a377d5d7df1bee2d2977ff42e05a.png باشد وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e8827c4ca997d036adee4622a737138f.png مرکز یکی از مربع ها باشد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fcfbbf13639a67b9a8dc7d0c2edb5833.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/04/mathm0014p.JPG
و چونhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fde6930906769f33a807c2062371dc64.png بی نهایت نقطه به شکلhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/886b95e7a1104d11fedd2c0b1751bea4.png داریم : پس بی نهایت مربع داریم ( تناقض).