PDA

توجه ! این یک نسخه آرشیو شده میباشد و در این حالت شما عکسی را مشاهده نمیکنید برای مشاهده کامل متن و عکسها بر روی لینک مقابل کلیک کنید : بانک مقالات ریاضیات



صفحه ها : 1 2 [3]

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:20 AM
ریاضی - ریاضی
شاید باور کردنش سخت باشد ولی طبق استدلالی که در این تصویر متحرک توسط چینی ها بیان شده شصت و چهار مساویست با شصت و پنج !!!

http://persian-star.org/1388/9/02/8sub/01.gif

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:21 AM
ریاضی - ریاضی
هفت شگفتی عظیم در جهان فیزیك ما به جایی رسیده‌ایم كه كه بدون حل كردن برخی از مشكلات و مسایل فیزیك، نمی‌توانیم در مورد حقایق و پدیده‌های جالب و شگفت‌انگیز دیگر فیزیكی، اطلاعات بیشتری كسب كنیم. برای درك مفاهیمی مثل خاستگاه و بنیاد جهان هستی، سرنوشت نهایی سیاهچاله‌های فضایی یا امكان سفر در زمان، نیاز داریم كه بدانیم جهان هستی چگونه ادامه‌ی حیات می‌دهد.


۱) جهان هستی چگونه برپاست؟

ما به جایی رسیده‌ایم كه كه بدون حل كردن برخی از مشكلات و مسایل فیزیك، نمی‌توانیم در مورد حقایق و پدیده‌های جالب و شگفت‌انگیز دیگر فیزیكی، اطلاعات بیشتری كسب كنیم. برای درك مفاهیمی مثل خاستگاه و بنیاد جهان هستی، سرنوشت نهایی سیاهچاله‌های فضایی یا امكان سفر در زمان، نیاز داریم كه بدانیم جهان هستی چگونه ادامه‌ی حیات می‌دهد.
هم‌اكنون یك ایده‌ی خوب در ذهن ما هست كه می‌تواند منتج به كشف حقیقت و بنیاد هستی شود. علم فیزیك در قرن بیستم بر پایه‌ی انقلابهای دوگانه‌ی مكانیك كوانتومی (تئوری ماهیت جسم) و نظریه‌ی معروف اینشتین در مورد فضا، زمان و جاذبه معروف به نسبیت، بنا شده است. اما وقتی شما به دو تعریف نهایی از واقعیت دست پیدا می‌كنید زمانی كه تنها یك واقعیت را موجود می‌بینید، این راضی‌كننده نیست.
تلاش برای یگانه‌سازی این دو تئوری، موانع تكنیكی فنی و مفهومی وحشتناكی را بر سر راه بهترین نظریه‌پردازان فیزیك در طول دهه‌های گذشته قرار داده و آنان را به چالش كشیده است. برای مثال از آنجایی كه جاذبه، خودش را به عنوان یك عامل ایجاد انحراف در فضای چهاربعدی زمان-مكان معرفی می‌كند، پذیرش نظریه‌ی كوانتومی در مورد جاذبه ایجاد مشكل می‌كند. از یك جهت، این به معنای پذیرش شك و تردید هایزن‌برگ در مورد فرضیات موجود راجع به زمان – مكان به شكل فی‌نفسه است كه قطعاً مشكل‌ساز خواهد بود.
اما ممكن است این تردیدها، یك معنای دیگر هم داشته باشند و آن به معنای وجود یك مشكل در رابطه با گرایش و رویكرد ما نسبت به قضیه است. شاید ما نباید مفهوم جاذبه را به تنهایی بررسی كنیم. اكثر تلاشهایی كه برای یكسان‌سازی نظریات موجود در مورد جاذبه انجام شدند، خود منجر به این گشتند كه تعریف كیفیت و كمیت جاذبه، وارد یك بحث و میدان جدید شود كه به ناچار همه‌ی نیروهای طبیعت مانند همه‌ی اجزای زیراتمی را به یك چارچوب تئوریك محدود می‌كند. این ایده‌یی است كه برخی از فیزیك‌دانها آن را "تئوری همه‌چیز" می‌خوانند.
نظریه‌ی جدیدی كه در حال حاضر مطرح می‌شود، نظریه‌ی "فرا-رشته‌یی" است كه به وجود حلقه‌های كوچك و ریز رشته‌یی اتمی به عنوان سازنده‌ی همه‌ی مواد حكم می‌دهد. فرضیه‌ی دیگری كه وجود دارد و به تئوری ام مشهور است هنوز كمی پیچیده و مبهم به نظر می‌رسد و می‌تواند به عنوان لایه‌یی كه در ابعاد وسیعتر فضایی حركت دارد، تصویر شد. اما مرحله و روند پیشرفت در این نظریه‌ها در بهترین حالت، اینگونه جمع‌بندی می‌شود كه هیچ كس دقیقاً به یاد نمی‌آورد وجود حرف "M” در نظریه‌ی ام، دقیقاً به چه دلیلی است و چه واژه‌یی را تداعی می‌كند. راه درازی در پیش است...



۲) آیا "ضدجاذبه‌"ی اینشتین واقعاً یك اشتباه بود؟

اینشتین، ضدجاذبه را بزرگترین اشتباه خود می‌شمارد. اما به نظر می‌رسد كه او با اضافه كردن یك نظریه‌ی ضدجاذبه به فرضیه‌ی نسبیت خود كه آن را شرط فلسفه‌ی انتظام گیتی می‌خوانند، كار درستی انجام داده است.
این شرط اضافه در فرضیه‌ی نسبیت، به فضا یك خاصیت تدافعی نسبت می‌دهد به این معنا كه فضا خودش را دفع می‌كند، گسترده‌تر می‌شود و هرچه سریعتر این روند افزایش گستردگی ادامه می‌یابد. اینشتین این عامل به ظاهر بی‌ارزش را اضافه كرد چرا كه تصور می‌شد جهان هستی ثابت است و بی‌حركت. در نتیجه نیاز بود تا نیرویی وجود داشته باشد و قدرت كشش جاذبه‌یی زمین را بالانس و دچار تعادل كند كه مواد موجود بر روی زمین، كوچك و كوچكتر نشوند.
اما در دهه‌ی ۱۹۲۰، ادوین هابل كشف كرد كه جهان هستی خود به خود در حال گسترش و افزایش است. در نتیجه اینشتین نیز نظریه‌ی "تعادل انتظامی گیتی" را به دلیل ترس، پس گرفت!
اما به نظر می‌رسد این ایده نباید محو شود. نظریه‌ی كوانتومی میدانها، ثابت می‌كند كه حتی فضاهای خالی نیز با انرژی زیاد در حال طغیان و جنب و جوش هستند. در واقع همان تاثیر جاذبه‌یی g=۱۰ كه نظریه‌ی ضدجاذبه‌ی اینشتین را توصیف می‌كند. این نظریه در مورد قدرت دافعه‌ (كه در مقابل جاذبه مطرح می‌شود) مقداری گنگ و مبهم است اما به آن یك ارزش تخمینی می‌دهد.
تقریباً 10 سال پیش، فضانوردان متوجه شدند كه سرعت گسترش ابعاد جهان هستی در حال افزایش است و در نتیجه نظریات آزمایش خود در مورد نیروی ضدجاذبه را مطرح كردند. در عین ناباوری و سرگردانی فیزیكدانها هم این فضانوردان، قدرت ضدجاذبه را شامل ۱۲۰ نیرو دانستند كه ۱۰ بار از مقدار پیش‌بینی‌شده‌ی قبلی كوچكتر است.
این نتیجه، بسیار گمراه‌كننده و عجیب است. اگر تعادل برقرار شده میان جاذبه و دافعه، مقداری برابر با صفر بود، در نتیجه یكی از قوانین عمیق و مهم طبیعی در موردش صدق می‌كرد اما یك عدد غیرصفر كه تازه با تئوری ابتدایی نیز غیرقابل مقایسه شناخته شده را نمی‌شود تعبیر كرد.
برای وخیم‌تر كردن شرایط، كیهان‌شناسان به ایده‌یی علاقه‌مند شدند كه نیروی دافعه‌ی بسیار قوی و بزرگی در اولین مرحله‌ی تفكیك پس از انفجار بزرگ یا Big Bang را مطرح می‌كند چرا كه این نظریه، سناریوی جذاب و محبوب مربوط به زمین غیرمسطح و در حال افزایش حجم را تایید می‌كند. با توجه به این تئوری، جهان هستی پس از تولد و شكل‌گیری، با سرعتی غیرقابل باور توسط یك عامل قدرتمند و عظیم، تغییر حجم داد و این نیرو را قدرت ضدجاذبه یا دافعه ایجاد نمود.

در نتیجه اگر بخواهیم دلیل و برهانی بر این افزایش حجم سریع و روزافزون بیابیم، به نظریه‌یی نیاز داریم كه توضیح دهد چرا ضدجاذبه در ابتدا بسیار قوی و شدید بود، سپس با شتاب و سرعت كاهش مقدار پیدا كرد و سپس به مقداری در حوالی صفر رسید. به عبارت دیگر، ما می‌خواهیم بدانیم كه چرا نیروی ضدجاذبه، تقریباً در اولین فازهای شكل‌گیری جهان هستی حذف و محو شد اما به طور كلی از بین نرفت؟
یك احتمال این است كه نیرو بر اثر گذشت زمان، محو می‌شود. احتمال دیگر می‌تواند این باشد كه نیرو در فضا تغییر می‌كند و در نتیجه ممكن است از ورای دوربین تلسكوپهای ما، همه چیز بسیار بزرگتر از آنچه هستند نشان داده شوند. اگر اینگونه است، در نتیجه هر جسمی در آن منطقه، با سرعت در كهكشانها و ستاره‌های دیگر پخش و متلاشی می‌شد و در نتیجه اصلاً هیچ ناظری نمی‌توانست حضور داشته باشد تا نیرو را اندازه بگیرد.
آنچه كه ما نیاز داریم، یك تئوری است كه قدرت نیروی دافعه یا ضدجاذبه را به اندازه‌ی بخشی از قدرت همه‌ی نیروهای موجود در طبیعت برای ما تعریف كند. متاسفانه به نظر نمی‌رسد كه تئوریهای موجود مثل تئوری فرارشته‌یی یا تئوری "ام"، این میزان خاص را مشخص كنند و مقدار كمی كه باقی می‌ماند هم همچنان ناشناخته و اسرارآمیز خواهد بود. در نتیجه باید دوباره به سوال یك رجوع كنیم!



۳) چرا ما در سه بعد زندگی می‌كنیم؟

آیا اینكه زمین ما سه بعد دارد، اتفاقی است یا باید برایش دنبال یك تعبیر عمیقتر گشت؟ بعضی از تئوریسین‌ها معتقدند كه فضای به وجودآمده بر اثر انفجار بزرگ، تنها به صورت اتفاقی از سه بعد تشكیل گشت و ممكن است قسمتهای دیگری از جهان هستی وجود داشته باشند كه ابعادشان متفاوت باشد.
مثلاً هیچ دلیل منطقی نمی‌توان یافت برای پاسخ به این سوال كه چرا مثلاً جهان هستی فقط دو بعد ندارد. چندصد سال پیش، ادوین آبوت اثری به نام "زمین مسطح" نوشت كه در آن جهانی دوبعدی را تصویر كرد. جهانی كه در آن اجسام و موجودات حیات خود را تنها بر روی "سطح" ادامه می‌دادند. اما فیزیك جهان دوبعدی با فیزیك جهان ما بسیار متفاوت خواهد بود. برای مثال در فضای دو بعدی، امواج به شفافیت انتشار در فضای سه بعدی، پخش نمی‌شوند و باعث ایجاد انواع مشكلات در سیگنال‌رسانی و انتقال اطلاعات می‌گردند. و نیز از آنجایی كه زندگی آگاهانه، به فرآیند انتقال درست و صحیح اطلاعات بستگی دارد، در نتیجه این تفاوتها كافی خواهند بود برای اینكه مشاهدات ما را تنها در حد مناطقی ناشناخته محدود نگاه دارند.
تصور كردن فراتر از سه بعد نیز مشكلات مختلفی به همراه خواهد داشت. در چنین حالتی، سیستمهای نجومی و سیاره‌یی غیرممكن می‌شوند چرا كه عكس قانون جاذبه یعنی قانون قدرتهای افزایشی به وجود خواهد آمد. در نتیجه به نظر می‌رسد كه جهان سه بعدی تنها جهانی است كه وجود دارد و فیزیكدانها می‌توانند درباره‌اش بنویسند. اما نكات ریزی وجود دارد كه باعث می‌شود این فرضیه با شك و تردید همراه باشد.
شاید فضا سه بعدی نیست و تنها اینگونه برای ما نشان داده می‌شود. شاید فضا ۹ یا ۱۰ بعد دارد و حتی ابعاد بیشتر! برخی از تئوریهایی كه قصد یكپارچه‌سازی نیروهای طبیعت را دارند مانند فرضیه‌ی فرا-رشته‌یی، امكان وجود تعداد ابعاد بیشتری نسبت به آنچه كه ما می‌بینیم را رد نمی‌كنند.
دلیلشان نیز این است كه بسیاری از معادلاتی كه برای توصیف وضعیت موجود به كار می‌روند، با در نظر گرفتن تعداد بیشتر ابعاد، نتایج بهتری می‌دهند! در نتیجه نمی‌توان آن را كاملاً بی‌معنی دانست. ابعاد اضافی فضا، سابقه‌ی حل بسیاری از مشكلات و مسایل حل‌ناشدنی فیزیك را دارند. برای مثال اینشتین برای توصیف كردن جاذبه، به یك بعد اضافی نیاز داشت و آن، زمان بود. و تئودور كالوتزا نیز یك بعد به سه بعد اثبات شده اضافه كرد چرا كه می‌خواست نظریات جاذبه را با فرضیات ماكس‌ول در مورد الكترومغناطیس، همگون سازد.
مطمئناً ما نمی‌توانیم بعد چهارم را ببینیم اما این هم احتمالاً یك دلیل دارد. این بعدهای اضافه، می‌توانند بسیار كوچك و فشرده شوند. یك لوله‌ی پلیمری آب را از دور در نظر بگیرید. مانند یك خط دراز و معوج به نظر می‌رسد. از یك بعد نزدیكتر آن را نگاه كنید. به شكل تیوب یا لوله دیده می‌شود. اما آنچه كه در حقیقت این لوله را می‌سازد، یك سطح دایره‌یی شكل كوچك است كه دور محیط لوله چرخیده است. به طور مشابه، بعد چهارم نیز می‌تواند چنین لوله‌یی باشد كه دور فضای سه‌بعدی می‌چرخد اما آنقدر كوچك است كه دیده نمی‌شود.
در نتیجه تصور كردن ابعاد بسیار زیادتری كه اینگونه در فضا پنهان‌ شده‌اند، به راحتی ممكن است. اما متاسفانه نظریه‌ی فرا-رشته‌یی هنوز دقیقاً سه بعد گشوده‌شده را تایید نمی‌كند در نتیجه برای تصور ما نسبت به جهان هستی هم تعریف درستی نمی‌توان ارایه داد.
اما برای تصور كردن یك بعد جدید، راههای دیگری هم هست. فرض كنید نیروهای فیزیكی بتوانند نور و جسم را به یك صفحه‌ی سه‌بعدی مسطح یا ورقی‌شكل تقلیل دهند و محدود كنند در حالی كه به برخی پدیده‌های دیگر فیزیكی اجازه می‌دهند تا وارد بعد چهارم شوند. ساكن شدن سطوح دو بعدی به جای اجسام سه‌بعدی در فضاهای مشخص باعث می‌شود تا هر جسم و پدیده‌یی به شكل طرح و نقشه‌اش نشان داده شود. مثلاً ما یك توپ كره‌یی شكل را به صورت دایره ببینیم! به طریق مشابه، ممكن است ادعا شود كه ما در حال حاضر تنها تصویری سه بعدی از اجسام و مفاهیمی را می‌بینیم كه در واقع چهاربعدی هستند.
اما فضای "سه لایه‌یی" ما می‌تواند تنها در چهار بعد نیز محدود نشود. لایه‌های قابل كشف دیگری نیز می‌توانند وجود داشته باشند كه در فضای چهاربعدی حضور دارند. اثبات این فرضیه، انجام آزمایشهایی تازه را می‌طلبد كه وجود بعد چهارم را نیز به ما نشان دهد. اما این نظریه وجود دارد كه برخورد لایه‌های چندبعدی در مقیاسهای این‌چنینی می‌تواند به تكرار شدن "انفجار بزرگ" منجر گردد در نتیجه حضور ما بر روی كره‌ی زمین شاید اصلاً موید همین مطلب باشد كه فضا واقعاً سه‌بعدی نیست!


۴) آیا سفر در زمان امكانپذیر است؟

شاید سوال یك نیز بازگویی همین سوال باشد. ماهیت جسم و جاذبه‌ی كوانتومی را فراموش كنید. شاید این سوال را هر كسی دوست دارد كه پاسخ دهد. سفر در زمان به یك موضوع علمی – تخیلی مورد علاقه و جذاب برای مردم تبدیل شد پس از اینكه اچ.جی. ولز، رمان نوگرایانه و جالب خود با نام "ماشین زمان" را نوشت. اما هرآنچه كه اینجا مطرح شده، لزوماً علمی – تخیلی نیست. برای مثال سفر در زمان به سوی آینده، یك واقعیت علمی پذیرفته شده است. تئوری نسبیت اینشتین تایید می‌كند كه یك جسم ناظر و مشاهده‌گر در برابر زمین، می‌تواند به سمت آینده‌ی زمین جهش كند. این تاثیر را ساعتهای اتمی ثابت كرده‌اند.
اما اینگونه درگیر شدن با تار و پودهای زمان، به سرعتی مشابه سرعت نور نیاز دارد كه شاید در تئوری قابل اثبات و ممكن باشد اما به یك شاهكار بزرگ مهندسی نیاز دارد، حتی اگر به بودجه و هزینه‌هایش فكر نكنیم. اما سفر در زمان به سمت عقب، مشكلات بزرگتری خواهد داشت. نسبیت، این فرضیه را تایید نمی‌كند كه یك جسم ناظر بتواند در دو بعد زمان-مكان سفر كند و به عقب هم برگردد. اما در همه‌ی داستانها و سناریوها، چنین شرایط خارق‌العاده‌یی نیز در نظر گرفته شده است.
یكی از راههای سفر به عقب در زمان، استفاده از یك "لانه‌ی مار" فضایی خواهد بود. تئوریسین‌ها معتقدند چنین تونل یا دروازه‌ی ستاره‌یی كه دو نقطه را در ابعاد زمان – مكان به یكدیگر متصل كند، وجود دارد. اگر یكی‌شان را پیدا كنید و داخلش بپرید، چند لحظه‌ی بعد از نقطه‌یی دیگر در جهان هستی سردر خواهید آورد. آنها معتقدند اگر چنین چاله‌یی وجود داشته باشد، می‌توان آن را با ماشین زمان نیز مطابق و هماهنگ كرد. می‌توانید از طریق آن سفر كنید و نه تنها از یك مكان دیگر سر دربیاورید، كه وارد یك زمان دیگر نیز بشوید. این "زمان" می‌تواند در گذشته یا آینده باشد.
اگر امكان سفر به گذشته وجود داشته باشد، انواع پارادوكس‌ها و تضادها نیز اتفاق خواهند افتاد. مانند معمای یك مسافر زمان كه به سالهای گذشته می‌رود و مادرش را وقتی یك كودك است، به قتل می‌رساند. از این تضادها می‌توان گریخت اگر اصرار بورزیم و بدانیم كه هیچ چیز نمی‌تواند قانون علت و معلول و كنش و واكنش را از بین ببرد. اما سفری دوطرفه در مسیر زمان، هنوز پیچیده و غیرقابل هضم است.
برای بسیاری از فیزیكدانها، این مساله بسیار غیرعقلانی است. استفان هاوكینگز نظریه‌ی "تخمین محافظت از تسلسل وقایع" را مطرح می‌كند و معتقد است كه یك نیرو یا عامل خاص باعث می‌شود تا اجسام فیزیكی یا نیروها نتوانند به گذشته برگردند. این مساله شاید به دلیل موانع و سدهای فیزیكی اساسی بر سر راه ساخت ماشین زمان اتفاق می‌افتد. برای مثال انرژی خلاء كوانتومی در صورتی كه هیچ محدودیتی برای ورود به حفره‌های ماری فضا نداشته باشد، طغیان خواهند كرد و دفع خواهند شد.
این مساله همچنان لاینحل باقی مانده اما موضوعی است كه بسیاری از مردم، وقت و تلاش خود را صرف آن می‌كنند. همانطور كه هاوكینگز اشاره كرده، صرف هزینه برای تحقیق در مورد سفر به زمان بسیار سخت است. در نتیجه به نظر می‌رسد برهان یا تكذیبیه‌یی برای حل این مساله، خود به مشكلات عمومی دیگر منجر شود. مانند طرح یك نظریه‌ی رام‌شدنی و قابل دسترسی در مورد جاذبه‌ی كوانتومی.


۵) آیا ما در یك صافی كهكشانی زندگی می‌كنیم؟

سیاهچاله‌های آشنای كهكشانی همچنان می‌توانند باعث ایجاد بهت و حیرت برای فیزیكدانهای تئوریست شوند. یك سیاهچاله‌ی فضایی می‌تواند زمانی كه یك ستاره‌ی بزرگ آتش می‌گیرد و محو می‌شود، تشكیل گردد. هسته‌ی آن بر اثر جاذبه‌ی درونی فراوان، به دو نیم تقسیم می‌شود. اگر جسم به لحاظ شكلی، كروی باشد، آنگاه همه‌ی مواد تجزیه‌شده از ریشه با نسبتهای مساوی به سمت مركز هندسی هسته، ریزش می‌كنند در نتیجه مقدار میدان چگالنده و میدان جاذبه به بی‌نهایت میل خواهد كرد. تا زمانی كه جاذبه، خود را به عنوان تاروپودی از هندسه‌ی مكان – زمان معرفی می‌كند، میزان خمیدگی و پیچش این دو بعد یعنی زمان و مكان، به بی‌نهایت میل خواهد كرد و برای زمان – مكان یا هر دوی آنها، یك خط مرز و محدوده خواهد ساخت. ریاضیدانها، این پدیده را تكین یا فردیت می‌نامند.
هیچ كس نمی‌داند كه از این فردیت‌ها، چه چیزی حاصل می‌شود. آیا فضا-زمان، همانجا به پایان خواهد رسید یا این فردیتها به از كارافتادگی نظریات ما منجر می‌شوند؟ اگر زمان – مكان مرز و حدودی داشته باشد، آنگاه پیش‌بینی كردن حاصل آن نیز غیرممكن خواهد بود. از آنجایی كه پیش بینی و فلسفه‌ی جبر و تقدیر، پایه‌ی همه‌ی تصاویر علمی و منطقی از جهان حاضر را تشكیل می‌دهد، فردیتها می‌توانند پا را از مرزهایی فراتر بگذارند كه علم نمی‌تواند.
وقتی یك سیاهچاله‌ی فضایی، حاصل یك تفرد را در بربگیرد، آن دیگر پوشیده و مستور می‌شود و دیگر تهدیدآمیز نیست. در ۱۹۶۷، راجر پنروز، فرضیه‌ی "سانسور فضایی" را مطرح كرد. در این فرضیه، اعتقاد بر این بود كه همه‌ی تفردهای ایجادشده بر اساس كاهش جاذبه، قاعدتاً توسط سیاهچاله‌های فضایی پوشیده می‌شوند و در نتیجه برای ما غیرقابل مشاهده هستند. راه چاره نیز غیرقابل دسترسی بود یعنی وجود تفردهای ناپوشیده كه می‌توانند باعث اتفاقاتی بدون توجیه و دلیل منطقی و عقلانی شوند.
سپس چند سال بعد، استفان هاوكینگز، یك پیچیدگی دیگر در مورد این مساله را نیز مطرح كرد. او متوجه شد كه سیاهچاله‌ها، امواج گرمایی از خود منتشر می‌كنند و به آرامی تجزیه می‌شوند. تئوریسین‌های فیزیكی، آنچه كه ممكن بود در پایان اتفاق بیفتد را اینگونه تصور كردند: آیا این تبخیر و تبدیل در نهایت، تفردهای موجود در دل سیاهچاله‌ها را نمایان و بی‌پرده خواهد كرد؟
این مساله در مباحث مربوط به تئوری اطلاعات نیز به شكلی دیگر مطرح شد. وقتی ستاره‌یی از یك سیاهچاله برمی‌خیزد، محتوای اطلاعات جزیی ستاره (مانند تعداد اجزا و ذره‌هایی كه از آن تشكیل شده است و از هر نوع ذره و قسمت، چند تكه عضو در ستاره به كار رفته) برای یك ناظر بیرونی، غیرقابل مشاهده خواهد بود.
در نتیجه زمانی كه یك سیاهچاله‌ی فضایی از بین می‌رود، آیا اطلاعات بر اثر نوعی از تابش كه هاوكینگز مطرح كرد، دوباره برمی‌گردند؟ این سیاهچاله‌ها به نظر می‌رسد به وضوح در همه‌جای جهان هستی وجود دارند و حاضر هستند. اگر پیچ‌ و تابهای موجود در حفره‌های ماری (حفره‌های تكینی) باعث آشكار شدن یك چاله‌ی جدید در بعد فضا – زمان می‌شوند، پس می‌توان نتیجه گرفت كه جهان هستی مثل یك كف‌گیر یا صافی فضایی در حال نشست كردن است؟ اگر اینگونه است، پس محتویاتش به كجا می‌روند؟


۶) جهان هستی از چه چیز ساخته شده است؟

دریغ و افسوس كه این سردرگمی همچنان ادامه دارد. فیزیكدانها دقیقاً نمی‌دانند و مطمئن نیستند كه آنجا چه چیزهایی هست. در نجوم اینگونه مطرح می‌شود كه آنچه شما می‌بینید، دقیقاً آنچه نیست كه وجود دارد. ستاره‌ها، سیاره‌ها و توده‌های غبار موجود در فضا از اتم‌های معمولی تشكیل شده‌اند. اما برای هر گرم از اجرام معمولی در جهان هستی، چندین گرم اجرام نادیده و ناشناخته وجود دارد.
ما این را از نوع حركت ستاره‌ها می‌دانیم. كهكشان راه شیری بیش از حد تند می‌چرخد و این برای نیروی جاذبه ایجاد مشكل می‌كند كه همه‌ی اجسام و اجرام قابل مشاهده‌ی بر روی آن را نگاه دارد. ستاره‌های اطراف نیز اگر مقدار زیادی از اجرام و اجسام فضایی در اطرافشان در حال كشیده شدن نبودند، حتماً سقوط می‌كردند. كهكشانهای دیگر نیز همین‌گونه اند. حجم زیادی از مواد و اجرام نادیده و ناشناس در بین كهكشانها وجود دارند كه آنها را به دسته‌های در حال جنب و جوش و آسیاب كردن تبدیل می‌كنند.
اگر جهان هستی را یك كل در نظر بگیریم، آنگونه كه گسترش پیدا می‌كند و پس‌زمینه‌ی كهكشانی در حال ساطع كردن امواج گرمازا (پس‌فروزشهای در حال محو شدن پس از انفجار بزرگ) یعنی همه‌ی اجزای ظاهری و قابل رویت جهان هستی، به وجود یك اصل فراگیر و نافذ اشاره می‌كنند، یعنی جهان پنهان هستی.
تئوریهای این‌چنینی در مورد ماهیت ماده یا "جرم تاریك" باز هم وجود دارند. از دسته‌های بزرگ سیاهچاله‌های فضایی گرفته تا ذرات ریز تجزیه شده‌ بر اثر انفجار بزرگ. اساساً در این مورد، سه ایده‌ی اصلی وجود دارد. نخستین ایده، نظریه‌ی "انرژی تاریك" است كه مانند اجرام محو و پنهان درون فضا به شكل یكسان و یكنواخت پراكنده شده‌اند، رفتار می‌كند. مشاهدات به ما نشان می‌دهد كه این اجرام می‌توانند بیش از دو سوم كل مواد جهان هستی را تشكیل دهند. نظریه‌ی دوم، نظریه‌ی "اشیای نورانی فشرده و حجیم" معروف به MACHO است. اشیایی مانند كوتوله‌های قهوه‌یی فضایی! فضانوردان، برخی از آنها را كشف كرده‌اند اما برای تشكیل دادن باقی‌مانده‌ی جهان هستی، این اشیا بسیار ناچیز هستند.
در نهایت، اجزا و ذرات ریز زیراتمی مانند نوترونها را داریم. این اجرام روان و سیال به سختی با دیگر اجرام و مواد تعامل می‌كنند و بسیار گنگ و نامعلوم به نظر می‌رسد كه آیا آنها به كره‌ی زمین هم وارد می‌شوند یا نه. تعداد بسیار زیادی از آنها وجود دارند كه شاید هر گروه یك میلیارد نوترونی از آنها، فقط به اندازه‌ی یك نوترون در برابر تمام مقادیر موجود در گیتی به حساب بیاید اما احتمالاً این ذرات جرم بسیار كمی دارند و بخش كوچك و ناچیزی از مواد و اجرام موجود در جهان را تشكیل می‌دهند.
تئوریسین‌ها معتقد به وجود نوع دیگری از ماده‌های پرنفوذ هستند كه جرم قابل توجه و فراوانی دارند و به عنوان WIMP یا "ذرات حجیم كم‌تعامل" شناخته می‌شوند و آزمایشها برای به دست آوردن و جمع‌آوری آنها در حال انجام است.
ایده‌های عجیب و هیجان‌انگیز دیگری مانند مواد و اجرام پنهان شده در بعد چهارم یا وجود یك جهان دیگر در سایه‌ی كهكشهانهای شناخته شده نیز مطرح شده‌اند. شاید ماهیت جهان تاریك، مركبی از بسیاری چیزها باشد كه بسیاری از آنها هنوز هم ناشناخته‌اند. آنچه كه واضح و مبرهن است اینكه به نظر می‌رسد اتمهای معمولی و رایجی كه ما و كره‌ی زمین از آنها ساخته شده‌ایم، تنها بخش كوچكی از كل جرم و ماده‌ی موجود در جهان هستی را شامل می‌شود كه بخش عمده‌ی آن را ناشناخته‌ها تشكیل می‌دهند.


۷) این سوالهای من از كجا می‌آیند؟

هوشمندی و آگاهی انسانها از كجا می‌آید؟ چرا برخی الگوها و صفحات سلولی الكتریكی مانند صفحات سلولی در مغز، دارای احساس و اندیشه هستند در حالی كه برخی دیگر از این صفحات مانند سلولهای سراسری در دستگاه گوارش یا دستگاه تنفسی احتمالاً چنین احساساتی را ندارند؟ یا از سوی دیگر، چگونه می‌شود كه مفاهیم انتزاعی و غیرجسمانی مانند تفكرات یا آرزوها می‌توانند الكترونها و یون‌ها را به سمت مغز حركت دهند و دستگاه حركت فیزیكی بدن را تحریك نمایند؟
یا آیا این سوالات فقط مغلطه‌ی بی‌معنا و بی‌مورد مفاهیم هستند؟ آیا فیزیكدانها این سوالات را به راحتی پاسخ می‌دهند؟ عده‌یی فكر می‌كنند كه این سوالها برای فیزیكدانها، به آسانی پاسخ داده می‌شوند. ارتباط دادن جهان مادی و جهان معنوی، چیزی است كه اكثر فیزیكدانها از آن اجتناب و دوری می‌كنند. اما اگر فیزیك مدعی باشد كه یك علم جهان‌شمول و عمومی است، می‌توان نتیجه‌گیری كرد كه آگاهی و معرفت علمی، تعریفی عام و تلفیقی از هر دوی این مفاهیم است.
مكانیك كوانتومی به عنوان یك كلید در این زمینه شناخته شده است. بیشتر به این دلیل كه ناظر بیرونی، نقشی اساسی در تعریف و تعبیر سیستمهای كوانتومی بازی می‌كند. اما هنوز راه زیادی مانده تا این موضوع روشن شود كه تاثیرات كوانتومی می‌تواند به كل دستگاه و مجموعه‌ی نورونها و سلولهای عصبی برسد یا نه.
شاید كلید رسیدن به پاسخ، رجوع كردن به تعریف زندگی است. هیچ كس نمی‌داند كه دقیقاً چگونه، كجا و چه زمانی، حیات شروع شد. شاید تلفیقی از مواد شیمیایی بی‌جان، در ابتدا منجر به تشكیل شدن بدن یك موجود زنده شد. به نظر نمی‌رسد كه این اتفاق به شكل آنی و لحظه‌یی و در یك مرحله افتاده باشد و بی‌هیچ گفت‌وگویی، می‌توان ادعا كرد كه یك فرآیند فیزیكی پیچیده و طولانی طی شده اما هنوز مشخص نیست كه این سیر تكامل حیات، از مشكلات و مسایلی است كه باید در حوزه‌ی فیزیك بررسی شود یا نه.
گاهی اوقات ادعا می‌شود كه زندگی بر پایه‌ی قانونهای فیزیكی نوشته شده است. البته این مساله درست است كه اگر این قوانین اندكی متفاوت بودند، زندگی به طور كلی دگرگون می‌شد اما هیچ چیزی در این قانونهای شناخته شده وجود ندارد كه جسم یا مفهومی را به ساماندهی در زندگی مجبور كند. اگر قانون حیات نیز در طبیعت وجود داشته باشد، نمی‌توان در لابه‌لای قانونهای فیزیكی آن را یافت كه خاستگاهش، نظریاتی چون تئوری اطلاعات و... است. علاوه بر اینها، یك سلول زنده، نوعی از ماده‌ی ناشناخته و جادویی نیست كه یك سیستم و نظام بسیار پیچیده‌ی پردازش و تكرار اطلاعات است.
قوانین حاكم بر تئوری اطلاعات یا تئوری پیچیدگی، همچنان مورد استفاده هستند. در سطح مشابه و از سوی دیگر، همانطور كه اروین شرودینگر در دهه‌ی ۱۹۲۰ ادعا كرده بود، مكانیك كوانتومی نیز نقش مهمی در تاریخچه‌ی حیات بازی می‌كند.
هرچند كه قوانین مربوط به پردازش كوانتومی اطلاعات، به شكل قابل ملاحظه‌یی با سیستمهای كلاسیك بیولوژیك تفاوت دارند اما می‌توانند كلیدی برای حل این مشكلات و پاسخ به این سوالها باشند

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:22 AM
ریاضی - ریاضی
دایره و 8 كره ، 7 میان دایره و 7 میان كره در شكل توسعه یافته ستاره داوود ( 7 آسمانها )


در شكل توسعه یافته ستاره داوود ، خطوط در نقاطی با هم تقاطع دارند كه اگر نقطه مركزی را در نظر بگیریم ، میتوانیم هشت دایره از آن نقطه رسم كنیم ، یعنی شكل زیر :

http://www.ki2100.com/images/mat/8circle/1.gif

دایره و 8 كره ، 7 میان دایره و 7 میان كره در شكل توسعه یافته ستاره داوود ( 7 آسمانها )


در شكل توسعه یافته ستاره داوود ، خطوط در نقاطی با هم تقاطع دارند كه اگر نقطه مركزی را در نظر بگیریم ، میتوانیم هشت دایره از آن نقطه رسم كنیم ، یعنی شكل زیر :

http://www.ki2100.com/images/mat/8circle/1.gif


فایل‌های pdf و dwf پیوست میباشد .
تعریف دیگری كه از یك نقطه در هندسه میتوان داشت این است كه ، نقطه به محل تلاقی دو یا چند خط گفته میشود و یا اینكه ، نقطه وجه مشترك دو خط متقاطع است
http://www.ki2100.com/images/mat/8circle/1.jpg

در شكل فوق هشت كره تو در تو به شعاع‌های دوایر ( مدارهای ) قبلی رسم شده است ، كه میتوان هفت میان كره ( پوسته ) و یك هسته را تجسم نمود . برای درك بهتر موضوع ، كره‌ها برش خورده‌اند . همانطور كه می‌دانیم عدد هفت یك عدد دینی است ولی در مباحث بعدی نشان خواهیم داد كه می‌توان با سیستم شمارش دوجینی ، مكعب ، ستاره داوود ، ستاره داوود توسعه یافته ( هندسه دوجینی ) و هفت آسمانها ، كلیه ساختارهای فیزیكی موجودات در عالم از اتم گرفته تا حجم فضایی خود كیهان را توجیه نمود ، یعنی حد فاصلی مابین فیزیك هسته‌ای و اختر فیزیك ( كل هستی و هر آنچه كه داخل آن است ) حتی نور ، زمان و .......

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:23 AM
ریاضی - ریاضی
دو فیزیكدان امریكایی توانسته اند با تغییراتی در طراحی شیرها ، ابعاد قطره های خروجی از شیر را كنترل كنند.
اشتباه نكنید ، این یافته ها ، كاربردهایی در نشتی شیرآلات و یا چكه كردن شیر ندارد ، بلكه مهمترین كاربردهای آن در صنعت چاپ ، زیست فناوری و میكروالكترونیك است.
قطرات ریز ، پایه اصلی فناوری هایی هستند كه در زندگی روزمره به شكل چاپگرهای جوهر افشان، خود را نشان می دهند ؛ اما كاغذ و جوهر در استفاده از این فناوری تنها نیستند.
در لحیم كاری مدارهای بسیار ریز و تهیه شبكه های ویژه ای از dna برای تحلیل ژنتیكی نیز از این قطرات ریز استفاده وسیعی می شود.
حتما برای آبیاری باغچه ، تمیز كردن حیاط و یا شستشوی خودرو از شیلنگ آب استفاده كرده اید و برای بالا بردن اثر جریان آب ، انگشت خود را سر شیلنگ قرار داده اید.
در این حالت ، سرعت قطرات آب بیشتر می شود ، ولی با اندكی دقت ، متوجه می شوید ابعاد قطرات آب بشدت كاهش می یابد. برای تولید قطرات كوچكتر به شیپورهای كوچكتری نیاز است ، ولی اگر قرار باشد تعداد قطرات به همان مقدار سابق باشد ، فشار بیشتری باید پشت آب قرار گیرد.
بدین ترتیب ، این فشار می تواند به قدری افزایش یابد كه منجر به ترك خوردن یا شكسته شدن شیپوره شود.
فیزیكدانان دانشگاه هاروارد توانستند با تغییر شكل سطح مقطع شیپوره از دایره به مثلث، قطرات كوچكتری را به ازای فشار یكسان تولید كنند.
آنان در محاسبات خود متوجه شدند شیپوره ای كه سطح مقطع دایره ای دارد ، بدترین گزینه ممكن برای تولید قطرات ریز است ؛ ولی اگر این شیپوره بین 3نقطه محدود شود و شكلی مثلثی با سطوح مقعر به دست آید ، قطراتی تولید می شوند كه حجم آنها 21درصد كمتر از قطرات تولید شده در شیپوره دایره ای است.
این محاسبات به شیپوره های بسیار كوچك چاپگر جوهرافشان قابل اعمال است ، ولی اگر عرض شیپوره بیش از یك میلی متر باشد ، نیروی گرانش بر اندازه قطره تاثیر خواهد گذاشت و بدین ترتیب فایده ای ندارد در دوش حمام از سوراخ های مثلثی شكل استفاده شود ، چون ابعاد قطره زیاد كوچك نمی شود.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:23 AM
ریاضی - ریاضی
خورشید یكی از منابع اصلی و بزرگ برای كره خاكی بوده و بطور مستقیم ویا غیر مستقیم روی فعل و انفعالات پدیده های فیزیكی آن مؤثر می باشد ، تابش خورشید در رشد نباتات و زندگی انسان وحیوانات نقش بسیار مهمی داشته و در كشاورزی وصنعت بوجود نور بیش از پیش احتیاج پیدا می شود در سازمانهای مختلف هواشناسی جهان از جمله شبكه هواشناسی كشور ما معمولاً از دونوع وسیله برای اندازه‌گیری تابش خورشید استفاده می شود دسته اول آن سری از دستگاههایی می باشند كه فقط مدت تابش خورشید را ثبت می كنند وبنام آفتاب نگار (SUNSHINE RECORDER) معروفند ودسته دوم دستگاههایی هستند كه مقدار شدت تشعشع خورشید را اندازه گیری وثبت می كنند .

در اینجا با ساختمان ، طرز كار ونحوه بهره برداری از آفتاب نگار آشنا خواهیم شد.

آفتاب نگار SUNSHINE RECORDER

طول مدت آفتابی بوسیله دستگاهی به نام آفتاب نگار تعیین می شود . این دستگاه قادر است فواصل زمان‌هایی را كه در آن فواصل خورشید می درخشد بر روی كارت های مخصوص ثبت نماید این وسیله نخستین بار توسط كمپیل استوكس ساخته شده است.

دستگاه مذكور تشكیل شده است ازیك محفظه شیشه‌ای كروی محتوی آب كه خود محفظه در داخل یك كاسه چوبی قرار دارد محفظه شعاعهای نورانی خورشید را شبیه به یك عدسی جمع كرده و روی جدار داخلی كاسه چوبی می اندازد چوب در اثر اشعه متمركز شده و حرارت حاصله خورشید سوخته وبتدریج خطی در روی جداره چوب كشیده می شود .

این دستگاه بتدریج تكمیل گردیده و بصورت امروزی در آمده است ، بجای كره آبی از یك كره كریستال (عدسی كروی) با قطر تقریبی 9 سانتی متر وكاملا یكنواخت استفاده شده ویك نیم كره فلزی ناقص با قطر حدود 140 سانتی متر جانشین كاسه چوبی گردیده است در نیم كره فلزی ناقص مذكور شیارهای مخصوص تعبیه شده كه كارت های آفتاب نگار(RECORD CARDS) برای فصول مختلف سال را در آنها قرار می دهند اشعه نورانی خورشید پس از تابیدن بر روی كره كریستالی از آن عبور كرده ودر پشت آن در یك نقطه روی كارت آفتاب نگار جمع می شود كارت مذكور در اثر گرمای حاصله داغ شده و می‌سوزد ، كره كریستالی (عدسی كروی) بوسیله دو عدد پیچ در امتداد قطر خود روی پایه فلزی كه شعاع انحنای آن هم مركز با كره مذكور می باشد قرار گرفته است . كره كریستالی همراه با پایه فلزی ویك كمان مدرج كه بر روی سطح پایه قرار گرفته اند قابل حركت وتنظیم می باشد (كمان مذكور بر حسب عرض جغرافیایی درجه بندی گردیده است) این سطح بوسیله سه عدد قابل تنظیم وبطور افقی روی پایه مربوطه محكم میگردد.

كارت های ثبات RECORD CARDS

كارت های آفتاب نگار كه برای ثبت مدت تابش خورشید مورد استفاده قرار می گیرند از نظر كیفیت طوری ساخته شده اند كه در مواقع بارندگی معمولا رطوبت جذب نكرده وخیس شدن وانبساطشان قابل ملاحظه نیست رنگ این كارتها معمولا آبی تیره بوده وتا اشعه خورشید را بهتر جذب كنند هنگامی كه كارت آفتاب نگار بر روی دستگاه در شیار مربوط به خودش قرار می گیرد ، اشعه خورشید پس از عبور از عدسی بر روی كارت جمع شده وكارت مذكور شروع به سوختن می كند این سوختگی به صورت نواری به پهنای تقریبی یك میلیمتر بر روی كارت ظاهر می شود در صورت ابری نبودن هوا نوار مذكور در طول كارت ممتد می باشد كه مدت آفتابی بر اساس درازی سوختگی بر روی كارت تعیین می گردد چنانچه در طول روز تابش خورشید به علت موجود بودن لكه های ابر در آسمان انفصالی باشد علائم سوختگی بر روی كارت آفتاب نگار بریده بریده خواهد بود كه اگر آنها را با یكدیگر جمع كنیم مدت زمان كلی تابش بدست می آید ، بر روی كارتهای آفتاب نگار درجه بندیهای بر حسب ساعت وجود دارد كه هنگام محاسبه طول مدت تابش خورشید (بر حسب ساعت ودهم آن) از آن استفاده می شود بسته به ارتفاع خورشید در افق جنوبی سه نوع كارت در فصول مختلف سال مورد استفاده قرار می گیرند هر یك از این كارتها در یك جفت بخصوص از شیارهای نیم كره فلزی ناقص پشت عدسی قرار داده می شوند كارت ها در فصول مختلف سال بشرح زیر بكار برده میشوند.

1-كارت های مستقیم (كارت های بهاری وپاییزی)


Straight Cards : Equinoctial Cards

طول این نوع كارتها حدود 24 سانتیمتر بوده در طول ایام سال در دو نوبت مورد استفاده قرار می گیرند نوبت اول ، از اول مارس (10 اسفند) تا 11 آوریل(22 فروردین) ونوبت دوم آن از سوم سپتامبر (12 شهریور) تا 14 اكتبر(22 مهر) می باشد محل استقرار این نوع كارتها در شیار وسط نیم كره فلزی ناقص می باشد .

2-كارت های قوسی طویل (كارتهای تابستانی )


Long Curved Cards : Summer Cards

طول این نوع كارتها حدود 30 سانتیمتر بوده و از تاریخ 12 آوریل (23 فروردین) تا دوم سپتامبر (11 شهریور )مورد استفاده قرار می گیرد محل استقرارشان در پایین ترین شیار نیم كره فلزی ناقص می باشد.

3-كارت های قوسی شكل كوتاه (كارتهای زمستانی )


Short Curved Cards : Winter Cards

طول این كارتها حدود 23 سانتی متر بوده و از تاریخ 15 اكتبر (23 مهر ماه) تا آخرین روز فوریه (9 اسفند) مورد استفاده قرار میگیرند محل استقرارشان در بالاترین شیار نیم كره فلزی ناقص می باشد.

یك سنجاق (پیچ نگهدارنده ) بر روی دستگاه وجود دارد كه از حركت كارت در دوره ثبت آفتاب جلوگیری می كند تعویض كارت آفتاب نگار بعد از غروب آفتاب علیرغم اینكه كارت فردای آن‌روز سوختگی را نشان خواهد داد یا نخواهد داد اجباری است.

موقعیت آفتاب نگار

Exposure Of The SunShine Recorder

آفتاب نگار بر روی پایه محكمی با ارتفاع حدود 5/1 متری از سطح زمین در ضلع جنوبی محوطه ایستگاه كار گذاشته می شود. محلی كه تعیین مدت آفتابی در آنجا انجام می شود بمنظور داشتن دید مداومی از خورشید در طی روز (از طلوع تا غروب خورشید) باید جایی باز وبدون مانعی در اطراف آن باشد تا حتی ساعتی از روز و یا وقتی از سال سایه ای توسط مانع بر روی دستگاه قرار نگیرد هنگام نصب آفتاب نگار بر روی پایه مربوطه اش دانستن شعاع جغرافیایی محل و یا ظهر محلی ضروری می‌باشد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:23 AM
ریاضی - ریاضی
سال 1766 میلادی، یوهان تیتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد كه با استفاده از آن می شد فاصله سیارات از خورشید را بدست آورد. چند سال بعد نیز دیگر منجم هموطن او، یوهان الرت بُد، این رابطه را مستقلا" دوباره كشف كرد.البته این رابطه را هر دو از طریق بازی با اعداد بدست آوردند و بدست آوری آن رابطه پایه علمی نداشت. امروزه این رابطه به رابطه تیتوس_بُد مشهور است. این رابطه بدین صورت است:

فاصله سیاره از خورشید(بر حسب فاصله متوسط زمین از خورشید)=0.4+(0.3*n)
http://www.hupaa.com/Data/Pic/P00236.jpg

... , n = 0, 1, 2, 4, 8

اعدادبدست آمده با دقت خوبی با فاصله واقعی سیارات همخوانی داشت:



سیارات

عطارد

زهره

زمین

مریخ

؟؟؟

مشتری

زحل

جواب رابطه تیتوس_بُد

0.4

0.7

1.0

1.6

2.8

5.2

10

فاصله واقعی از خورشید

0.39

0.72

1.00

1.52

؟؟؟؟

5.20

9.54


برای فاصله 2.8 برابر فاصله زمین از خورشید در آن زمان سیاره ای یافت نشده بود. بسیاری از اخترشناسان عقیده داشتند كه سیاره ای كوچك در این فاصله بین مریخ و مشتری وجود دارد كه كشف نشده است. جستجوی منظم نوار دایرِةالبروج برای یافت این سیاره مفقود از اواخر قرن هجدهم شروع شد و سرانجام در اولین روز قرن نوزدهم، یك منجم ایتالیایی به نام جوزپه پیاتزی، موفق شد جسم كوچكی را در حدود این فاصله از خورشید بیابد كه آن را سِرِس نامید. بعد از آن نیز اجرام دیگری با همین فاصله از خورشید كشف شدند. اخترشناسان آن دوران این نظریه را پیش كشیدند كه در آن فاصله از خورشید، بجای یك سیاره، تعداد زیادی سیارك وجود دارد كه با كشف تعدادزیادی از این سیاكها در سالهای بعد این نظریه تایید شد.در حقیقت رابطه تیتوس_بُد محرك اصلی كشف سیاركها بود.

سالها بعد نیز سیاره اورانوس كشف شد كه فاصله اش با فاصله پیشبینی شده توسط رابطه تیتوس_بُد نیز می خواند!(19.6 بنابر رابطه و 19.9 بنابر اندازه گیری). اما فاصله سیارات بعدی نپتون و پلوتو در این رابطه صدق نمی كنند. امروزه نظریه ای كه به نظریه واهلش دینامیكی(Dynamical Relaxation) موسوم است توضیحی برای این رابطه یافته است. بنا به این نظریه، سیارات نخست در مدارات متفاوت تكوین یافتند؛ اما سپس به مداراتی منتقل شدند كه نیروهای اغتشاشی گرانشی دیگر سیارات را به حداقل برسانند. نتیجه این كار از نظر ریاضی به روابطی شبیه رابطه تیتوس_بُد منجر می شود.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:24 AM
ریاضی - ریاضی
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقلیدس یگانه نظامى است كه امكان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى كردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یك خط و تنها یك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.»

هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بیش از یك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا كه كوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یك منحنى است.

هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد كه هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یك كره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد كه نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیكدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مكان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است.

نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشكارى میان ریاضیات محض و ریاضیات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است كه به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه كاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حركت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده كرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.

هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یك صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یك چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلكه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است كه سطح كرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى كوتاه ترین خطوط بین نقاط حركت مى كند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.

در نظریه نسبیت عام گرانش یك نیرو نیست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشیا اطلاق مى كنیم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد كه ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده كنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند كه به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه كرد به طورى كه شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى كه اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند كه پدیده هایى سازگار با زمان - مكان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است كه نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظریه هایى كه بدین طریق به دست مى آوریم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:24 AM
ریاضی - ریاضی


http://www.hupaa.com/Data/Pic/P00379.jpg ماهیت كار

ریاضی یكی از قدیمی ترین و پایه ای ترین رشته های علوم است . ریاضی دانان از نظریه های ریاضی , روشهای محاسبه , آلگوریتمها و آخرین دستاوردهای رایانه ای برای حل مسائل اقتصادی , علمی , مهندسی , فیزیك و تجاری استفاده می كنند.كار ریاضی دانان به دو بخش گسترده تقسیم می شود . ریاضی محض و ریاضی كار بردی . این دو گروه كاملا از یكدیگر قابل تمایز نبوده و اغلب بایكدیگرهمپوشانی دارند.

ریاضی دانان محض(نظری) با گسترش مبانی جدید و تشخیص روابط كشف نشده میان قوانین موجود ریاضی باعث گسترش دانش ریاضی می شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پایه بوده بی آنكه لزوما موارد كاربردی آنرا بررسی كنند ، چنین دانش مطلقی , نوعی راهبرد مفید در ایجاد وپیشبرد بسیاری از دستاوردهای مهندسی و علمی بوده است.

بسیاری از ریاضیدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاری خود را بین تدریس و امور تحقیقی تقسیم می كنند.

از طرف دیگر، ریاضی دانان كاربردی با بهره گیری از نظریات و روشهای ریاضی مانند روشهای محاسبه و مدل سازی ریاضی به فرمولبندی وحل مسائل عملی در امور تجاری , دولتی , مهندسی و درعلوم اجتماعی، فیزیك و امور مربوط به زندگی می پردازند . به عنوان مثال , برای برنامه ریزی درخطوط هوایی میان شهر ها , بررسی اثر ومیزان ایمنی داروهای جدید , خصوصیات آیرودینامیكی پیش مدل اتومبیل ها و مقرون به صرفه بودن روشهای دیگر تولید به تجزیه و تحلیل كار آمدترین راه می پردازند.

امكان دارد ریاضی دانان كاربردی كه دست اندر كار تحقیق و گسترش صنعتی هستند با حل مسائل مشكل باعث ایجاد یا تقویت روشهای ریاضی شوند .گروهی از ریاضی دانان به نام رمزیاب به تجزیه و تحلیل و كشف سیستمهای رمزی می پردازند كه به صورت كد بوده واز طریق آنها اطلاعات نظامی , ---------- , مالی یا اجرایی و قانونی رد و بدل می شود.

ریاضی دانان كاربری با یك مساله كاربردی شروع كرده , اجزای تفكیك شده عملیات مورد نظر را در فكر مجسم می كنند و سپس اجزا را به متغیر های ریاضی تبدیل می كنند.

ریاضی دانان غالبا با نمونه سازی توسط راه حلهای فرعی ، بوسیله رایانه به تجزیه و تحلیل روابط میان متغیرها و حل مسائل پیچیده می پردازند.

قسمت اعظم كار در ریاضی كار بردی به وسیله افراد با عنوانی غیر از ریاضی دان انجام می شود . در حقیقت ، از آنجائیكه ریاضی شالوده ایست كه بر اساس آن بسیاری ازرشته های علمی بنا می شود شمار افرادی كه از فنون ریاضی بهره می گیرند بیشتر از كسانیست كه رسما" به عنوان ریاضی دان شناخته میشوند .

به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رایانه , فیزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كسانی هستند كه به شكل وسیعی از علم ریاضی بهره می جویند. گروهی از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگیران , تحلیل گران محقق در عملیات , در حقیقت در شاخه خاصی از ریاضی متخصص می باشند . بسیار پیش میاید كه ریاضی دانان كاربردی برای دستیابی به راه حلهایی در مسائل گوناگون با افراد دیگر شاغل در سازمان همكاری كنند .

محیط كار ریاضی دانان غالبا"در دفاتر راحت كار میكنند .آنها اغلب جزئی از یك تیم متشكل از متخصصین علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رایانه ای , فیزیك دانان , تكنسین ها و دیگر افراد باشد .تحویل به موقع پروژه ها , اضافه كاری , تقاضاهای خاص برای اطلاعات یا تجزیه و تحلیل و مسافرتهای طولانی به منظور شركت در سمینارها یا كنفرانسها جزئی از شغل آنان محسوب می شود . ریاضی دانانی كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمینه تدریس و تحقیق مسئولیتهایی بر عهده دارند. این افراد اغلب یا به تنهایی امور تحقیقاتی را اداره می كنند و یا ازهمیاری دانشجویان فارغ التحصیل و علاقه مند به موضوعات تحقیقی بهره مند می شوند.

فرصتهای شغلی

بیشترین فرصتهای شغلی در سرویسهای تحقیقی و آز مایشی , آموزشی , امنیتی , سیستمهای تبادل كالا ، مدیریتی و روابط عمومی وجود دارد . دربین مراكز تولیدی ، صنایع هوا فضا و دارویی اصلیترین استخدام كننده ها میباشند . گروهی از ریاضی دانان نیزدر بانكها و یا شركتهای بیمه مشغول به كارند.

آموزش و ادامه تحصیل بسیاری از فرصتهای شغلی كه در كارهای پژوهشی برای ریاضیدانان در نظر گرفته میشود بصورت عضوی از یك تیم حرفه ای می باشد . دانشمندان محقق در چنین مشاغلی یا در زمینه تحقیقات پایه و مبانی نظری و یا در تحقیقات عملی برای ایجاد یا بهبود فرایند تولید مشغول به كار می شوند . اكثر افرادی كه دارای مدرك لیسانس یا فوق لیسانس بوده و در صنایع خصوصی كار میكنند , نه به عنوان ریاضی دان بلكه بعنوان برنامه نویس رایانه , تحلیل گر سیستم یا مهندس سیستم رایانه ای مشغول به كارند.

دوره های ریاضی مورد نیاز این مدرك شامل حساب دیفرانسیل , معادلات تفاضلی و جبر خطی و انتزاعی می باشد . دوره های اضافی میتواند نظریه های احتمالات و آمار , آنالیز ریاضی , آنالیز عددی , توپولوژی , ریاضیات گسسته و منطق ریاضی را در برگیرد .

بسیاری از دانشگاه ها برای دانشجویانی كه در رشته ریاضی تحقیق می كنند , در زمینه رشته های مربوط به ریاضی مانند علوم رایانه ای , مهندسی , فیزیك و اقتصاد دوره هایی بر گذار می كنند . برای بسیاری از كار فرمایان ,آگاهی همزمان در ریاضی و علوم رایانه ای , اقتصاد یا دیگر علوم نوعی مزیت محسوب می شود . یك محصل ریاضی آینده نگر باید تا جایی كه امكان دارد بسیاری از دروس ریاضی را در دبیرستان بیاموزد .

در مورد ریاضیات كاربردی آموزش دیدن در زمینه هایی كه قرار است ریاضی در آن به كار برده شود بسیار مهم است . ریاضی به شكل وسیعی در علوم فیزیك ,آمار , مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد . علوم رایانه ای , تجاری , مدیریت صنعتی , اقتصاد , امور مالی , شیمی , زمین شناسی , علوم روزمره و اجتماعی وابسته به ریاضی كار بردی می باشند . ریاضی دانان باید در زمینه برنامه نویسی رایانه ای از اطلاعات جامعی برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات ریاضی پیچیده و مدل سازی ریاضی بوسیله رایانه انجام می شود.

ریاضی دانان نیاز به قدرت استدلال خوب و مداومت برای تشخیص ، آنالیز و به كار بردن مبانی ریاضی در مسائل فنی دارند . مهارتهای ارتباطی مهم می باشد چرا كه ریاضی دانان بایستی در زمینه راه حلهای مطرح شده با افرادی وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافی ازعلم ریاضی ندارند.

چشم انداز كار

انتظار می رود كه در آینده از میزان استخدام افراد به عنوان ریاضی دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكی با نام علم ریاضی وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق لیسانس با اطلاعات جامعی در زمینه ریاضی و علوم مربوطه مانند مهندسی یا علوم رایانه ای احتمالا از فرصتهای شغلی مطلوب تری برخوردار خواهند بود . با این حال , بیشتر این افراد به جای عنوان ریاضی دان از عنوان كاری بر خوردار می شوند كه نمایانگر شغل آنان می باشد . پیشرفت تكنولوژی معمولا باعث گسترش كاربرد علم ریاضی می شود و در آینده به افرادی كه در این رشته مهارت یابند نیاز پیدا خواهیم كرد . با این وجود افرادی كه در امور صنعتی یا دولتی مشغول به كار می شوند علاوه بر علم ریاضی در علوم مربوطه نیز به دانش پیشرفته ای نیاز خواهند داشت ریاضی دانان برای یافتن شغل باید با افرادی رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته ریاضی تخصص دارند . موفق ترین جویندگان كاركسانی هستند كه می توانند مبانی ریاضی را در مسائل واقعی زندگی بكار برده و از مهارتهای ارتباطی ,گروهی و رایانه ای مطلوبی بهره مند هستند .

در صورت نیاز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك لیسانس می توانند به عنوان دبیر در مدارس مشغول بكار شوند.

رقابت كاری در میان دارندگان مدرك فوق لیسانس و در امور تحقیقی و نظری بسیار با لاست . از آنجایی كه اكثر مشاغل دانشگاهی در اختیار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسیاری از فارغ التحصیلان رشته ریاضی , بدنبال استخدام در مشاغل دولتی یا صنعتی می باشند.


میزان در آمد

در ایالات متحده در سال 2000, میانگین درآمد سالانه ریاضی دانان 68640 دلار بوده است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:24 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260163.jpgعلوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندة اثراث اجتماعی شگفت‌انگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش.
پیش‌بینی‌های گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مه‌آلود و اسرارآمیز است. این مقاله می‌کوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفت‌انگیز نانو بررسی کند. به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت ؟
همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیست‌ها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.
این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که می‌بایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیش‌گویی و پیش‌بینی کنیم.
دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبهة علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است. محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیة پیش‌بینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایة تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است.
همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیق‌تر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیق‌پذیری آن با واقعیت، به بحث می‌پردازند. «‌محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است.
مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسه‌های علمی هستند و اغلب اوقات در سیستم‌های آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمی‌شود. یک مدل ریاضی بر پایة فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده می‌شود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون می‌توان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا می‌بایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد.
در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر داده‌های آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت می‌یابد.
یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه می‌کند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس می‌گیرد.
مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.
تئوری در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسه‌های فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.
عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق می‌افتد. زمانی مدلها، مشابه سیستم‌های شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت ‌انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید می‌آورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیش‌گوئی اتفاق می‌افتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل می‌گیرند. میان‌برهای اساسی لازم است تا شبیه‌سازی صورت گیرد:
طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیه‌سازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالش‌ها نوید دهندة برهم کنشهای کامل میان حوزه‌های مختلف ریاضی خواهد بود.
آثار اجتماعی این چالش‌ها زیاد و متنوع خواهد بود.
منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود.
جامعه ریاضی می‌بایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشته‌ای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات.
ریاضیات چه حوزه‌هایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزه‌های ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.

برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی می‌کنیم:
ـ روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزه‌های شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹)
ـ روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیه‌سازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایه‌های پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou)
ـ تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)
ـ روشهای بهبود مش‌بندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندة مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz)
ـ روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحله‌ای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوب‌گیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)
ـ روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئن‌ها) (Pierce& Giles)
ـ روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازک‌ها (Caflisch))
ـ روشهای چند شبکه‌بندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است.
ـ روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)




منبع:ستاد ویژه توسعه فناوری نانو

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:25 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/250064.jpgچرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است:((کسی این کار را نکند نمیتواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد...چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمیدانند به جهالت خودشان پی نمی برند ودر نتیجه در پی چاره جویی بر نمی آیند.))
می توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم اما ممکن است بعضیها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد....
شاهدی تازه تر می آورم پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نبایدبه هیچ شهود فیزیکی ای اعتماد کنید.پس به چه چیزی اعتماد کنید؟به گفته ی این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات _ولو اینکه در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.
در حقیقت در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند.در اینجاستکه قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ مینمایاند.
بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است.اکنون می خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله ی آموزش ریاضی بررسی کنیم.
سه روش اموزش ریاضیات
در اموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام اموزشی اروپایی هستیم که بر اساس ((بورباکی ای سازی))ریاضیات بنا شده است (نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه ای از کتابها دست زده اندکه در انها شاخه های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی_یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه ی مجموعه ها_شرح داده شده است.)
اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می شود واین زیانی است که بورباکی ای سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است.نمونه ای شگرف مثال زیر است:
از دانش آموز سال_دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده اند ((دو بعلاوه ی سه چقدر میشود؟)) پاسخ چنین بود ((چون جمع تعویض پذیر است می شود سه بعلاوه ی دو.))
پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است اما دانش آموزان حتی به جمع کردن ساده ی این دو عدد هم فکر نکرده اند زیرا در تعلیم انها تکیه بر ویژگی های عملها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارساییهای این روش شده اند و بورباکی ای سازی را کنار گذاشته اند.
طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است.اساس این سبک این اصل است: آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است آموزش بدهید.در نتیجه کسی که فکر می کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت اصلآ لازم نیست ان را بخواند.ریاضیات درسی اختیاری در دوره ی راهنمایی و دبیرستان است_مثلآ یک سوم دانش آموزان دبیرستانی جبر نمی خوانند.نتیجه ی این امر را در مثال زیر روشن کرده ایم:
در آزمونی برای دانش آموزان چهارده ساله ی آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه اینکه حساب کنند بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم این عدد چه تغییری می کند.سه نوع پاسخ را می توانستند انتخاب کنند: زیاد میشود،تغییری نمیکند،کمتر میشود.تقریبآ 30 درصد دانش آموزان سوال شونده پاسخ درست را برگزیده بودند.یعنی اینکه پاسخها را تصادفی انتخاب کرده بودند.نتیجه: هیچ کس هیچ چیز نمی داند.دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی،کامپیوتری کردن آن است.
جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش تواناییهای فکری کمکی نمی کند.مثالی دیگر از یکی از آزمونهای آمریکا میاوریم:
کلاسی 26 دانش آموز دارد.این دانش آموزان می خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند.در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش آموزجا می شوند.چند نفر از اولیا را میتوانیم دعوت کنیم؟
جوابی که همه داده بودند 65 نفر بود ودانش آموزان می دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد،می توان بلایی سر ممیز آورد_مثلآ می توان اصلآ آن را برداشت.
نمونه ی دیگری از یکی از آزمونهای رسمی دانش آموزی در سال 1992 می آوریم:
رابطه ی کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه ی میان زاویه و درجه دارد:
الف) زمان وساعت
ب) شیر وکوارت ((واحد اندازه گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر))
ج) مساحت و اینچ مربع
پاسخ،مساحت و اینچ مربع است،زیرا درجه ی کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه گیری مساحت است،اما ساعت را می توان به دقیقه هم تقسیم کرد.
طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می اندیشیده است.می ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.( جو برمن،استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که( از نظر او که آمریکایی است) ،پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است.او گفت که ((اصل مطلب این است که من می توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم.))_) مایه ی شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.
امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می شود.مطابق معمول ،باز هم عقبیم،حدود سی سال از اروپا عقبتریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا میرسد که اوضاع را سروسامان بدهیم و از چاهی که با ظناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته ایم بیرون بیاییم.
سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله های حساب بوده است.حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده هایی بودند که نسخه هایی از کتابهای قدیمی مربوط به مسئله های ((سود و زیان)) را داشتند.در حال حاضر، همه ی اینها از بین رفته است.در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی،جبری سازی، دانش آموزان را به روبات تبدیل کرده است.
مساله های حساب است که ((بی محتوایی)) ریاضیاتی را که تدریس می کنیم نشان می دهند مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید:
1.سه تا سیب داریم.یکی را برمی داریم.چند تا باقی مانده است؟
2.چند برش با اره لازم است تا تکه ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟
3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است.در خانواده ی او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟
از منظر حساب اینها مساله های متفاوتی هستند،زیرا محتوایشان فرق می کند.همچنین،تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله ها هم کاملآ متفاوت است،هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است: 2=1-3 جالب توجه ترین نکته در ریاضیات،فراگیر بودن شگفت آور الگوها و کارایی نامحدود انها در مساله های علمی است.
به قول ولادیمیر مایاکوفسکی،شاعر بزرگ روس: ((کسی که اولین بار دو بعلاوه ی دو می شود چهار را، مطرح کرده است حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد،ریاضیدان بزرگی بوده است.هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد،حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری،مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد،ریاضیدان نیست)) لوکوموتیو شماری،روش آمریکایی آموزش ریاضیات است.چنین چیزی مصیبت بار است.طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه ای است که نشان می دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است:ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشترفت کند،در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته اند برایشان فراهم کرده است.ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می ماند: تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم،سر و کله ی کامپیوترها پیدا می شود .باید شیوه ی فکر کردن را آموزش بدهیم،نه طرز فشار دادن دکمه ها را.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:25 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260183.jpg
به مناسبت سی امین سال درگذشت محسن هشترودی
هستم ، پس می اندیشم
هشترودی از نگاه دیگران
صدای هشترودی رساترین صدای تبلیغ علم و ریاضیات در زمانی بود كه علم جدید در این مملكت هیچ پایگاهی نداشت. شاید بتوان گفت كه هر فرد نسل ما كه به دنبال ریاضیات و فیزیك بله، فیزیك هم رفت، به طور مستقیم یا غیر مستقیم زیر نفوذ هشترودی بود.
«دكتر سیاوش شهشهانی»
هشترودی از نادر اندیشمندان زمان ما بود، كه در دوران تخصص ها، همه جانبه بود و از دانش و هنر و فلسفه به عنوان مجموعه واحد و ناگسستنی معرفت انسانی آگاه بود و در دوران دریوزگی و لذت طلبی، در مقام یك انسان وارسته و آزاده باقی ماند.
«استاد پرویز شهریاری»
اشراف دكتر هشترودی در علوم، خصوصا علم ریاضی، او را به صورت یك استاد مرجع درآورده بود كه سر حكمت را فقط می توانستیم از كلام شیوای او دریابیم. حكمت واسعه دكتر هشترودی، محدود به علوم پایه و ریاضیات نبود، بلكه گستره دانش و بینش او شامل ریاضیات، فیزیك، هیئت، نجوم، فلسفه، عرفان، ادبیات و هنر و به طور كلی تمام معرفت بشری می شد.
«عباس صدوقی»
دكتر هشترودی، دانشمندان و علاقه مندان به دانش را در هر كسوتی و با هر مسلكی كه داشتند، گرامی می داشت.
«عبدالحسین مصحفی»
سیزدهم شهریور سال ۸۵ سی امین سالمرگ محسن هشترودی، از چهره های برجسته ریاضی كشور است. در این مقاله نگاهی داریم به زندگینامه، تحصیلات و همچنین فعالیت های علمی و فرهنگی وی.

مولوی می گوید: «بر اندیشه گرفت نیست و درون عالم آزادی است.» كانتور می گوید: «جوهر ریاضیات آزادی آن است.»

هشترودی عارفی بود با اندیشه ریاضی یا ریاضیدانی عارف مشرب. او در شرایط اسفناك زمان خویش به لحاظ علمی به بسط دانش و جهان بینی علمی در این سرزمین همت گماشت و اگرچه كم توفیق آن را یافت كه به همیاری تنی چند، علاقه به تفكر علمی را در میان ما برانگیزد. هرازگاهی چنین می نماید كه علم نه از طریق تكنیك بلكه از جهت تغییر اندیشه بشری و دگرگونی جهان بینی انسان، معنی جهان شمول خود را باز یافته است و این ممكن نیست مگر به سودای دانشمندانی كه در وسعت اندیشه خود، دانش را به ابعادی گسترده با فلسفه می پیوندند تا سازنده جهانی روشن تر و مردمی تر باشد. بی شك هشترودی، استاد جامع العلوم، یكی از معدود پیشروان این گروه ارزنده اندیشمندان بوده است. آن تصور محدود از علم كه عالم را به تكنوكرات و عاملی چشم و گوش بسته بدل می سازد برای او هرگز متصور نبود. تموج گسترده افكار وی چنان وسیع بود كه مسائل بسیار فراتر از حوزه علوم و فلسفه را نیز شامل می شد.
دیده نشده است كه ریاضیدان و فیلسوفی این چنین در هنر و ادب متبحر باشد. استاد مدت ها در دانشگاه های مختلف به تدریس دروس غیرریاضی اشتغال داشت و از آن جمله در جایی تاریخ هنر درس می داد. استادی اش در ریاضیات چنان بود كه دانشجویان درباره دانشش افسانه ها ساخته بودند. جهان بینی علمی فلسفی وی حوزه ای چنان گسترده از تفكر در اختیارش می نهاد كه بدون احتیاج به تحصیلات تخصصی وی را قادر می ساخت كه از طریق زیربنای فلسفی منطقی مسائل او با بهره گیری از منطق دقیق ریاضی، موضوعات مختلف را با ارتباطی اساسی تواما تجزیه و تحلیل كرده و در نهایت همچنان كه از طریق فلسفه به حیطه مسائل وارد شده بود، به همان سیاق بررسی را خاتمه بخشد، در حالی كه رشته ای از روابط به ظاهر نامعلوم ولی عمیقا آشكار بین آنها به دست می داد. دانش عمیق او در منطق قاطعیتی سازنده به افكار و سخنانش می بخشید. در سخنرانی چنان مسلط و دقیق سخن می گفت كه نشان دهنده آگاهی عمیق و همه جانبه او بر تمامی موضوعات مورد بحث بود، این قاطعیت و استواری بیان علمی كه با اصطلاح «بی شك» در لفظ وی مشهور بود، نشان دهنده سیمای درخشانی از «علم كلاسیك» است كه استادانش اكثر رخت به سرای دیگر كشیده اند. در كنگره مسائل ریاضی انتگرال های فاینمن كه در اواخر ماه مه سال ۱۹۷۸ برگزار شد، فرهاد قابوسی از پروفسور آندره لیشزوویچ ریاضیدان برجسته فرانسوی در مورد هشترودی پرسید. وی با قطعیت او را یكی از دوستان بزرگ خویش دانست و در موردش گفت: «او یكی از هندسه دانان خوب به شمار می رفت.» آنان مظاهری زنده از دوران طلایی علم اوایل قرن بیستم بودند كه با نزول فرهنگ و انحطاط تمدن در استیلای ماشین سرمایه سالاری در تاریخ دیگر نظیرشان یافت نخواهد شد. استاد هشترودی بی شك در زمره نوابغی بود كه با آمیزش علم و فلسفه در گستردن دامنه انقلاب اندیشه ای تا به امروز مرحله ای متعالی از دستاوردهای انسانی را فراهم ساخته اند. بی گمان مرگ اینان كه تبلور علم انسانی بودند خبر از فاجعه ای می دهد كه همچون سال های پیش از «رنسانس» انسان را به تاریكی فرهنگ و ظلمات تمدن سوق خواهد داد، تا شاید دگربار عالمانی دیگر بشر را از آن خلوت «مرگ فرهنگ» رهایی بخشند و سپیده دمی دیگر بر آنان ارزانی دارند. در مرگش نباید سخن گفت كه همواره زنده است. زندگی اش «انسانیت» او بود و اندیشه هایش كه همیشه جاودانی خواهند ماند. اما این را باید گفت كه در سال های آخر عمرش بسیار رنجیده خاطر می نمود. رنجیده از جهانی كه بر ضد انسان آلوده شده است. یكی از علل رنجیدگی وی در اواخر عمر، خودكشی دخترش بود كه گویا سنگینی آن، مرگ وی را نزدیك تر ساخت. جهانی كه انسان زندگی اش را به ناكامی در آن به سر می برد و در این میان اندیشمند امروز به قول استاد طالب آن ظلمات مغاره ای است تا از فشار این همه نابسامانی راحت شود. مسئولیت او را ثمری نیست، چرا كه جز در حیطه عمل آن هم مرگناك بی شك سخن گفتن را فایده ای نیست، این است كه اندیشمند در كنج كاشانه ای كه آنجا هم از مصایب روزگار گریزی نیست محدود می شود. این جاست كه اعتقاد به نسل دیگر نسلی جوان كه جوش و خروشش حوزه امكانات را در هم می دوزد و از مسئولیت های عادی فراتر می رود در اندیشمندان نسل پیش پیدا می شد. هشترودی نیز در این چند سال اخیر چشم امیدش به جوانان بود و همیشه از افكار و عقاید آنان دفاع می كرد. چندین بار در سخنرانی هایش گفت: «اگر ممكن بود می گفتم تا مرا در همین دانشگاه دفن كنید تا جوانان از روی خاك من بگذرند.» و شاید همین تهور پیرسالانه بود كه شناختنش را مشكل می كرد. استاد هشترودی، جزء معدود «نوابغ شفاهی» بود و گفتارش جوهر جهان بینی و دانش گسترده اش. درك ارتباط اساسی بین گفته هایش و ریشه یابی علمی سخنانش مگر با اطلاعی در زمینه فلسفه و تاریخ علوم مشكل می نمود. چرا كه علمش محدود به درهای بسته دانشگاه نمی شد. از دكتر هوشیار استاد فلسفه دانشگاه تهران روایت می كنند كه گفته اگر در كفه ای از ترازو استاد هشترودی و در كفه ای دیگر همه استادان دانشكده علوم و دانشكده ادبیات به قولی دیگر همه استادان دانشگاه را هم قرار می دادیم، كفه ای كه استاد در آن بود، سنگینی می كرد. شاگردان استاد بهتر از هر كس می دانند كه درس استاد هشترودی شاید تنها مورد درس غیركلاسیك و اساسا تحقیقی بود كه در تمامی سال ها در دانشگاه تهران و بالطبع در ایران درس داده شده است. به خوبی به نابسامانی علم نیز مطلع بود كه در خدمت تكنولوژی از مسیر انسانی خود منحرف شده است. اضطراب ناآگاه بشر از این آلودگی در ذهن فعال وی آگاهانه رشد كرده و همه دیگر مسائل فكری اش را تحت الشعاع قرار داده در سخنرانی ها و صحبت های خصوصی اش همواره از این اضطراب سخن می گفت. اضطرابی كه بیشتر ناآگاهانه و گهگاه آگاهانه در جوامع انسانی نمایان می شد. وی به جریان های تحلیلی طولانی علاقه مند بود و ذهن كاوشگر او چه بسیار استدلال های منطقی كه در این زمینه یافته و تحلیل می كردند و عموما استدلال های زنده و مربوط به انسان نه مجرد پایه اعتباری عقاید وی را در مورد وجوه انسانی علم تشكیل می داد. انسانیتی كه در اندیشه او معبر «علم به هنر» بود و این از خوشبختی های استاد بود كه در دوره دگرگونی علم از صورت قطعیتی آن به صورت واقع گرایانه اش در طلب آن كوشیده و به اوج آن دست یازیده بود. وی قبل از تحصیل ریاضی ابتدا فلسفه و مذهب اسلامی و بعد طب تحصیل كرده بود، در دانشگاه پاریس از شاگردان برجسته الی كارتان بزرگترین هندسه دان قرن و مخترع اسپینورها بوده و مورد احترام بسیاری از ریاضیدانان فعلی بوده است. صورت جدید علم حالتی هنرگونه یافته بود، منطبق با ضرورت های زمانه كه خلجان عمومی بشر را در طرح های گوناگونش نقش می زد.
بی گمان این مشابهت بین علم و هنر از آن جاست كه این دو انعكاس های مختلفی از طبیعت در ذهن آدمی هستند. به قول داوید هیلبرت ریاضیدان بزرگ، طبیعت می جهد و این جهش ها است كه در نظر «عالم» به صورت توابع ناپیوسته «انرژی در زمان» و در نظر شاعر همچون «گذری متخلل» از لحظاتی میرا جلوه گر می شود. عالم و هنرمند به ثبت تحلیلی جهان پیرامون خود می پردازند. یكی از طریق «تجربه و منطق» و دیگری به وسیله «احساس و تخیل»، اگر همه اینها در كسی جمع آید، هر دو خواهد شد. «نقاشی فیزیكدان» چون لئوناردو داوینچی یا «ریاضیدانی شاعر» چون خیام و هشترودی و هشترودی در این پیوند به اوجی ارجمند دست یافته بود.
در دوران علم نااخلاق، او دانشمندی خوش خلق به شمار می رفت. با شرافت زندگی كرد و به مناعت طبعی دست یافت كه كمتر كسی را در حد آن توان شناخت اینك كه وی از دروازه زمان گذشته و به افسانه ها پیوسته است، باشد كه به احترام انسانیت متعالی و وارستگی عالمانه اش در نشر افكار علمی و انسانی او بكوشیم و از این طریق آثار شفاهی او را كه متاسفانه كمتر چاپ شده اند، از این سوی و آن سوی كشور جمع آورده و منتشر كنیم، تا حقیقت افكارش در روشن كردن «سیمای انسانی علم» و جهانی كردن آن ما را یاری دهد. شرافت انسانی و علو همتش را بیاموزیم، اگر كه در آرزوی علم به مثابه عامل انسان در چیرگی بر طبیعت هستیم. دریغا كه در طول حیاتش او را به كمال نشناختند و نشناساندند. بجاست كه این مقال را با بیان ارسنت رخان در رثای اسپینوزا در پای مجسمه او به پایان بریم كه در حق معدودی دیگر از اندیشمندان نیز رواست: «خوار و زبون باد آن كه هنگام عبور از این جا به این قیافه نجیب و متفكر ناسزا بگوید، سزای او همان جهل اوست كه سزای همه جاهلان است… این مرد از روی این پایه سنگی به تمام مردم جهان راه خوشبختی را نشان می دهد و هر كه از این راه برود به آن خواهد رسید. سیاحان متفكر كه در قرون آینده از اینجا خواهند گذشت، در دل خواهند گفت كه حقیقی ترین مظهر خدا در این جا تجلی كرده است.»

منابع:
۱ یادنامه دكتر محسن هشترودی، هادی سودبخش
۲ مجله «آشتی با ریاضیات»، شماره های مهر و آبان ۱۳۵۷
۳ دانش و هنر، «محسن هشترودی»
۴ «پدیده هشترودی» تكرار شدنی نیست، نوشته سیاوش شهشهانی، مجله نشر ریاضی، سال ۴، شماره ۱ و ۲، مرداد ۱۳۷۰
گاهشمار زندگی پروفسور محسن هشترودی
از نگاه هشترودی
دانش در جست وجوی چیزی است كه هست ولی هنر در پی آفرینش چیزی است كه نیست. اگر هنرمند امروز سرسام زده به نظر می آید، به دلیل آن است كه گناه ناخواسته دانش را معصوم دیگری كه همان هنرمند است، باید با اشك چشم تائید كند.
دكارت می گوید: می اندیشم پس هستم.
من می گویم: هستم پس می اندیشم.
«پروفسور محسن هشترودی»
دكتر محسن هشترودی در ۲۲ دی ماه سال ۱۲۸۶، در تبریز متولد شد. پدرش شیخ اسماعیل مجتهد مشاور شیخ محمد خیابانی در قیام تبریز و استقرار مشروطیت، نقشی اساسی داشت.
پس از اتمام دوره دبستان در دبستان های اقدسیه و سیروس تهران، دوره دبیرستان دارالفنون را در سال ۱۳۰۴ تمام كرد. در سال ۱۳۰۷، در اولین گروه دانشجویان اعزامی به اروپا، برای تحصیل در رشته مهندسی، از طرف وزارت فوائد عامه عازم اروپا شد. در سال ۱۳۰۸، به وطن بازگشت و وارد دارالمعلمین مركزی شد. دارالمعلمین مركزی را بعدها دانشسرای عالی و سپس دانشگاه تربیت معلم نامیدند. در سال ۱۳۱۱، شاگرد اول دانشسرا و جزء دومین دوره فارغ التحصیلان و گروه پنجم اعزامی به فرانسه شد.
در سال ۱۳۱۲، دو سال زودتر از موعد مقرر موفق به كسب امتیاز اول در امتحانات آنالیز عالی در پاریس و اخذ لیسانس دوم در رشته ریاضی از دانشگاه سوربن شد. در سال ۱۳۱۵ به همراه دكتر محمد علی مجتهدی دكترای دولتی یا «راتا» را دریافت كرد.
رساله دكترای دكتر هشترودی توسط ریاضیدان نامدار «الی كارتان»، راهنمایی و تصویب شد.
در سال ۱۳۱۶، تدریس ریاضیات هندسه، حساب، آنالیز را در دانشكده ادبیات، علوم و دانشسرای عالی آغاز كرد كه آنها سال ها در یك جا جمع بود. در سال ۱۳۲۰، در دانشسرای عالی به پایه استادی رسید.
در سال ۱۳۲۱، كرسی مكانیك تحلیلی گروه آموزشی ریاضی دانشگاه تهران به وی اعطا شد. در همان سال، به مقام ریاست فرهنگ تهران اداره تعلیمات متوسطه و نیز دریافت امتیاز مجله هفتگی «نامه كانون ایران» از شورای عالی فرهنگ نایل شد. در سال ۱۳۲۲، در اعتصاب استادان و دانشجویان دانشگاه تهران برای استقلال دانشگاه از وزارت معارف فعالانه شركت كرد.
این اعتصاب سرانجام در سال بعد با كوشش دكتر محمد مصدق منجر به تصویب تبصره ای در مجلس شد. در سال ۱۳۲۳ با «رباب مدیری» ازدواج كرد و پدر دو دختر و یك پسر به نام های فرانك، رامین و فریبا شد. در سال ۱۳۲۵، یك مجمع فلسفی را هدایت كرد كه اشخاصی چون امیرحسین آریان پور و ابوالحسن فروغی و حسینعلی راشد در آن عضویت داشتند. پس از چندی این مجمع در منزل استاد تشكیل شد و به مدت پنج سال ادامه یافت.
در سال ۱۳۲۶، برای تنظیم رساله دكترا در هندسه ترسیم فضای چهاربعدی استاد راهنمای «الكساندر سمباد آبیان» شد. این رساله بعد به تائید الی كارتان نیز رسید. در سال ۱۳۲۹، در كنگره بین المللی ریاضیدانان در دانشگاه هاروارد به عنوان نماینده دانشگاه تهران شركت كرد و گزارش آن را به الی كارتان تقدیم كرد. در این زمان استاد به عضویت موسسه مطالعات پیشرفته دانشگاه پرینستون آمریكا درآمد. این عضویت به درخواست ریاست آن دانشگاه، پروفسور «اوپن هایمر»، انجام شد. استاد در ترم پائیز ۵۲۱۹۵۱ نیز به تدریس در آن دانشگاه مشغول شد. در این سال ها، با اینشتین نیز به مصاحبت و گفت وگو می پرداخت. در سال ۱۳۳۰ به ایران مراجعت كرد و به مدت یك سال ریاست دانشگاه تبریز را عهده دار بود. در سال ۱۳۳۲، در كنگره بین المللی ریاضیدانان در آمستردام به عنوان نماینده دانشگاه تهران شركت كرد. در سال ۱۳۳۵، در كنگره طوسی دانشگاه تهران به ایراد سخنرانی پرداخت. در همین سال ریاضیدان برجسته «زاریسكی»، مقیم آمریكا، اقامت چند روزه ای در منزل دكتر هشترودی داشت. در سال ۱۳۳۶، در كنگره بین المللی ریاضیدانان زبان لاتین در شهر نیس فرانسه شركت كرد و از طرف شورای استادان دانشكده به ریاست دانشكده علوم دانشگاه برای یك دوره ۳ساله انتخاب شد. استاد متعاقبا پیشنهاد كار در موسسه تحقیقاتی «كلژ دوفرانس» را رد كرد.
در این سال به تقاضای بدیع الزمان فروزانفر نایب رئیس انجمن ایرانی فلسفه و علوم انسانی دانشكده معقول و منقول، سخنرانی ای در باب «تجسم و تصویر» ایراد كرد. باز در همین سال بود كه استاد كوشش مستمری برای تصویب تبصره الحاقی به قانون استخدام مهندسان را به انجام رساند كه این قانون گام بزرگی برای اشتغال و تامین آتیه فارغ التحصیلان رشته های علوم بود. هشترودی در این سال هدایت سازمان صنفی دانشجویان را به مدت ۳ سال عهده دار شد و تاسیس كانون فارغ التحصیلان دانشكده علوم را مطرح كرد. در سال ۱۳۳۷ در كنگره بین المللی ریاضیدانان در ادینبو شركت كرد و با بزرگانی چون برتراند راسل به مصاحبت و گفت وگو پرداخت. در سال ۱۳۳۸ به پیشنهاد ریاست انجمن اتحادیه بین المللی فضا به عضویت در این انجمن درآمد. در همان سال دوره فوق لیسانس ریاضی را در ایران راه اندازی كرد.
در سال ۱۳۴۰ با همكاری منوچهر آتشی و احمد شاملو به مدت یك سال ریاست هیات تحریریه نشریه فرهنگی، علمی، هنری «كتاب هفته» كیهان را به عهده گرفت.
در سال ۱۳۴۳ در كنگره بین المللی ژئومتری و ژئودزی در صوفیه شركت كرد. در همین سال هیاهویی برای نامزدی وی برای دریافت جایزه نوبل در زمینه مكانیك سماوی به وجود آمد. در سال ۱۳۴۷، طی نامه ای خطاب به مدیر مجله یكان، پیشنهاد داد كه انجمن ریاضی و انجمن معلمان ریاضی، به مفهوم عام تشكیل شود. استاد در سال ۱۳۴۸ بنا به تقاضای خودش بعد از ۳۱ سال خدمت در كسوت استادی تمام وقت دانشكده علوم، بازنشسته شد.
در این سال همچنین به ریاست كانون فضایی ایران و ریاست هیات امنا و شورای نویسندگان مجله «فضا» منصوب شد. در سال های ۱۳۴۹ ، ۱۳۵۰ و ۱۳۵۱ در كنفرانس های اول، دوم و سوم ریاضی كشور شركت كرد. در شهریور ماه سال ۱۳۴۹ موفق به دریافت لوح استاد ممتازی دانشگاه تهران شد. در سال ۱۳۵۱ در كنگره تحقیقات ایرانی در دانشگاه تهران به ایراد سخنرانی پرداخت. در سال ۱۳۵۲ همسر خویش را برای درمان روانه آلمان كرد. دختر بزرگش نیز در فرانسه به طور نابهنگامی وفات یافت و بدین ترتیب، احوال استاد رو به نزاری گذاشت و بالاخره، در ۱۳ شهریور ماه سال ۱۳۵۵، استاد بر اثر سكته قلبی به سرای باقی شتافت و جنازه وی در ۱۷ شهریور ماه از مسجد دانشگاه تهران تا بهشت زهرا تشییع شد.




منبع: روزنامه شرق

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:27 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260181.jpgانسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور كه مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد كه مبنای آن ۶۰ بود. این دستگاه شمار كه بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است كه آثاری از آن در كهن ترین مدارك موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عكاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.

ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت ---------- کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.

ادامه دهندگان مسیر افلاطون
* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.

مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان
در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.
* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.
* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹- ۵۴۸ ق. م.) است كه در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت و می توان وی را موجد علوم فیزیك، نجوم و هندسه دانست. در اوایل قرن ششم ق. م. فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م.) از اهالی ساموس یونان كم كم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مكتب فلسفی خویش همت گماشت. پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی كه در ۴۹۰ ق. م. در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی كیوس قضایای متفرق آن زمان را گردآوری كرد و در حقیقت همین قضایا است كه مبانی هندسه جدید ما را تشكیل می دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبی ایجاد كرد كه نه قرن بعد از او نیز همچنان برپا ماند. این فیلسوف بزرگ به تكمیل منطق كه ركن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضی دان معاصر وی ادوكس با ایجاد تئوری نسبتها نشان داد كه كمیات اندازه نگرفتنی كه تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر كرده بود هیچ چیز غیرعادی ندارد و می توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها ریاضی دانی كه بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارك بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ گامهای بلند و استادانه ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع كرد. بطلمیوس كه به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارد در تعقیب افكار هیپارك بسیار كوشید. در سال ۶۲۲ م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگی تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خلیفه عباسی تمدن اسلام به حد اعتلای خود رسید به طوری كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی زبان علمی بین المللی شد. از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یكی خوارزمی می باشد كه در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸-۹۳۸) است كه جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (۱۰۳۹-۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام برد كه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یكی از دردناكترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاكت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی كه در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناكسی (۱۲۲۰-۱۱۷۰) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیكلاارسم فرانسوی می باشد كه باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مكانیك ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (۱۶۰۳-۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یكی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود.
▪ كوپرنیك (۱۵۴۳-۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
۱) مركز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
۲) در حالیكه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
۳) زمین در هر ۲۴ ساعت یكبار حول محور خود می چرخد، نه كره ستاره های ثابت.
پس از مرگ كوپرنیك مردی به نام تیكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وی نشان داد كه حركت سیارات كاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مركز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیكوبراهه به یوهان كپلر كه در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها كار وی به نخستین كشف مهم خود رسید و چنین یافت كه سیارات در حركت خود به گرد خورشید یك مدار كاملاً دایره شكل را نمی پیمایند بلكه همه آنها بر روی مدار بیضی شكل حركت می كنند كه خورشید نیز در یكی از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست.
از فعالترین دانشمندان این قرن كشیشی پاریسی به نام مارن مرسن كه می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال ۱۶۰۹ گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می كرد. وی یكی از واضعین مكتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف كرد. در همان اوقات كه گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه كرد در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در تورن فرانسه رنه دكارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذكر كرد.
شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا می باشد و در كتابی به نام مركزثقل ذكر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است كه یكی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است كه وی كاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری كه در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارك فرانسوی است كه بیشتر به واسطه كارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال كه بواسطه ترازوی مشهوری كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت كوچك در تاریكی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما یكی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیك برابر گالیله دانست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن كرده بودند. لایب نیتس در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت كوچك انقلابی برپا كرد. هوگنس نیز در تكمیل دینامیك و مكانیك استدلالی با نیوتن همكاری كرد و عملیات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود.
در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یك دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مكانیك به كار برد و از روشهای آن استفاده كرد. كلرو رقیب او در ۱۸ سالگی كتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آكادمی علوم تقدیم نمود كه شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مكانیك آسمانی و هندسه بی نهایت كوچكها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است كه در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ م. در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳ م. در روسیه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مكانیك تحلیلی او كه در سال ۱۷۸۸ . عمومیت یافت بزرگترین شاهكار وی به شمار می رود. لاپلاس كه در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود كتابی تحت عنوان مكانیك آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی كه هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد.
ژان باتیست فوریه در مسأله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع كرد كه یكی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد كه اكتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری كامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد.
كوشی فرانسوی كه در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در ۲۶ اكتبر ۱۸۱۱ م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را كه قبلاً بوسیله كوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به كار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص كرد.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد كه آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشكال» دارد همچنین لازار كانو فرانسوی كه اكتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممكن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیكلاس ایوانویچ لوباچوشكی نخستین كشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیك قازان تقدیم كرد.
ادوارد كومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آكادمی علوم پاریس را از آن خود كرد. در اینجا ذكر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت كه در مورد توابع بیضوی كشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ كانتور ریاضیدان آلمانی مكه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم كوفت.
▪ كانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف كرد:
۱) اجتماع اشیایی كه دارای صفت ممیزه مشترك باشند هر یك از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند.
۲) اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتكاری و تصوری هنری پوانكاره یا غول فكر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است كه به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اكتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانكاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر كارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیكارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیك ریاضی به منتها درجه تكامل خود رسید و دانش نجوم مكانیك آسمانی تكمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیك و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.

تاریخچه مثلثات
تاريخ علم به آدمى يارى مى رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخيص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در ميان تاريخ علم، تاريخ رياضيات و سرگذشت آن در بين اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهميت زياد، از آن غافل مانده اند. در نظر داريم در اين فضاى اندك و در حد وسعمان برخى از حقايق تاريخى( به خصوص در مورد رشته رياضيات) را برايتان روشن و اهميت زياد رياضى و تاريخ آن را در زندگى روزمره بيان كنيم.
براى بسيارى از افراد پرسش هايى پيش مى آيد كه پاسخى براى آن ندارند: چه شده است كه محيط دايره يا زاويه را با درجه و دقيقه و ثانيه و بخش هاى شصت شصتى اندازه مى گيرند؟ چرا رياضيات با كميت هاى ثابت ادامه نيافت و به رياضيات با كميت هاى متغير روى آوردند؟ مفهوم تغيير مبناها در عدد نويسى و عدد شمارى از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ يا چرا در سراسر جهان عدد نويسى در مبناى ۱۰ را پذيرفته اند، با اينكه براى نمونه عدد نويسى در مبناى ۱۲ مى تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ رياضيات از چه بحران هايى گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشين حساب شد، چه ضرورت هايى موجب پيدايش چندجمله اى هاى جبرى و معادله شد؟ و… براى يافتن پاسخ هاى اين سئوالات و هزاران سئوال مشابه ديگر در كليه رشته ها، تلاش مى كنيم راه را نشان دهيم، پيمودن آن با شماست…

پيدايش مثلثات
از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست. منه لائوس رياضيدان و بطلميوس اخترشناس (هر دو در سده دوم ميلادى) نيز در اين زمينه نوشته هايى از خود باقى گذاشته اند. ولى همه كارهاى رياضيدانان و اخترشناسان يونانى در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم هاى اصلى مثلثات نرسيدند. نخستين گام اصلى به وسيله آريابهاتا، رياضيدان هندى سده پنجم ميلادى برداشته شد كه در واقع تعريفى براى نيم وتر يك كمان _يعنى همان سينوس- داد. از اين به بعد به تقريب همه كارهاى مربوط به شكل گيرى مثلثات (چه در روى صفحه و چه در روى كره) به وسيله دانشمندان ايرانى انجام گرفت. خوارزمى نخستين جدول هاى سينوسى را تنظيم كرد و پس از او همه رياضيدانان ايرانى گام هايى در جهت تكميل اين جدول ها و گسترش مفهوم هاى مثلثاتى برداشتند. مروزى جدول سينوس ها را تقريبا ۳۰ درجه به ۳۰ درجه تنظيم كرد و براى نخستين بار به دليل نيازهاى اخترشناسى مفهوم تانژانت را تعريف كرد. جدى ترين تلاش ها به وسيله ابوريحان بيرونى و ابوالوفاى بوزجانى انجام گرفت كه توانستند پيچيده ترين دستورهاى مثلثاتى را پيدا كنند و جدول هاى سينوسى و تانژانتى را با دقت بيشترى تنظيم كنند. ابوالوفا با روش جالبى به يارى نابرابرى ها توانست مقدار سينوس كمان ۳۰ دقيقه را پيدا كند و سرانجام خواجه نصيرالدين طوسى با جمع بندى كارهاى دانشمندان ايرانى پيش از خود نخستين كتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسى، جمشيد كاشانى رياضيدان ايرانى زمان تيموريان با استفاده از روش زيبايى كه براى حل معادله درجه سوم پيدا كرده بود، توانست راهى براى محاسبه سينوس كمان يك درجه با هر دقت دلخواه پيدا كند. پيشرفت بعدى دانش مثلثات از سده پانزدهم ميلادى و در اروپاى غربى انجام گرفت. يك نمونه از مواردى كه ايرانى بودن اين دانش را تا حدودى نشان مى دهد از اين قرار است: رياضيدانان ايرانى از واژه «جيب» (واژه عربى به معنى «گريبان») براى سينوس و از واژه «جيب تمام» براى كسينوس استفاده مى كردند. وقتى نوشته هاى رياضيدانان ايرانى به ويژه خوارزمى به زبان لاتين و زبان هاى اروپايى ترجمه شد، معناى واژه «جيب» را در زبان خود به جاى آن گذاشتند: سينوس. اين واژه در زبان فرانسوى همان معناى جيب عربى را دارد. نخستين ترجمه از نوشته هاى رياضيدانان ايرانى كه در آن صحبت از نسبت هاى مثلثاتى شده است، ترجمه اى بود كه در سده دوازدهم ميلادى به وسيله «گرادوس كره مونه سيس» ايتاليايى از عربى به لاتينى انجام گرفت و در آن واژه سينوس را به كار برد. اما درباره ريشه واژه «جيب» دو ديدگاه وجود دارد: «جيا» در زبان سانسكريت به معناى وتر و گاهى «نيم وتر» است. نخستين كتابى كه به وسيله فزازى (يك رياضيدان ايرانى) به دستور منصور خليفه عباسى به زبان عربى ترجمه شد، كتابى از نوشته هاى دانشمندان هندى درباره اخترشناسى بود. مترجم براى حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب، «جيا» را تغيير نمى دهد و تنها براى اينكه در عربى بى معنا نباشد، آن را به صورت «جيب» در مى آورد. ديدگاه دوم كه منطقى تر به نظر مى آيد اين است كه در ترجمه از واژه فارسى «جيپ»- بر وزن سيب- استفاده شد كه به معنى «تكه چوب عمود» يا «ديرك» است. نسخه نويسان بعدى كه فارسى را فراموش كرده بودند و معناى «جيپ» را نمى دانستند، آن را «جيب» خواندند كه در عربى معنايى داشته باشد.

تاریخچه احتمال و خوان اول
پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری: ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.

تاریخ هندسه نااقلیدسی
نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی نخستین كسی بود كه در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت كه به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی كه آن را می خواندند، سخت خرده گیری می كردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ك. شوماخر از آن مقاله ستایش كرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تكرار كرد. لوباچفسكی هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد
لوباچفسكی علنا با تعلیمات و اصول عقاید كانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: «تلاش های بی ثمری كه از زمان اقلیدس تاكنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت كه حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت كمك های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است.» اریك تمپل بل در كتاب «مردان ریاضیات» لوباچفسكی را «آزادكننده بزرگ» و «كپرنیك دانش هندسه» نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میكل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسكی در دوران حیاتش تجلیل نشد.
و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای كه با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین كتابش را تقریر كند تا برایش بنویسند.

هندسه هذلولی
تا وقتی كه مكاتبات گاوس، پس از مرگ او در ۱۸۵۵، منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. هنوز هم تا سال ۱۸۸۸ لوئیس كارول به هندسه نااقلیدسی می خندید برخی از بهترین ریاضیدانان بلترامی، كیلی، كلاین، پوانكاره، كلیفور و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن كردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات، به ویژه در نظریه توابع مختلط به كار بردند. در ۱۸۶۸ ریاضیدان ایتالیایی «ائوجنیو بلترامی» برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش كشید و ثابت كرد كه اثبات آن غیرممكن است او این كار را از این راه كه هندسه نااقلیدسی درست همچون هندسه اقلیدسی، دستگاهی است سازگار، اثبات كرد.
در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را كه «از یك نقطه خارج از یك خط راست بیش از یك نقطه می توان به موازات آن رسم كرد» به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود كه با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه كنند. ولی تفكر پیگیر و آرام آشكار می سازد كه هیچ چیز ناممكن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند كوچك شوند به شرطی كه اضلاع آن به اندازه كافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد.
گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش «تاورینوس» می گوید: «همه تلاش های من برای یافتن یك تناقض یا یك ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شكست انجامیده است. چیزی كه در آن با ادراك ما مغایرت دارد این است كه اگر راست باشد، باید در فضای آن یك اندازه خطی وجود داشته باشد كه خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان كمیاتی كه به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه كنیم آن گاه ممكن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین كرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو كرده ام كه هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
در هندسه هذلولی می توان ثابت كرد كه اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاك «ززز» برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممكن نیست مثلثی را بدون انداختن از شكل طبیعی بزرگ یا كوچك كرد. در نتیجه در یك جهان هذلولی، عكاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد كرد یك نتیجه تكان دهنده قضیه مذكور این است كه در هندسه هذلولی یك پاره خط می تواند به كمك یك زاویه مشخص شود. یعنی یك زاویه از یك مثلث متساوی الساقین، طول یك ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور كه در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذكر گردید، اغلب با بیان اینكه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نكته را هیجان انگیزتر می كنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود.
در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط كش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است.
در هندسه هذلولی، علاوه بر آنكه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی كه مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این كار شدنی است.

تاریخچه ی انتگرال
بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .
ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.
فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .
گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .
ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .
در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .
در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .
از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .

تاریخچه فصیل حسابداری
حسابداری در جهان نزدیک به ۶۰۰۰ سال قدمت دارد و تاریخ نخستین مدارک کشف شده حسابداری به ۳۶۰۰ سال قبل از میلاد برمی گردد. پیشینه حسابداری در ایران نیز به نخستین تمدنهایی بر می گردد که دراین سرزمین پا گرفت، و مدارک حسابداری بدست آمده با ۲۵ قرن قدمت، گواه بر پیشرفت این دانش در ایران باستان اس. در طول تاریخ، روشهای حسابداری متوع و متعددی برای اداره امور حکومتی و انجام دادن فعالیتهای اقتصادی ابداع شد، که در پاسخ به نیازهای زمان، سیر تحولی و تکاملی داشته است. ممیزی املاک در تمدن ساسانی(در جریان اصلاحات انوشیروان، به منظور تشخیص مالیاتهای ارضی، کلیه زمینهای مزروعی کشور ممیزی و مشخصات آن از جمله مساحت، نوع زمین و نوع محصول در دفتری ثبت می گردید.) و تکامل حسابداری برای نگهداری حساب درآمد و مخارج حکومتی در دوران سلجوقیان(نگارش اعداد را به صورت علایمی کوتاه شده از نام اعداد عربی، حساب سیاق می نامند.
حسابداری سیاق که احتمالا در دوران سلجوقیان تکامل یافته، روشی است که بر اساس آن، حساب جمع و خرج هر ولایت در دفتر مربوط به ان ولایت ثبت و در عین حال یک دفتر اصلی در مرکز نگهداری می شده است که خلاصه جکع و خرج هر ولایت به طور جداگانه در صفحات مربوط، در آن به خط سیاق نوشته می شده است. این روش در دوران قاجاریه تکمیل شد و کتب خمسه(دفاتر پنج گانه) برای گروههای عمده مخارج نیز نگهداری می شده است.
و نگهداری حساب فعالیتهای بازرگانی به حساب سیاق، نمونه های بارز و پیشرفته آن است.
با این حال حسابداری نوین( دوطرفه) همانند بسیاری از دانشهای کاربردی دیگر، به همراه ورود فراورده های صنعتی و رسوخ موسسات و شرکتهای خارجی به ایران راه یافت. و در جریان تحولات اقتصادی _اجتماعی صد سال گذشته با پیدایش سازمانهای جدید دولتی و خصوصی و دگرگونی شیوه های تولید و توزیع بسیار پیشرفت کرد.
حساداری با تمدن همزاد است و به اندازه تمدن بشری قدمت دارد. در تمدنهای باستانی بین النهرین که قسمت اعظم ثروتهای جامعه در اختیار فرمانروا یا فرمانروایان بود. معمولا کاهنان که قشر ممتازی را در سلسله مراتب اجتماعی تشکیل می دادند و ظیفه نگارش را بطور اعم و نگهداری حساب درآمدها و ثروتهای حکومت را بطور اخص به عهده یا در واقع در انحصار داشتند و در عین حال به ثبت برخی از معاملات شهروندان نیز می پرداختند، از جمله در تمدن باستانی سومر (SUMMER) نظام مالی جامعی برقرار بود و کاهنان سومری علاوه بر نگهداری حساب درآمدهای حکومتی، به نحوی موجودی غلات، تعداد دامها و میزان املاک حکومتی را محاسبه می کردند.
نخستین مدرک کشف شده حسابداری در جهان، لوحه های سفالین از تمدن سومر در بابل (Babylon) است و قدمت آن به ۳۶۰۰ سال قبل از میلاد می رسد و از پرداخت دستمزد تعدادی کارگر حکایت دارد.
مدارک و شواهد بدست آمده از تمدن باستانی مصر (۵۲۵_۵۰۰۰ ق.م) حکایت از آن دارد که در اجرای طرحهای ساختمانی این تمدن، نوعی کنترل حسابداری برقرار بوده که بهره گیری از نیروی کار هزاران هزار نفر را در امر ایجاد بنا و حمل و نقل مصالح ساختمانی در تشکیلاتی منظم، میسر می کرده است، از تمدن مصر در دورانی که یونانیان و رومیان بر آن تسلط داشتند نیز مجموعه های متعددی از حسابهای نوشته شده بر پاپیروس باقی مانده است.
شواهد و مدارک به دست آمده از یونان باستان نیز حکایت از استقرار کنترلهای حسابداری دارد. از جمله حساب معبد پارتنون در لوحه های مرمرین اکروپولیس حک و بخشی از ان هنوز هم باقی است.
سکه به عنوان واحد پول حدود ۷۰۰ سال قبل از میلاد در لیدی(Lydia) ابداع گردید.(لیدی سرزمینی باستانی است که در آسیای صغیر، کنار دریای اژه بین میزی (Mysia) و کاری(Caria) قرار داشت. کرزوس (Croesus) آخرین پادشاه آن از کوروش شکست خورد.) و به سرعت در تمدنهای آن زمان رواج یافت. در ازان عصر هخامنشی ، نظام مالی و پولی (نظام پولی بدیعی توسط داریوش اول بر پایه طلا و نقره با رابطه مبادله ثابت پایه گذاری شد و سکه داریک به وزن ۸.۴۱ گرم در مقابل ۲۰ سکه نقره به نام “شکل” هر یک به وزن ۵.۶ گرم مبادله می شده است و بنابراین رابطه تبدیل طلا به نقره ( ۳/۱ ۱۳ ) ) جامع ومنسجمی بر قرار بوده و حساب درآمدها و مخارج حکومت به ریز و به دقت ثبت و ظبط و نگهداری می شده است.
در رم و یونان باستان حسابداری پیشرفته ای وجود داشته و نوعی حساب جمع و خرج تنظیم می شده است. یک جمعدار، یک مامور دولت و یا شخصی که محافضت پول یا دارایی دیگری به او محول بوده است در مقاطعی از زمان حساب خود را به اربابش پس می داده است. برای این کار رو فهرست تفصیلی از دریافتها و پرداختها بر حسب پول، وزن یا مقیاس دیگری تهیه می شد که جمع آن دو مساوی بود. فهرست پرداخت شامل مبالغ پرداختی، کالای فروخته شده و یا به مصرف رسیده در طول یک دوره بعلاوه مانده پول و کالایی بود که نزد جمعدار باقی مانده و باید به ارباب تادیه می شد. این نوع حسابداری تا قرون وسطی ادامه یافت.
همانطور که ملاحظه فرمودید، حسابداری باستانی تنها جنبه های محدودی از فعالیتهای مالی را در بر می گرفت و یا سیستم جامعی که کلیه عملیات مالی حکومت را ثبط و ظبط کند و یا به نگهداری حساب معاملات تجاری بپردازد، فاصله بسیاری داشت.

سرمایه داری تجاری و رنسانس
از دوران باستان تا اواخر قرون وسطی تغییری اساسی در جهت تبدیل حسابداری به یک سیستم جامع صورت نگرفت و تنها پیشرفت قابل ذکر گسترش دامنه نگهداری حساب برای عملیات گوناگون حکومتها و اشخاص بود.
از اوایل قرن سیزدهم “دولت_شهرها” و یا “شهر_جمهوریهای” کوچکی خارج از سلطه پادشاهان و خوانین فیودال در ایتالیای کنونی پا گرفت که فضای ----------_ اقتصادی مناسبی را برای رشد سوداگری فراهم آورد.بدین معنی که در این جمهوریهای کوچک هیچ مانعی در راه تجارت آزاد، حتی تجارت با سرزمینهای دوردست وجود نداشت و استفاده از سرمایه به صورت سرمایه مولد یا سرمایه تجاری مانند کشتیها و سایر وسایل بازرگانی امکان پذیر و متداول بود. علاوه بر این، با رونق داد وستد، پول در مبادلات تجاری نقش گسترده یافت و اقتصاد پولی رواج یافت.
در قرون سیزدهم و چهاردهم همزمان با رشد بازرگانی، صنعت و بانکداری، پیشرفت زیادی در تکنیک نگهداری حساب بوجود آمد. بزرگتر شدن اندازه موسسات، رواج معاملات نسیه و استفاده از عوامل متعدد در کسب و کار موجب شد که دیگر یک شخص به تنهایی نتواند امر موسسه بزرگی را اداره کند و این امر ابداع سیستم حسابداری کاملتری را ضروری ساخت.
گمان می رود که کاربرد قاعده جمع وخرج در مورد حساب صندوق نخستین گام در راه پیدایش سیستم نوین بوده باشد.
بدین معنی که صندوقدار در ازای وجوهی که دریافت می کرد بدهکار و در مقابل مبالغی که می پرداخت بستانکار می شد. این قاعده در مورد حسابهای مشتریان نیز بکار می رفت و آنان در ازای وجوهی که قرض می گرفتند و یا کالایی که به نسیه می خریدند بدهکار و در مقابل وجوهی که می پرداختند بستانکار می شدند و بدین ترتیب مانده حساب آنها معین می شد. همین قاعده در مورد نگهداری حساب بستانکاران نیز بکار می رفت. در نیمه قرن سیزدهم حسابداران ایتالیایی متوجه این نکته شدند که دریافت پول از یک بدهکار دو ثبت را ضروری می سازد. جنبه دریافت پول که باید در حساب صندوق ثبت شود و جنبه پرداخت پول که باید در حساب شخصی پرداخت کننده پول ثبت گردد. در اوایل قرن چهاردهم دو اصطلاح بدهکار و بستانکار ، یعنی دو واژه ایتالیایی دادن(dare) و گرفتن(avere) کاملا متداول گردید. پیشرفت تازه در قرن چهاردهم ابداع شکل دو طرفه حساب بود که در سمت چپ اقلام بدهکار و در سمت راست اقلام بستانکار، نوشته می شد و با این کار چگونگی ثبتها آشکار می گردید.
حسابداری جنسی با نگهداری حسابی جداگانه برای هر محموله از کالای خریداری شده آغاز گردید و هر حساب در ازای خرید یک محموله کالا بدهکار و در مقابل حساب فروشنده یا حساب نقد بستانکار می شد.
سپس با فروش هر مقدار از کالای یک محموله، حساب مربوطه بستانکار و در مقابل حساب مشتری یا حساب نقد، بستانکار می گردید تا این که تمامی اجناس یک محموله به فروش برسد. این کار یعنی بدهکار کردن حساب هر محموله از کالای خریداری شده به قیمت خرید و بستانکار کردن آن به قیمت فروش معمولا تفاوتی را ایجاد می کرد که به حساب سود و زیان نقل می شد. بدین ترتیب سیستم دفترداری دوطرفه به آرامی و در پی مجموعه ای از ابداعات پیاپی در فاصله سالهای ۱۲۵۰-۱۳۵۰ میلادی در چند جمهوری کوچک ایتالیا زاده شد و تکامل یافت و شهرهای فلورانس، ونیز و جنوا پیشرو این تحول بودند. برخی از صاحبنظران دفاتر حساب بجا مانده از سالهای ۱۲۹۶ تا ۱۲۹۹ را نخستین دفاتر جساب دو طرفه کامل می دانند. برخی دسگر حساب دو طرفه کاملا متوازنی را که در سال ۱۳۴۰ میلادی توسط پیشکار(steward) شهر جنوا(Genoa) تنظیم گردیده است. نحستین نمونه کامل دفاتر حساب دوطرفه ذکر می کنند. در هر حال، در آستانه قرن پانزدهم میلادی در ایتالیا و دیگر کشورهای اروپایی، سیستم دفترداری دوطرفه بکار می رفته است.
گسترش فن دفترداری دوطرفه به سراسر اروپا مرهون انتشار کتاب ریاضیاتی است که لوکا پاچیولی (Luca Pacioli) به سال ۱۴۹۴ تالیف کرده است. پاچیولی کشیشی بود که در دانشگاههای جمهوریهای پروجا، ناپل، پیزا و فلورانس ریاضیات تدریس می کرد و با اندیشمندان بزرگ هم عصر خود از جمله پیرو دلا فرانسسکا (piro della francedca)، لیون باتیستا آلبرتی (Leon Battista Alberti) و لیونارده داوینچی (Leonardo da Vinci) دوستی نزدیک داشت. مطالب کتاب ریاضیات مزبور را پاچیولی نوشت و شکلهای آن را داوینچی ترسیم کرد.
بخشی از این کتاب شامل چند فصل به حسابداری اختصاص داشت که نخستین توصیف مدون از سیستم حسابداری دوطرفه است. در این بخش از کتاب، پاچیولی با استفاده از منابع و روشهای موجود سه دفتر اصلی حساب را به ترتیب زیر تشریح می کند:
دفتر باطله (Waste Book) (در ایران این دفتر را دفتر کپیه یا مسدوده هم نامیده اند.)
که خلاصه معاملات تاجر به ترتیب تاریخ وقوع در آن ثبت می شد.

دفتر روزنامه (Journal)
که در آن مطالب دفتر باطله تلخیص و بر حسب بدهکار و بستانکار ثبت می گردید.

دفتر کل (Ledger)
حاوی حسابهای واقعی که ثبتهای دفتر روزنامه به آن نقل می گردید.
پاچیولی لهمیت کاربرد پول را بعنوان مقیاس مشترک سنجش اقلام مختلف به درستی دریافته بود و بر لزوم تاریخ گذاری معملات و عطف متقابل دفاتر به یکدیگر تاکیدی بجا داشت. با این حال، وی درباره دوره مالی، تهیه تراز آزمایشی، تهیه صورت سود و زیان، بستن حساب سود و زیان به حساب سرمایه و تهیه ترازنامه مطلبی ندارد و تنها درباره طرز بستن و لزوم موازنه کردن حسابها به هنگام نقل حسابها از دفاتر قدیمی به دفاتر جدید توضیحات نسبتا کاملی داده است. همچنین پاچیولی بین اموال شخصی تاجر و اموال تجارتخانه تمایزی نگذاشته و درباره نگهداری حساب داراییهای ثابت نیز مطلبی ندارد.
رساله پاچیولی (که او را پدر حسابداری می نامند) به علت سادگی، روانی و ارزشهای عملی در طول قرنهای پانزدهم و شانزدهم به اغلب زبانهای اروپایی ترجمه شد و حسابداری دوطرفه تا اواخر قرن هفدهم در اغلب کشورهای اروپایی رواج یافت.
از قرن شانزدهم تا اوایل قرن نوزدهم تحول بنیادی در حسابداری بوجود نیامد، تنها تغییر اساسی تیوری جدیدی بود که توسط استوین (Simon Stevin) هلندی در اواخر قرن شانزدهم عنوان شد. بر اساس این تیوری در هر معامله در مقابل هر بدهکار باید یک بستانکار وجود داشته باشد. استوین همچنین ضرورت تفکیک اموال موسسه را از اموال شخصی صاحب سرمایه مطرح و لزوم نگهداری حسابی جداگانه برای سرمایه را نیز عنوان کرد. تغییرات دیگری که در این فاصله در دفترداری رخ داد عبارت بود از ایجاد ستونهای فرعی در دفاتر روزنامه و کل، منسوخ شدن دفتر باطله و جایگزینی اسناد و مدارک مربوط به معاملات (مانند فاکتور خرید و فروش) به جای آن. حسابداری جنسی نیز در این فاصله بهبود یافت و سود و زیان هر محموله محاسبه و به حساب سود و زیان نقل می گردید. تا سال ۱۸۰۰ میلادی موازنه کردن حسابها در پایان سال، تهیه صورت سود و زیان و ترازنامه معمول شد اما جز برای نگهداری سوابق فعالیتهای موسسه استفاده دیگری نداشت.
سیستم دفترداری دوطرفه که گوته (Goethe) اندیشمند بزرگ آلمانی آن را یکی از زیباترین ابداعات بشری می داند، مجموعه منسجمی را فراهم آورد که کلیه معاملات و رویدادهای مالی ثبت، سود هر فعالیت تجاری تعیین و اموال شخصی تاجر از اموال تجارتخانه یا موسسه تجاری تفکیک گردید.
ابداع و تکامل سیستم دفتر داری دوطرفه اولا سوداگریهای بزرگ مانند فرستادن کشتیهای عظیم حامل کالاهای گوناگون به نقاط مختلف جهان را با مشارکت بازرگانان و افراد متعدد، تسهیل کرد، زیرا با کاربرد آن سرمایه گذاری هر یک از مشارکت کنندگان در یک فعالیت سوداگرانه که معمولا به صورت کالا و اجناس گوناگون بود به سهولت بر حسب پول (سکه) اندازه گیری و حساب ان جداگانه نگهداری می شد و در خاتمه فعالیت نیز کالا و طلا و نقره ای که کسب شده بود، بر حسب پول قابل تقویم و محاسبه می شد و در نتیجه تعیین سهم هر یک از مشارکت کنندگان از کل درآمد حاصل به سادگی امکان پذیر می گردید.
ثانیا حسابداری دو طرفه، با فراهم ساختن امکان تفکیک اموال شخصی تاجر از اموال تجارتخانه، تشکیل شرکتهای تجارتی را با مشارکت چند نفر عملی کرد، زیرا با کاربرد آن، نگهداری حساب جداگانه سهمالشرکه هر یک از شرکا در سرمایه شرکا امکان پذیر و سهم آنان از کل دارایی شرکت و منافع حاصل از فعالیت تجاری قابل اندازه گیری و محاسبه شد. این امکان، مشارکت صاحبان سرمایه ای را که خود به کار تجارت نمی پرداختند نیز عملی ساخت و بدیت ترتیب رشد و توسعه بنگاهها و موسسات تجاری را تسریع کرد.
به رغم تحولات شگرف اقتصادی_ اجتماعی و دگرگونی و پیچیدگی و توسعه معاملات و سازمانهای تجارتی از قرن شانزدهم تا عصر حاضر، عناصر اصلی سیستم دفترداری دوطرفه همچنان بدون تغییر باقی مانده است. دلیل بقای این سیستم در طول پنج قرن در سادگی اصول، انعطاف پذیری و قابلیت ان در ثبت، انتقال و گزارش اطلاعات بسیار متنوع، در قالب صورتهای مالی قابل رسیدگی است.

انقلاب صنعتی
سسیتم ثبت دوطرفه که به اعتبار ابداع ان در ایتالیا، سیستم حسابداری ایتالیایی نیز نامیده می شود به سرعت در سراسر اروپا رواج یافت و در طول قرن هجدهم تقریبا کلیه موسسات مالی و تجاری بزرگ، این شیوه حسابداری را بکار می بردند. اما اروپای قرن هجدهم آبستن تحولاتی شگرف بود. انقلاب صنعتی در نیمه دوم این قرن آغاز و تا پایان نیمه اول قرن نوزدهم تداوم یافت و تحولات و تغییرات وسیع اقتصادی و اجتماعی را در پی داشت. این تحول بنیادین بر تمامی عرصه های زندگی فرعی و اجتماعی مردم اروپا اثر گذاشت و مناسبات اقتصادی_ اجتماعی و ---------- جوامع اروپایی را دگرگون کرد و از طریق این قاره به سراسر جهان راه یافت و آثار مفید و زیانبار بسیاری به جای گذاشت.
بارزترین عرصه تحول در انقلاب صنعتی، قرار گرفتن ماشین در خدمت تولید بود که شیوه تولید را از تولید دستی به تولید کارخانه ای متحول کرد.
پیدایش و رشد کارخانه های بزرگ و کوچک با توانایی ساختن کالاهای همسان به مقدار زیاد، از یک سو به زوال صنایع دستی، روستایی و خانگی در مدت کوتاهی انجامید و از سوی دیگر، رقابت بین کارخانه داران را ایجاد کرد.
حسابداری صنعتی ابتدا بیشتر به گزارش بهای تمام شده محصولات بر مبنای اطلاعات مالی گذشته تاکید داشت و در پیش بینی اینده از حدس وگمان فراتر نمی رفت.
اما بزرگتر شدن کارخانه ها و پیچیده تر شدن روشهای تولید و در نتیجه افزایش تولیدات، رقابت بین واحدهای صنعتی را برای تسلط بر بازارهای پیوسته ملی و همچنین رقابت در عرضه تولیدات به بازارهای جهانی تشدید کرد و اداره موسسات بزرگ پیچیده به پیدایش مفهوم مدیریت علمی انجامید. مدیریت علمی، روش برخورد منظم و منطقی با مسایل به منظور یافتن بهترین راه برای انجام هر کار است.
وجود رقابت، نیاز به آگاهی از بهای تمام شده محصول را ایجاب نمود و در پاسخ به این ضرورت نوعی دفترداری صنعتی یا دفترداری هزینه یابی که بعدها حسابداری صنعتی نامیده شد، ابداع گردید.
علاوه بر این، در گذر زمان تکنیکهای گزارش اطلاعات مالی برای تصمیم گیریهای مدیریت تکامل یافت و با ارایه و توضیح مدلهای مقداری، امکان اتخاذ تصمیمات درست بر اساس اطلاعات موجود، تسهیل گردید. امروزه این رشته از حسابداری به معنای اعم حسابداری مدیریت نامیده می شود.

بازار سرمایه و شرکتهای سهامی
با بزرگتر شدن شرکتها نیاز به توسعه و همچنین سرمایه بیشتر احساس شد. لذا با بهره گیری از دو دستاورد بزرگ و مفید سرمایه داری صنعتی یعنی سازماندهی و همکاری، موجبات رشد، توسعه و تکامل شرکتهای سهامی فراهم و با سازمان یافتن بازار سرمایه، تامین مالی طرحهای بزرگ صنعتی امکان پذیر شد.
بازار سرمایه و شرکتهای سهامی این امکان را فراهم آورد که تعداد زیادی از صاحبان سرمایه، با سرمایه های کوچک و بزرگ در یک واحد اقتصادی مشارکت کنند و به این ترتیب مشکلات تامین سرمایه های کلان برای ایجاد ساختمان، خرید ماشین آلات و احداف تاسیسات یک کارخانه بزرگ یا طرح بزرگ صنعتی برطرف گردید.
در عین حال، محدودیت مسولیت صاحبان سهام به مقدار سرمایه ای که در شرکت گذاشته اند و قابلیت انتقال سهام، به رونق سرمایه گذاری و گسترش بازارهای سازمان یافته سرمایه انجامید.
در ادامه فرایند رشد و توسعه شرکتهای سهامی، هییت مدیره شرکتهای سهامی بزرگ، کار مدیریت اجرایی را به مدیران موظفی که برای اداره امور شرکت بر می گزینند محول و خود به تعیین خط مشی های اجرایی شرکت و نظارت بر کار مدیران می پردازند. این تحول، گروه تازه ای از مدیران کارآزموده حرفه ای را پدید آورد که در سرمایه موسساتی که اداره می کنند سهمی ناچیز دارند یا اصولا سهمی ندارند، بدین ترتیب غالبا مدیریت موسسات از مالکیت آنها تفکیک و متمایز گردید.
سازمان جدید سرمایه، نقش شرکتهای سهامی و بورسهای اوراق بهادار بعد تازه ای به حسابداری بخشید و ان لزوم ارایه گزارشهای مالی به سهامداران برای آگاه کردن آنان از چگونگی اداره سرمایه هایشان، ارزیابی عملکرد و سنجش کارایی مدیران و گردانندگان شرکت و بالاخره آینده سرمایه گذاریشان بود.

حسابداری حرفه ای و حسابرسی
افزایش موارد استفاده و شمار استفاده کنندگان از اطلاعات مالی، وظیفه حسابداران را از رفع نیازهای معدودی صاحب سرمایه به پاسخگویی به نیازهای مراجع و گروههای متعدد ذینفع و ذیعلاقه، ارتقا داد و به آن نقشی اجتماعی بخشید.
وظیفه نوین حسابداری را حسابداران شاغل در موسسات نمی توانستند به تنهایی انجام دهند زیرا وجود رابطه استخدامی مستقیم آنان را به پذیرش نظرات مدیران واحدهای اقتصادی در تهیه صورتهای مالی ناگزیر می کرد و از طرفی اشتغال آنان در موسسات، نوعی جانبداری طبیعی از آن موسسات را در پی داشت.
حال آنکه صورتهای مالی باید نیازهای گروههای مختلف استفاده کننده با علایق و منافع متفاوت و احتمالا متضاد را برطرف می کرد.
برای آن که گروههای مختلف استفاده کننده بتوانند به صورتهای مالی تهیه شده توسط موسسات اعتماد بیشتری نمایند، حسابداران خبره ای انتخاب شدند و وظیفه یافتند که با رسیدگی به مدارک اسناد و حسابها هر گونه تقلب و سوء استفاده را کشف و نسبت به صورتهای مالی بی طرفانه اضهار نظر کنند و این کار حسابرسی نامیده شد.
حسابرسی به معنای عام یعنی رسیدگی به حسابها از لحاظ کشف تقلب و سو استفاده سابقه طولانی دارد و در طول تاریخ همیشه نوعی حسابرسی در موسسات دولتی و خصوصی وجود داشته است، اما حسابرسی به معنای نوین یعنی رسیدگی و اظهار نظر نسبت به صورتهای مالی به دنبال رشد و پیدایش شرکتهای سهامی که در ان مسولیت سهامداران محدود به مقدار سرمایه ای بود که در شرکت گذاشته بودند، بوجود آمد و زادگاه آن انگلستان است.
اما تغییر شگرفی که اکنون در جریان است، تحول حسابرسی از حسابرسی مالی به حسابرسی جامع است که در آن علاوه بر رسیدگی و گزارش نسبت به صورتهای مالی واحد مورد رسیدگی، عملیات و معاملات آن از لحاظ رعایت سیاستهای مقرر شده توسط مراجع تصمیم گیرنده ( مانند مجمع عمومی) و رعایت قوانین و مقررات حاکم بر فعالیت واحدهای اقتصادی رسیدگی می شود و کارایی مدیریت واحد مورد رسیدگی از لحاظ چگونگی استفاده از منابع موجودد و نحوه اجرای برنامه و عملیات ونتایج حاصل از ان سنجیده و گزارش می شود. این گونه حسابرسی که جنبه اخیر آن حسابرسی مدیریت نامیده می شود عمدتا در مورد شرکتهای بزرگ که منابع کلان و حیطه فعالیت گسترده ای دارند و مدیریت آن از مالکیت سرمایه جداست در پاسخ به ضرورت ارزیابی عملکرد مدیریت این گونه موسسات توسط متخصصین با صلاحیت (حسابداران و متخصیصینی از رشته های دیگر) اجرا می شود و چشم انداز تکامل حسابداری حرفه ای است.

تکامل ریاضیات کاربردی و سنت نظری
از زمانی که در یونان باستان، عنصر « استدلال » وارد ریاضیات شد، سنت ساختمان نظری – استدلالی دانش ریاضی به وجود آمد؛ سنتی که در تمام تاریخ بعدی ریاضیات دنبال شده است. البته از نظر تاریخی ، عقب نشینی از« ایده آل های » ساختمان نظری دانش ریاضی هم دیده می شود.
این برگشت از نظریه و جهت گیری کاربردی را می توان در ریاضیات سده های میانه (به ویژه در ایران ) دید که بیش از هزار سال دوام داشت و زمینه را برای دوران جدید ریاضیات نظری فراهم کرد. بعد از شعله های درخشان نظری در ریاضیات باستان و دوران هلنیم؛ دیگر ممکن نبود روش خاص کاربردی نخستین، دوباره زنده شود .دانش ریاضی سده های میانه؛ برایندی از سنت نظری و سمت گیری کاربردی است . نتیجه این «سنتز» مرحله ای بعدی ریاضی کاربردی است. که نسبت به ریاضیات مصر و میان دو رود، در سطح بالاتری قرار دارد.
این تصور که زمانی گمان می کردند، «وزن مخصوص» ریاضیات نظری در طول تاریخ ،به طور دائم رو به افزایش بوده است،مدت هاست که دیگر وجود ندارد. این تصور به این دلیل پیدا شده بود که به ریاضی ایرانی کم بها می دادند.«…ریاضیات عربی به هیچ وجه به معنای ریاضیات عرب ها نیست، همان طور که نوشته های لاتینی فرمای فرانسوی توریچلی ایتالیای، نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و اولر که در آکادمی روسیه کار می کرد را می توان دانش لاتینی نامید. درواقع، اصطلاح نادرست ریاضیات عربی، به معنای موقعیت های دانشمندان ملت های گوناگون است… که چه در زمینه های ریاضیات و چه در دانش های دیگر، در طول بیش از پانصد سال از سده نهم تا سده پانزدهم میلادی، پیشتاز بوده اند. آن ها بیش تر از آسیای میانه و نزدیک و به ویژه از ایران (قفقاز، خوارزم، خراسان،…) برخاسته اند.به اصطلاح، ریاضیات عربی را باید بیشتر متعلق به ملت های آسیای میانه و خراسان بزرگ دانست .»
((- آ.پ.یوسکدویچ، در کتاب : درباره ریاضیات ملت های آسیای میانه، در سده های نهم تا پانزدهم-))
حقیقت نشان می دهد که بر خلاف تصور قبلی عده ای از تاریخ نویسان، ریاضیات «عربی» تنها «حلقه ارتباطی » نبوده که ریاضیات نظری یونانی را حفظ کرده است و بدون این که چیزی به آن اضافه کند،این ارثیه را به اروپاییان تحویل دهد. روشن شده است که ریاضیات اروپای سده های میانه، از نظر ساختاری شبیه ریاضیات کشورهای شرق بوده ومجموعه آن ها، خیلی نیرومندتر از ریاضیات یونانی به سمت ریاضیات کاربردی گرایش داشته است .
به طور کلی می توان درباره مرحله تازه ای از تکامل ریاضیات صحبت کرد. در این دوران می توان مساله ها، موضوع ها و دانش هایی از ریاضیات را دید که آن را از دوران قبل از خود مشخص می کند.
باید گفت که بسیاری از نوشته های فلسفی مربوط به ریاضیات به آن دوره تکامل ریاضیات که بسیار اساسی است و بی اندازه اهمیت دارد، به اندازه کافی بها داه نشده و نیرو و پتانسیل روش شناختی که خاص ریاضیات سده های میانه است، بازتاب مناسب خود را پیدا نکرده است.
درضمن، مولفان به نقش عمده روش شناسی ریاضیات تکیه می کنند که نوشته آندره کولمر گمروف، با عنوان «ریاضیات » (۱۹۵۴) درباره آن صحبت شده است. بنابر آن، ریاضیات نظری یونان باستان و کشورهای هنلیستی (که آراسته به ساختمان اصل موضوعی بود) در ریاضیات سده های میانه (تا سال ۳۰سده هفدهم ) به دوره ریاضیات مقدماتی مربوط می شوند. درریاضیات مقدماتی، ریاضیات نظری و ریاضیات کاربردی که دانش ریاضی را به سمت منظم شدن هدایت می کند، در هم ادغام شده اند و به عنوان حالتی واحد و یگانه مورد تفسیر قرار می گیرند که در آن جنبه نظری ریاضیات برتری دارد . به دنبال دوره ریاضیات مقدماتی، دوره ریاضیات با کمیت های متغیر می آید (تا میانه سده نوزدهم ) که دیگر به روشنی خصلت نظری دارد.
داده های تازه ما را وا می دارد به جریان تکامل ریاضیات، به گونه دیگری بنگریم. به ویژه کارهای ارشمیدس و آپولونیوس ،به روشنی از مرزهای ریاضیات مقدماتی فراتر رفته اند. در حالی که ریاضیات سده های میانه، بیش تر با ریاضیات کاربردی دوران قبل از یونان خویشاوند است. ولی در کتاب هایی که درباره ای فلسفه و روش شناسی ریاضیات نوشته شده اند، حقیقت های تازه مورد ارزیابی درست قرار گرفته اند و بازتاب کافی نیافته اند. اُ.ای. کدروسی در مقدمه کتاب خود به نام «مسأله های روش شناختی تکامل ریاضیات » (۱۹۷۷)، یادآوری می کند که دوره های تاریخی تکامل ریاضیات را، بر اساس تقسیم بندی کولموگوروف درنظر گرفته است.
کم بها دادن به اندیشه متفکران ریاضی سده های میانه در «مقاله هایی درباره تاریخ ریاضیات »اثر نیکل بورباکی هم منعکس شده است و از یادگارهای سده های میانه تنها از۱۲نوشته نام آورده شده است که در ضمن، هیچ کدام از آن ها «عربی» نیستند .
گرایش های امروزی در تکامل ریاضیات را تنها وقتی می توان فهمید که ازتقسیم نادرست تکامل ریاضیات صرف نظر کنیم، تقسیمی که تنها جنبه هایی از آن را، با نفی دیگری در نظر می گیرد ودور نمایاند که پیشرفت ریاضیات روی خط پیوسته ای از یونان باستان تا زمان حاضر حرکت کرده است. توجه اغراق آمیز به مسیر نظری ریاضیات و کم توجهی به ریاضیات کاربردی، به تحریف تصور ما از دانش ریاضی منجر می شود ودر تقسیم بندی مسائل فلسفی – روش شناختی بر مسائل مربوط به روش قیاسی، ساختمان های ترکیبی و پایه های اصل موضوعی دانش ریاضی منجر می شود. نقطه اوج درکتاب های مربوط به مسأله های فلسفی ریاضیات، به طور معمول در بررسی موقعیت های شکل گیری نظری ریاضیات است: روش اصل موضوعی و تکامل آن، و از آن جمله پارادکس های ساختمان نظری ریاضیات بر پایه مجموعه ها و عکس العمل فلسفی روش شناختی در برابر این پارادکس ها، و بر این اساس، درواقع ،نقش خاص عمل در تکامل ریاضیات، به فراموشی سپرده می شود.این موقعیت در بیان نامه ی بورباکی، درباره شکل گرفتن دانش ریاضیات نظری بازتاب یافته است: « این که بین پدیده های تجربی و ساختارهای ریاضی، بستگی نزدیکی وجود دارد و این که به صورتی نامنتظر با کشف های فیزیک معاصر تأیید می شود، برای ما دلیل های واقعی این علت ها معلوم نیست و به احتمالی هرگز هم معلوم نخواهد شد» ((- بورباکی. – مقاله هایی درباره تاریخ ریاضیات - )) و تا زمانی که علت های پنهانی راکه درریاضیات کاربردی وجود دارد وموجب نیروی تاریخی ساختارهای نظری دوره بعد شده است، از نظر دور داشته باشیم، نمی توانیم این « تردید » را از خود دور کنیم.
ارزیابی مسأله های اصلی فلسفی و روش شناختی دانش ریاضی درسده های میانه را، باید در جای دیگری به دست آورد. که عبارت است از واکنش نسبت به تکامل و تصحیح میانه ریاضیات این دوران – مسأله ای که در برابر ریاضیات امروزی هم قرار دارد. تأثیر فعالیت های عملی بر جهت گیری تکامل ریاضیات، به صورت های متفاوتی در دوره های مختلف نمایان می شود.
سنتز سنت های نظری و سمت گیری کاربردی را در ریاضیات سده های میانه، می توان در دو زمینه بررسی کرد. اگر از جنبه خاص به این موضوع بنگریم، به هم آمیختگی سنت نظری و جهت گیری کاربردی، به کمک تنظیم آ گاهی های ریاضی با روش محاسبه ای و الگوریتمی تحقق می یابد . هسته مرکزی این شکل گیری تازه دانش و ریاضی، الگوریتم محاسبه ای است که نسبت نظری (نسبت تنظیم آگاهی ها به کمک استدلال) را تثبیت می کند و در عین حال، عمل های لازم را برای جهت گیری کاربردی ریاضیات، به بهترین صورت خود در می آورد.
براساس تصور یگانه ای که درباره ریاضیات به عنوان یک دانش کاربردی وجود دارد، آگاهی های ریاضی پیش می رود و تکامل می یابد. واین دلیل عینی کلی تر روش شناختی است، کلیتی که با آن دوره فعالیت آن گروه اجتماعی که ریاضیات راحفظ و از آن استفاده می کند، تحکیم می شود در کارهای روش شناختی درباره موضوع روش های ریاضیات در اساس خود، نتیجه ای است از فعالیت های گروه های اجتماعی که در روند به وجود آوردن آگاهی ها دخالت دارند. سنتز سنت نظری «استدلال» و سمت گیری کاربردی دانش ریاضی، به صورت بازتابی از «طبقه اجتماعی » در می آید. برعکس، آن برخورد روش شناختی درباره ریاضیات، برخوردی که فعالیت گروه اجتماعی را به حساب می آورد و امکان یکی شدن اثبات و محاسبه را فراهم می آورد، به نوبه خود بر ساز و کار تکامل دانش، تأثیر می گذارد و حلقه های متفاوت آنرا بیش تر و محکم تر به هم نزدیک می کند. در نتیجه ریاضیات سده های میانه، همچون مجموعه کاملی که سمت گیری کاربردی دارد، مصرف می شود. دانشی که به صورت واحد کاملی درک می شود و تصور همگون و یکپارچه ای درباره موضوع ریاضیات به ما می دهد.

تاریخچه عدد صفر
یکی از معمول ترین سیوالهایی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سیوال بدنبال این نیستیم که بگوییم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد ۲۱۶ کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسایل هیچگاه به مسیله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (”) بود. مثلاً عدد۶″۲۱ نمایش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته باید در نظر داشت که از علایم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علایم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “۲۱۶ را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البته بعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت ۰ را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سیوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.
یکی از معمول ترین سیوالهایی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سیوال بدنبال این نیستیم که بگوییم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.
اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد ۲۱۶ کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسایل هیچگاه به مسیله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (”) بود. مثلاً عدد۶″۲۱ نمایش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته باید در نظر داشت که از علایم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علایم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “۲۱۶ را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البته بعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت ۰ را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سیوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

رياضيات محض و كاربردي

ماهيت كار
رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند. رياضي دانان محض(نظري) با گسترش مباني جديد و تشخيص روابط كشف نشده ميان قوانين موجود رياضي باعث گسترش دانش رياضي مي شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پايه بوده بي آنكه لزوما موارد كاربردي آنرا بررسي كنند ، چنين دانش مطلقي , نوعي راهبرد مفيد در ايجاد وپيشبرد بسياري از دستاوردهاي مهندسي و علمي بوده است.
بسياري از رياضيدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان كاري خود را بين تدريس و امور تحقيقي تقسيم مي كنند.
از طرف ديگر، رياضي دانان كاربردي با بهره گيري از نظريات و روشهاي رياضي مانند روشهاي محاسبه و مدل سازي رياضي به فرمولبندي وحل مسائل عملي در امور تجاري , دولتي , مهندسي و درعلوم اجتماعي، فيزيك و امور مربوط به زندگي مي پردازند . به عنوان مثال , براي برنامه ريزي درخطوط هوايي ميان شهر ها , بررسي اثر وميزان ايمني داروهاي جديد , خصوصيات آيروديناميكي پيش مدل اتومبيل ها و مقرون به صرفه بودن روشهاي ديگر توليد به تجزيه و تحليل كار آمدترين راه مي پردازند.
امكان دارد رياضي دانان كاربردي كه دست اندر كار تحقيق و گسترش صنعتي هستند با حل مسائل مشكل باعث ايجاد يا تقويت روشهاي رياضي شوند .گروهي از رياضي دانان به نام رمزياب به تجزيه و تحليل و كشف سيستمهاي رمزي مي پردازند كه به صورت كد بوده واز طريق آنها اطلاعات نظامي , سياسي , مالي يا اجرايي و قانوني رد و بدل مي شود.
رياضي دانان كاربري با يك مساله كاربردي شروع كرده , اجزاي تفكيك شده عمليات مورد نظر را در فكر مجسم مي كنند و سپس اجزا را به متغير هاي رياضي تبديل مي كنند.
رياضي دانان غالبا با نمونه سازي توسط راه حلهاي فرعي ، بوسيله رايانه به تجزيه و تحليل روابط ميان متغيرها و حل مسائل پيچيده مي پردازند.
قسمت اعظم كار در رياضي كار بردي به وسيله افراد با عنواني غير از رياضي دان انجام مي شود . در حقيقت ، از آنجائيكه رياضي شالوده ايست كه بر اساس آن بسياري ازرشته هاي علمي بنا مي شود شمار افرادي كه از فنون رياضي بهره مي گيرند بيشتر از كسانيست كه رسما" به عنوان رياضي دان شناخته ميشوند .
به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه , فيزك دانان و اقتصاد دانان از جمله كساني هستند كه به شكل وسيعي از علم رياضي بهره مي جويند. گروهي از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگيران , تحليل گران محقق در عمليات , در حقيقت در شاخه خاصي از رياضي متخصص مي باشند . بسيار پيش ميايد كه رياضي دانان كاربردي براي دستيابي به راه حلهايي در مسائل گوناگون با افراد ديگر شاغل در سازمان همكاري كنند .
محيط كار رياضي دانان غالبا"در دفاتر راحت كار ميكنند .آنها اغلب جزئي از يك تيم متشكل از متخصصين علوم مختلف كه ممكن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رايانه اي , فيزيك دانان , تكنسين ها و ديگر افراد باشد .تحويل به موقع پروژه ها , اضافه كاري , تقاضاهاي خاص براي اطلاعات يا تجزيه و تحليل و مسافرتهاي طولاني به منظور شركت در سمينارها يا كنفرانسها جزئي از شغل آنان محسوب مي شود . رياضي داناني كه در دانشگاهها مشغول به كارند معمولا"در زمينه تدريس و تحقيق مسئوليتهايي بر عهده دارند. اين افراد اغلب يا به تنهايي امور تحقيقاتي را اداره مي كنند و يا ازهمياري دانشجويان فارغ التحصيل و علاقه مند به موضوعات تحقيقي بهره مند مي شوند.
فرصتهاي شغلي
بيشترين فرصتهاي شغلي در سرويسهاي تحقيقي و آز مايشي , آموزشي , امنيتي , سيستمهاي تبادل كالا ، مديريتي و روابط عمومي وجود دارد . دربين مراكز توليدي ، صنايع هوا فضا و دارويي اصليترين استخدام كننده ها ميباشند . گروهي از رياضي دانان نيزدر بانكها و يا شركتهاي بيمه مشغول به كارند.
آموزش و ادامه تحصيل بسياري از فرصتهاي شغلي كه در كارهاي پژوهشي براي رياضيدانان در نظر گرفته ميشود بصورت عضوي از يك تيم حرفه اي مي باشد . دانشمندان محقق در چنين مشاغلي يا در زمينه تحقيقات پايه و مباني نظري و يا در تحقيقات عملي براي ايجاد يا بهبود فرايند توليد مشغول به كار مي شوند . اكثر افرادي كه داراي مدرك ليسانس يا فوق ليسانس بوده و در صنايع خصوصي كار ميكنند , نه به عنوان رياضي دان بلكه بعنوان برنامه نويس رايانه , تحليل گر سيستم يا مهندس سيستم رايانه اي مشغول به كارند.
دوره هاي رياضي مورد نياز اين مدرك شامل حساب ديفرانسيل , معادلات تفاضلي و جبر خطي و انتزاعي مي باشد . دوره هاي اضافي ميتواند نظريه هاي احتمالات و آمار , آناليز رياضي , آناليز عددي , توپولوژي , رياضيات گسسته و منطق رياضي را در برگيرد .
بسياري از دانشگاه ها براي دانشجوياني كه در رشته رياضي تحقيق مي كنند , در زمينه رشته هاي مربوط به رياضي مانند علوم رايانه اي , مهندسي , فيزيك و اقتصاد دوره هايي بر گذار مي كنند . براي بسياري از كار فرمايان ,آگاهي همزمان در رياضي و علوم رايانه اي , اقتصاد يا ديگر علوم نوعي مزيت محسوب مي شود . يك محصل رياضي آينده نگر بايد تا جايي كه امكان دارد بسياري از دروس رياضي را در دبيرستان بياموزد
در مورد رياضيات كاربردي آموزش ديدن در زمينه هايي كه قرار است رياضي در آن به كار برده شود بسيار مهم است . رياضي به شكل وسيعي در علوم فيزيك ,آمار , مهندسي مورد استفاده قرار مي گيرد . علوم رايانه اي , تجاري , مديريت صنعتي , اقتصاد , امور مالي , شيمي , زمين شناسي , علوم روزمره و اجتماعي وابسته به رياضي كار بردي مي باشند . رياضي دانان بايد در زمينه برنامه نويسي رايانه اي از اطلاعات جامعي برخوردار باشند چرا كه اكثر محاسبات رياضي پيچيده و مدل سازي رياضي بوسيله رايانه انجام مي شود.
رياضي دانان نياز به قدرت استدلال خوب و مداومت براي تشخيص ، آناليز و به كار بردن مباني رياضي در مسائل فني دارند . مهارتهاي ارتباطي مهم مي باشد چرا كه رياضي دانان بايستي در زمينه راه حلهاي مطرح شده با افرادي وارد بحث شوند كه احتمالا" اطلاع كافي ازعلم رياضي ندارند.
چشم انداز كار
انتظار مي رود كه در آينده از ميزان استخدام افراد به عنوان رياضي دان كاسته شود چرا كه مشاغل اندكي با نام علم رياضي وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرك PHD و فوق ليسانس با اطلاعات جامعي در زمينه رياضي و علوم مربوطه مانند مهندسي يا علوم رايانه اي احتمالا از فرصتهاي شغلي مطلوب تري برخوردار خواهند بود . با اين حال , بيشتر اين افراد به جاي عنوان رياضي دان از عنوان كاري بر خوردار مي شوند كه نمايانگر شغل آنان مي باشد . پيشرفت تكنولوژي معمولا باعث گسترش كاربرد علم رياضي مي شود و در آينده به افرادي كه در اين رشته مهارت يابند نياز پيدا خواهيم كرد . با اين وجود افرادي كه در امور صنعتي يا دولتي مشغول به كار مي شوند علاوه بر علم رياضي در علوم مربوطه نيز به دانش پيشرفته اي نياز خواهند داشت رياضي دانان براي يافتن شغل بايد با افرادي رقابت كنند كه در علوم مربوط به رشته رياضي تخصص دارند . موفق ترين جويندگان كاركساني هستند كه مي توانند مباني رياضي را در مسائل واقعي زندگي بكار برده و از مهارتهاي ارتباطي ,گروهي و رايانه اي مطلوبي بهره مند هستند .
در صورت نياز سازمان آموزش و پرورش , اكثر دارندگان مدرك ليسانس مي توانند به عنوان دبير در مدارس مشغول بكار شوند.
رقابت كاري در ميان دارندگان مدرك فوق ليسانس و در امور تحقيقي و نظري بسيار با لاست . از آنجايي كه اكثر مشاغل دانشگاهي در اختيار دارندگان مدرك PHDاست , لذا بسياري از فارغ التحصيلان رشته رياضي , بدنبال استخدام در مشاغل دولتي يا صنعتي مي باشند.


منابع:
پرویز شهریاری
لوباچفسكی، هندسه نااقلیدسی»، تالیف: و. كاگان، ترجمه پرویز شهریاری
هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی»، تالیف: ماروین جی. گرینبرگ، ترجمه محمدهادی شفیعیها
«هندسه لوباچفسكی» نوشته آ.س. اسموگورژفسكی، ترجمه احمد بیرشك
دایره المعارف بریتانیكا
مجله رشد برهان
سازمان آموزش و پرورش استان خراسان
-

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:27 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260182.jpgهدف اين مقاله بررسي اثر بخشي حالت هاي عاطفي و هيجاني ، به عنوان مولفه هاي شخصيت يادگيرنده بررفتار رياضي است. امروزه اضطراب رياضي مورد توجه و علاقه بسياري از متخصصان روان شناسي آموزش رياضي و نيز روانشاسان شناختي است تا از اين طريق تأثيرهاي هيجاني و بر انگيختگي هاي رواني شاگردان را در کار رياضي بشناسند و براي کنترل و مهارعلمي آنها راه کارهاي عملي بيابيد . در اين ميان اضطراب و فشار رواني و تعامل آنها با يادگيري رياضيات جايگاه ويژه اي را در امر آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است ؛ هر چند که در محافل علمي و آموزشي ما کمتر به آن توجه شده است.
پژوهش ها در سال هاي اخير نشان داده اند که اضطراب رياضي غير معقول ( اضطراب مرضي ) با ايجاد مانع هاي جدي شناختي و آموزشي در فراگيران ضمن ابتلاي آنان به ايست فکري و نقصان قابليت هاي استدلالي موجبات تضعيف خود باوري رياضي را در آنها فراهم مي آورد و با ايجاد نگرش منفي به شدت بر عملکرد پيشرفت رياضي فراگيران موثر مي افتد. نوشتار حاضر با مروري اجمالي بر ادبيات کار در اين عرصه مي کوشد تاضمن ارائه تعريفي از اضطراب رياضي چگونگي تعامل ميان رفتار رياضي افراد و مقوله اضطراب رياضي را نشان دهد. واژگان کليدي : اضطراب ، اضطراب رياضي ، حافظه فعال ، سبک شناختي .
مقدمه نوشتار حاضر بر آن است تا چگونگي اثر بخشي حالات عاطفي و هيجاني را که از مؤلفه هاي شخصيت فرد است بر رفتار رياضي فرد مورد بررسي قرار دهد. متأسفانه به رغم جدي بودن تأثير عوامل رواني و هيجاني بر عملکرد علمي افراد ، به ويژه در علوم پايه واز جمله رياضيات ، مطالعه در خور توجهي در اين باره به زبان فارسي موجود نيست. در حالي که شناخت و کنترل عوامل ( دروني و بيروني ) پيش برنده يا بازدارنده فراگيران در ميدان فعاليت هاي رياضي مورد توجه والدين ، مربيان و پژوهشگران است .
تغيير حالت هاي رواني و برانگيختگي ها ي آشکار فراگيران در مقابله با وضعيت هاي مختلف آموزشي و يادگيري رياضيات ، به ويژه پژوهشگران آموزش رياضي را مصمم تر مي سازد تا تأثيرات هيجاني و برانگيختگي هاي رواني را بر رفتار رياضي يادگيرنده ها – خواه دانش آموز يا دانشجو – شناخته و براي کنترل علمي و عملي آن در پي چاره بر آيند.
در اين مقاله نگارنده با بررسي و مرور منابع در دسترس و توجه به واقعيت هاي موجود در امر تعليم و تربيت رياضيات کشور نکاتي را خاطر نشان مي کند. به منظور آشکار شدن ارتباط هاي ساختاري موضوع ابتدا رفتار رياضي تعريف مي شود.
رفتار رياضي 1: ناظر بر چگونگي بروز دانش رياضي فرد در موقعيت هاي مختلف است که تحت تأثير عوامل دروني و بيروني واقع مي شود. عوامل دروني و عوامل بيروني به ترتيب نقش بردارهاي تسهيل کننده و بازدانده رفتار رياضي را ايفا مي کنند ؛ شکل 1 تا حدودي اين عوامل را ترسيم مي کند. 1.Math behaviour به نظر مي رسد عوامل ارائه شده در شکل 1 مي توانند با اثر گذاري بر عملکرد رياضي فرد موجبات رشد يا بازدارندگي علمي او را فراهم آورند. در اين ميان هيجان ها به مثابه يک عامل دروني و مؤثر در ساختار شخصيتي هر فرد مورد بحث قرار مي گيرند ؛ با توجه به اين که جداسازي مقوله شناخت از فرآيند هاي عاطفي موجب خلط در بازتابش دقيق تجربه انساني مي شود ( اسکمپ ، 1989).
هيجان خوب است يا بد ؟ هيجان را معمولاً بي قراري فکر ، احساس و يا حالت تحريک شده عقلاني 2" تلقي مي کنند که مانند بسياري از مؤلفه هاي مربوط به طبيعت انسان و فعاليت هايش تنها در جريان رشد شخصيت و تفکر او شناخته مي شود. هيجان ها ممکن است مخل يا تسهيل گر جريان تفکر و رشد آدمي باشند ؛ که در صورت مخل بودن بايد اثر بخشي آنها را بر عملکرد فرد به دقت کنترل کرد و آن را کاهش داد ، به طور که به عاملي سودمند در خدمت پويايي انديشه و شخصيت آدمي در آيد. روان شناسان ( اسکمپ ، 1989) هيجان مؤثر در کارايي و کفايت افراد را به صورت زير تقسيم بندي مي کنند: الف ) فشار رواني ؛ ب)اضطراب ؛ ج) اطمينان د) ناکامي ؛ ه) ايمني – بي هراسي پنج مقوله فوق در نيل به هدف ها تأثير گذارند. در اين ميان اضطراب و فشار رواني جايگاه ويژه اي در آموزش و يادگيري رياضيات مدرسه اي و حتي دانشگاهي به خود اختصاص داده است .
به عبارتي ، دنياي رياضيات نيز از اين مشخصه عمده قرن بيستم ، يعني اضطراب ، بي نصيب نمانده است و به دليل ويژگي هاي خاص و طبيعي اين شاخه از دانش و معرفت بشري ، آسيب پذيري فراگيران را بيش از ساير شاخه ها ي علوم محتمل مي سازد. اينک قبل از پرداختن به اضطراب رياضي ، مناسب است که ابتدا تصويري روشن از مقوله اضطراب به طور کلي داشته باشيم . اضطراب چيست ؟ در متون روان شناسي اضطراب با معاني گوناگون به کار رفته است. به طور کلي اضطراب بيانگر حالت هيجاني نامطلوبي است که محصول فشار و کشمکش هاي رواني افراد مي باشد و مشخصه بارز آن ترس از وقوع حوادث آينده است . چنانچه اين ترس و تشويش مبهم و پراکنده بوده و وابسته به چيز معيني نباشد و يا به صورت افراطي در آيد آن را اضطراب نوروتيک گويند ( استات 1، 1990). Skep 2. Oxford Concise Dictionary1- .
هرگاه فرد در وضعيتي قرار گيرد که در رويارويي با مشکلات وخطرهاي احتمالي از اعمال توانايي هاي خود نامطمئن باشد ، آن گاه او مضطرب قلمداد مي شود. مانند رانندگي روي سطح لغزنده يا شرکت در امتحان رياضي و… اصولاً تمايل به انتظار ناخوشايند از نتيجه کارها يکي از ويژگي هاي افراد مضطرب است. به علاوه ، بنابر پژوهش هاي انجام گرفته ( اليس و هانت ، 1993) اضطراب و افسردگي به نحوي به يکديگر مربوطند ؛ به طوري که افراد افسرده غالباً مضطرب هستند.
نکته قابل توجه اينست که بسيارند کساني که به نحوي دچار اضطراب و عوارض ناشي از آن هستند ، در حالي که شناخت درستي از وضعيت رواني خويش ندارند و طبعاً در صدد بهبود آن بر نمي آيند. حال به طرح پرسش ها و عناوين بحث اصلي يعني فشار رواني واضطراب در آموزش و يادگيري رياضيات پرداخته مي شود.

1- اضطراب رياضي چيست ؟
2- وجود مقوله فشار رواني و اضطراب رياضي و تأثير هاي آن بر رفتار رياضي فراگيران تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟
3- دانش رياضي معلمان ، والدين ، چگونه ممکن است ، فراگيران را در معرض ابتلا به پديده اضطراب رياضي قراد دهد ؟
4- اضطراب رياضي و تأثير آن بر فرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، سبک هاي شناختي و يادگيري و طرحواره مفهومي چگونه است ؟
5- اضطراب رياضي و اطمينان رياضي چگونه با يکديگر مربوط هستند ؟
6- اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزش در رياضيات .
7- اضطراب رياضي و جنس .
8- آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي .
9- شيوه هاي علمي کنترل وکاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي .

اضطراب رياضي چيست ؟ اضطراب رياضي وضعيتي رواني است که به هنگام رويارويي با محتواي رياضي ، چه در موقعيت آموزش و يادگيري ، چه در حل مسائل رياضي و يا سنجش رفتار رياضي در افراد پديد مي آيد. اين وضعيت معمولاً توأم با نگراني زياد ، اختلال و نابساماني فکري ، افکار تحميلي وتنش رواني و در نتيجه ايست تفکر مي باشد.
اضطراب رياضي و تأثير آن بر رفتار رياضي يادگيرنده ها تا چه اندازه اي واقعي و پذيرفتني است ؟
اضطراب به طور کلي واضطراب رياضي به طور ويژه مي تواند ميزان حواس پرتي و هجوم افکار نامربوط را به ذهن افزايش دهد و با ايجاد اختلال در ساختار هاي ذهني و فرآيندهاي پردازش اطلاعات موجب تحريف ادراکات افراد از پديده ها و مقوله هاي رياضي شود. پژوهش هاي انجام گرفته درباره اضطراب وعملکرد افراد گواه نيرومندي بر اين واقعيت است که اضطراب ، افسردگي و به طور کلي فشارهاي رواني موجب کاهش رفتار مفيد و مؤثر اشخاص در مقابله با واقعيت هاي گوناگون مي شود ، به ويژه هنگامي که تکاليف خواسته شده داراي گام هاي فکري بيشتري باشند ( دارک ، ) باکستون 3( 1981) وجود اضطراب بالا در کلاس رياضي را به مثابه پديده اي خطرناک و بسيار مهم با تأثيرات دراز مدت مي پذيرد و بحث مي کند که چگونه هيجان هاي قوي ( از جمله اضطراب رياضي ) مي توانند موجب ايست توانايي و قدرت استدلال و نقصان در عملکرد مفيد فرد بشوند و اورا در دوري باطل گرفتار سازند. شکل زير نمايشگر دورهاي باطلي است که شخصي مضطرب در آنها گرفتار مي شود.
1- بنابر اين جانستون (1986) پيچيدگي يک تکليف يا گام هاي فکري آن (Z-demands) عبارت است از تعداد گام هايي که کم توان ترين دانش آموز ، بر اساس آموزش هاي قبلي اش براي حل موفقيت آميز يک تکليف ، طي مي کند.
2.Darke 3. Buxton کوتاه سخن ، دانش آموز درانجام فعاليت هاي رياضي دچار اضطراب شده در نتيجه نمي تواند درست بيانديشد و دانسته هاي خود را سازمان دهند ؛ از اين رو غالباً به کار و تلاش بيشتر مي پردازد ؛ در حالي که اين تلاش زياد يادگيري معنا دار مفاهيم رياضي را براي او به همراه ندارد.
بدين ترتيب با گرفتار شدن در ا ين دور دچار نااميدي وافسردگي مي شود و بيم و نگراني از عدم موفقيت در امتحان ، ميزان اضطراب رياضي او را به گونه اي چشمگير افزايش مي دهد و آنگاه دورهاي باطلي مانند (شکل 2) همزمان و هماهنگ رخ خواهند داد. لئون 1(1992) اضطراب رياضي را به مثابه عاملي مي داند که موجب اجتناب از رياضي مي شود و معتقد است که ميزان اضطراب رياضي با زمينه دانش رياضي و پيشرفت رياضي فرد ارتباطي معکوس و با اجتناب از رياضي ارتباطي مستقيم دارد.
به علاوه ، او خاطر نشان مي سازد که موفقيت در يک درس رياضي لزوماً موجب کاهش اضطراب رياضي در فرد يادگيرنده نخواهد شد. 1.Leon از سوي ديگر در برخي پژوهش ها ( مانند کلوت 1، 1984) ارتباط بين اضطراب رياضي و پيشرفت رياضي نشان داده شده است ؛ به گونه اي که پيشرفت بالا و مطلوب در رياضيات را مرتبط با اضطراب اندک فراگيران دبيرستاني تا دانشگاهي دانسته اند.
بنابر اين ميزان سطح اضطراب رياضي در افراد مي تواند به عنوان عامل پيش بيني کننده در پيشرفت رياضي آنان به شمار آيد. اصولاً فرد مضطرب ، افسرده و کم انگيزه است و براي انجام تکليف هاي پيچيده تر رياضي که نيازمند گام هاي فکري بيشتر مي باشد از قابليت هاي کمتري برخوردار است ؛ زيرا بر اساس قانون پذيرفته شده يرکز – دادسون 2 " بهترين ميزان انگيزه براي حل يک تکليف ، حد متوسط پيچيدگي در تکليف است " يعني پيچيدگي کم يا پيچيدگي زياد با ميزان انگيزه همبستگي منفي دارند ، اما پيچيدگي در حد متوسط با ميزان انگيزه همبستگي مثبت نشان مي دهند.
دانش رياضي ، معلمان و والدين ، چگونه ممکن است فراگيران را در معرض ابتلا به بيماري اضطراب رياضي قرار دهند ؟ برخي از پژوهشگران ( کلوت ، 1984) نوعي اضطراب معتدل را براي انجام فعاليت هاي مختلف از جمله رفتار رياضي مناسب و ضرور مي دانند ومعتقدند که افراد با اضطراب پايين در عرصه کار و يادگيري به طور کلي دچار نوعي خونسردي وبي تفاوتي هستند تا جايي که اين اضطراب ملايم هرگز موجبات پيشرفتشان را فراهم نخواهد آورد.
هر چند که اضطراب کنترل شده و معتدل لازمه پويايي حيات بشر و مقوله اي طبيعي براي نيل به هدف ها و تکامل بشر است ، اما سخن از اضطراب بالا يا اضطراب مرضي است که مخل جريان تفکر سالم و رشد يابنده در فرد مي باشد و به صورت مانعي جدي در برابر فعاليت هاي علمي او قرار مي گيرد. چنانچه اضطراب را به مثابه عاملي اجتناب ناپذير در عرصه آموزش و يادگيري رياضيات بدانيم ، بدون ترديد بسياري از فراگيران دچار عجز و ناتواني در عملکرد رياضي خود خواهند شد.
1.Clute 2.Yarkes-Dodson از سوي ديگر طبيعت دانش رياضي و امکان تحقق يادگيري غير معنادار براي فراگيران ، نگرش هاي غير علمي وتعليم و تربيت در رياضيات واعمال فشارهاي ناسازگار با ظرفيت هاي عقلاني فراگيران ، عدم توجه به تفاوت هاي فردي و سبک هاي يادگيري آنها و مشارکت هاي مؤثر در کار ، چگونگي ونوع اقتدار علمي واخلاقي و شخصيتي معلمان در ايجاد روابط متعادل وعدم اعتماد متقابل در کلاس درس رياضي ، هراس هاي ناشي از عدم توفيق در امتحان و انتظارهاي نابجاي والدين از فرزندان ، در شمار عواملي هستند که مي توانند موجبات بروز پديده اضطراب رياضي را در افراد فراهم آورند و احساس رضايت از فعاليت هاي رياضي را به ناخرسندي و نفرت مبدل کنند. کورنو1( 1991) با طرح ايده موانع شناختي ، به مثابه عوامل شناختي ، به مثابه عوامل بازدارنده در فعاليت هاي رياضي ، معتقد است که با درک آن موانع مشکلات دانش اندوزان در فرآيند يادگيري بهتر شناسايي و طبعاً راهبردهاي آموزشي لازم فراهم مي آيد . اين موانع عبارتند از :
1- موانع ژنتيکي و روان شناختي که محصول ساختمان ذهني سني خاص است و با تحول شناختي و تغيير مراحل قابل رفع است.
2- موانع آموزشي که در نتيجه طبيعت شيوه آموزشي و شخصيت معلم را برنامه هاي درسي رخ مي دهند.
3- موانع معرفت شناسي که در نتيجه طبيعت خود مفاهيم و مقوله هاي رياضي روي مي دهند. بديهي است که معلمان و برنامه ريزان رياضي با شناخت عوامل سه گانه پيش گفته و يافتن راه هاي غلبه بر آنها مي توانند به ميزان قابل ملاحظه اي کشمکش هاي شناختي و فکري موجود در ساختار ذهني يادگيرندگان را ، که گاه در بروز اضطراب رياضي مؤثر مي افتند ، کاهش دهند و بستري مناسب را براي يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي فراهم آورند.
1.Curno 2. didactical 3. epistemological اضطراب رياضي و تأثير آن برفرآيند هاي شناختي و پردازش اطلاعات ، حافظه ، سبک هاي شناختي و يا طرحواره هاي مفهومي. بر اساس پژوهش هاي انجام گرفته ، حالات هيجاني مانند فشارهاي رواني ، اضطراب وافسردگي مي توانند نقشي مهم در فرآيند هاي شناختي و حافظه ايفا کنند. اليس1( 1993) و ولز 2(1994) معتقدند که در سطح شناختي اضطراب در تقابل با نقش مؤثر حافظه قرار مي گيرد ؛ به طوري که فراگيران مي کوشد تا يک مفهوم رياضي يا يک ايده کليدي را در حل معادلات درجه دوم و… به خاطر بسپارد . ولي هنگامي که او دچار اضطراب غير معمول رياضي باشد ، اين يادگيري وبه خاطر سپاري را به مراتب دشوارتر مي يابد. در حقيقت فراگيران در موقعيت هاي آموزشي تحت فشار قرار مي گيرند تا مطالب را بفهمند ( يادگيري معنا دار) يا يادگيري طوطي وار ( غير معنادار ) را دنبال کنند.
بنابر اين افراد مضطرب با مانعي پيچيده تر که نتيجه اي از اضطراب رياضي و يادگيري طوطي وار است ، روبه رو خواهند بود. فراگيران در يادگيري و آموزش رياضي بيشتر تحت فشار هستند که بفهمند تا به خاطر بسپارند . اما بايد توجه داشت که فهم معنادار مفاهيم رياضي به معني رد و نفي به کارگيري حافظه ونقش مؤثر آن در چگونگي پردازش اطلاعات نمي شود ، بلکه فهميدن محصول تلاش مؤثر حافظه فعال 3 يا ظرفيت عقلاني و حافظه دراز مدت در نظريه پردازش خبر 4( IPT) است که دسترسي فرد را به دانسته هايش در شرايط و موقعيت هاي مختلف بهتر فراهم مي آورد.

در هر حال " فهميدن " جانشيني براي حافظه نيست . در عين حال دسترسي به کدهاي اطلاعاتي قابل ذخيره شده در حافظه دراز مدت نيز موضوعي است که با نظريه به هر (IPT) تبيين است. حال ممکن است فرد زنجيره اي از ايده هاي به هم پيوسته رياضي را بفهمد ومهارت هايي را نيز بياموزد ، ولي با گذشت زمان آنها را از ياد ببريد.
در اين ميان اضطراب رياضي و شرايط دلهره آور کلاس و امتحان رياضي طبعاً موجب اختلال نظم و انسجام فکري و مختل شدن فرآيند پردازش اطلاعات و نقش مؤثر حافظه در دانش آموز مي شود تا جايي که وي گاه بديهيات و مسائل ابتدايي را نيز به ياد نمي آورد. 1.Ellis 2.Wells 3.Working memory 4.Information Processing Theory به علاوه به نظر مي رسد ، که افراد با اضطراب رياضي بالا کمتر قادرند تا از حافظه 7 فعال يا ظرفيت محاسبه مرکزي خود که پردازش 2 قطعه خبري واطلاعاتي را در هر لحظه برعهده دارد ، به نحو مطلوبي بهره گيري کند. در واقع به جاي انديشه هاي سازمان يافته و مربوط افکار مزاحم و نامربوط ناشي از نگراني ها و اضطراب ها ، بخش مهمي از ظرفيت عقلاني و توانايي پردازش اطلاعات را تحت تأثير قرار مي دهند وموجبات نقصان بازدهي و ضعف عملکرد علمي را فراهم مي آورند. در بررسي ارتباط بين سبک هاي شناختي و اضطراب هر چند کار چنداني انجام نشده است ، ولي هادفيلد 1( 1986) معتقد است که اضطراب بالاتر در ميان افراد ميدان وابسته * بيشتر اتفاق مي افتد تا در ميان گروه هايي با سبک شناختي ميدان ناوابسته . در عين حال مطالعات زيادي لازم است تا بررسي شود که چگونه اضطراب رياضي با سبک هاي شناختي افراد و نيز فرايند هاي پردازش اطلاعات علمي و استفاده از ظرفيت هاي عقلاني آنان در تعامل قرار مي گيرد. اضطراب رياضي و اطمينان رياضي پژوهش هاي بسياري نشان داده اند که ارتباط معنا داري بين اعتماد به توانايي يادگيري رياضي ( اطمينان رياضي ) با پيشرفت در رياضيات وجود دارد (ولز، 1994) ، به طوري که افراد با اطمينان بالاي رفتار رياضي مطلوبي دارند. فنما و شرمن 2( 1976) نشان داده اند که اضطراب رياضي با اطمينان رياضي ارتباطي نيرومند ولي منفي دارد.

1.Hadfeild *- افراد ميدان وابسته (Field – dependent) کساني هستند که در مسائل داراي رويکرد کلي هستند و در جداسازي عناصر و اجرا محيط و بافت اصلي خود ( تجزيه و تحليل ساختارها ) دچار مشکل اند ؛ در حالي که افراد ميدان ناوابسته داراي رويکرد تحليلي بوده و قابليت بيشتري در جداسازي و شناخت عناصر سازنده يک سامانه دارند ؛ در نتيجه بهتر مي توانند اطلاعات و اجزاي مزاحم را از عناصر مربوط و علامت دهنده تشخيص دهند

2.Fennema & Sherman برخي از پژوهشگران مانند برتون و راسل 1 دريافتند که فقدان زمينه کافي در رياضيات براي انجام فعاليت هاي رياضي و کمبود عزت نفس در رياضي موجب تقويت اضطراب رياضي خواهند شد. بنابر اين احساس فقدان يا ترديد در توانايي نسبت به انجام فعايت هاي مناسب رياضي در موقعيت هاي مختلف ، فرد را در معرض بروز تقويت اضطراب رياضي قرار خواهد داد و هرگاه اين احساس در يادگيرنده نهادينه شود علاوه بر ابتلاي به اضطراب رياضي نوعين طرز تقلي منفي نيز نسبت به رياضيات در کل در او ايجاد خواهد شد. گاه مشاهده مي شود که حتي دانشجويان نسبتاً خوب رياضي به دليل فقدان احساس اطمينان رياضي مناسب ، با اندک تغييري در شرايط دچار هراس واضطراب مي شوند.
به عنوان نمونه دانشجويي در مراجعه به نگارنده اظهار مي داشت. حتي تأخير در شروع جلسه امتحان رياضي او را مضطرب مي کند و يا دانشجوي نسبتاً مستعدي از گروه رياضي تقاضا داشت که به جاي شرکت درجلسه رسمي و اضطراب آور امتحان هاي رياضي ، استاد از او به طور جداگانه و يا زماني که خود دانشجو در طول ترم تعيين مي کند ، امتحان بگيرد. اينها و ده ها نمونه ديگر در ميان فراگيران رياضي گوياي اين واقعيت است که چگونه نهادينه شدن ترديد در قابليت هاي رياضي با ابتلاي فرد به اضطراب رياضي ، رفتار رياضي او را دچار مشکلات جدي مي کند.

اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزشي اتخاذ شيوه آموزشي مناسب به مثابه عاملي بروني مي تواند به گونه اي مؤثر در شکل دهي رفتار رياضي دانش آموزان و دانشجويان عمل نمايد. از آنجايي که رفتار رياضي رشد يابنده و پويا محصول تعامل و تقابل مؤثر عوامل بروني و دروني است ، بنابر اين شيوه آموزشي مفاهيم ومهارت هاي رياضي بدون توجه به عوامل دروني ، به ويژه تفاوت هاي فردي يادگيرنده ها امري غير علمي است و طبعاً بهره وري مطلوب را در يادگيري رياضيات به همراه نخواهد داشت .
در اين ميان بينش معلمان و مربيان رياضي نسبت به حالات هيجاني و روحي شاگردان در خور اهميت است تا با انتخاب روش مناسب آموزشي و فعاليت هاب کلاسي شايسته ، زمينه مشارکت بيشتر و مطلوبتر فراگيران خود را فراهم آورند. پس بدون ترديد اقتدار علمي معلمان و شيوه آموزشي آنان در تدريس و هدايت فعاليت هاي رياضي مي تواند موجب تشديد اضطراب رياضي درافراد و يا تنش زدايي آن بشود. ___________ 1.Burton & Russell کلوت (1984) در پژوهشي پي برد که تعامل و ارتباط معناداري بين (p<0/01) اضطراب رياضي و اتخاذ شيوه آموزشي وجود دارد ؛ به طوري که دانشجويان با سطح اضطراب بالاي رياضي از شيوه توصيفي در آموزش سود بيشتري مي برند ، در حالي که دانشجويان با اضطراب پايين شيوه اکتشافي را مفيد تر يافته اند.
درواقع افراد مضطرب نيازمند آرامش بيشتر و تکيه بر مباحث خوب سازمان يافته و با طراحي شفاف تر براي ياد گيري رياضي هستند. از اين رو ، نگرش توصيفي به آموزش وتدريس با ساختارهاي روشن در محيطي با نشاط و آرام در کاهش اضطراب آنها سودمند است. برعکس ، همان طوري که قبلاً بحث شد غالب فراگيران با اضطراب اندک با برخورداري از اطمينان رياضي بالاتر تمايل زيادتري به مناقشه هاي علمي و بحث و جدل با معلمان خود دارند ، در حالي که فراگيران فاقد اطمينان رياضي از درگير شدن با چنين کشمکش هايي که طبعاً اضطراب زا هستند بيزارند ( ري ز3، 1980) .
بنابر اين منطقي به نظر مي رسد که شيوه آموزش اکتشافي ، که موجب ايجاد بسط شرايط محيطي دلهره آور خواهد شد ، براي فراگيراني مناسب تر است که از اطمينان رياضي بالاتر و در نتيجه اضطراب رياضي کمتري برخورداند. ضمناً تشکيل گروه هاي کوچک کاري براي انجام فعاليت هاي رياضي در ميان فراگيران ميدان بحث و اظهار نظر را در بين آنان گشوده و با هدايت آگاهانه معلم ، گروه مي تواند فرصت مناسبي را براي يادگيري هاي مشارکتي در ميان هم شاگردان ايجاد کند و موجب رشد طرحواره مفهومي و آمادگي هاي ذهني افراد شود. در نتيجه دانش رياضي يادگيرنده ها گسترده تر مي شود .
بدين ترتيب در محيطي نسبتاً بي دغدغه شايد خود اتکايي و اطمينان رياضي فراگيران افزايش يابد و درگروهي متجانس از افراد با اضطراب بالاتر اين باور ايجاد شود که توانايي و قابليت نسبي فهم رياضي وکار رياضي را دارند. دانش ، تجربه و هنر معلمي اقتضا مي کند که با توجه به قابليت ها و وضعيت رواني کلاس تلفيقي متعادل ومتناسب از شيوه هاي آموزشي شامل روش توصيفي ، اکتشافي ، کارگروهي و انجام پروژه هاي کوچک علمي در حوصله درس ، موجبات لذت بخشي رفتار رياضي فراهم آيد.
بديهي است که لذت ناشي از مسرت بخش شدن کار رياضي در کنترل و تخفيف اضطراب رياضي به نحو قابل ملاحظه اي مؤثر است. اضطراب رياضي و جنس تفاوت و ويژگي هاي رفتار رياضي در دو جنس امري است که مورد علاقه پژوهشگران آموزشي رياضي است.

واقعاً زن بودن يا مرد بودن چگونه ممکن است بر عملکرد افراد در دروس مختلف رياضي مؤثر افتد ؟ آيا اصولاً پسران به لحاظ طبيعت و فرصت هاي اجتماعي در انجام فعاليت هاي رياضي بر دختران برتري دارند ؟
آيا جنبه هاي مختلف زيستي ، روان شناختي و حالات مختلف هيجاني از جمله اضطراب و اطمينان رياضي هيچگونه تفاوتي را در رفتار رياضي زنان و مردان نشان نمي دهد ؟
در اين خصوص دستاوردها و مناقشات علمي فراوان است اما در مورد اضطراب رياضي مي توان گفت که برخي از پژوهش ها از جمله پژوهش بروش 1(1978) نشان داده شده است که از نظر آماري به طور معناداري زنان ، در مقايسه با مردان ، نمره بالاتري را در مقياس درجه بندي اضطراب رياضي موسوم به MARS کسب کرده اند. به علاوه ، طبق گزارش بنسون 3( 1987) زنان در مقايسه با همکلاسي ها ي مرد خود در دانشگاه نمرات بالاتري را در آزمون هاي اضطراب کلي و اضطراب آمار و رياضي به دست آورده اند. در عين حال لئون (1992) پي برد که ميزان اضطراب رياضي در دانشجويان و معلمان ضمن خدمت علوم اجتماعي ، ارتباطي با جنس افراد نداشته است ؛ بلکه بايد عوامل ديگري را به منظور تبيين تفاوت عملکرد رياضي ميان زنان ومردان جستجو کرد.

1.Brush 2.Mathematics Anxiety 3.Benson در هر حال، اگر توانايي ها و قابليت هاي متفاوت ذهني و رواني و فرصت هاي مختلف اجتماعي فرهنگي مردان و زنان در عرصه ء کار رياضيات مورد تأمل قرار گيرد ، طبيعي است که ابتلاي زود هنگام تر زنان به اضطراب رياضي و ترديد شان نسبت به اطمينان رياضي را در مقايسه با مردان بپذيريم. هر چند که اين امر نيازمند مطالعات بيشتري است تا معلوم شود که چگونه پيشرفت در رياضيات تحت تأثير اضطراب رياضي و جنس قرار مي گيرد.
بديهي است که دستاوردهاي ناشي از چنين پژوهش هايي نتايج ارزشمندي را براي يادگيرندگان ، معلمان و برنامه ريزان آموزشي در رياضيات فراهم خواهد آورد. آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي چگونه مي توان ميزان اضطراب رياضي را در افراد تعيين کرد تا از گمان هاي غير علمي جلوگيري شود؟ سويين 1(1970) براي سنجش سطح اضطراب رياضي آزمون را MARS طراحي و اجرا کرد. اين آزمون شامل 98 پرسش است که بر انگيختگي هاي اضطراب آور را در فعاليت هاي رياضي افراد اندازه مي گيرد .
در اين آزمون اضطراب اشخاص بر حسب ميزان ابتلاي آنان به پنج درجه تقسيم مي شود. آزمون هاي تغيير يافته ديگري بر اساس MARS تحت عنوان RMARS توسط پژوهشگران ديگر از جمله فرگاسون2( 1986) طراحي و اجرا شده است . آزمون فرگاسون شامل 30 پرسش است که 20 پرسش آن از MARS اقتباس شده است. به اعتقاد فرگاسون ده پرسش جديد ، به گونه اي است که مي تواند عامل ديگري را در اضطراب رياضي تحت عنوان اضطراب تجريد 3 اندازه گيري کند. در واقع به کمک اين ده پرسش جديد مي توان اضطراب ناشي از کارکردن و برخورد با مقولات مجرد و نمادهاي رياضي را در افراد به ويژه در مقاطع متوسطه ، مورد سنجش قرار داد.

او با انجام پژوهش نشان داده است که اضطراب تجريد نيز عاملي است که بايد در اندازه گيري اضطراب يا رياضي اشخاص به حساب آيد. مثلاً کار کردن با مجموعه ها متغيير ها و … x,y و پارامترها m,n,a,… به جاي اعداد در مقاطع ابتدايي و راهنمايي و حتي بالاتر يا نمادهايي مانند [IxI] و [x] يا کار کردن با انتگرال هاي دو گانه يا چند گانه و… مي توانند اضطراب آور باشند. شيوه هاي علمي کنترل و کاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي افراد بديهي است پس از شناخت واقعيت هاي مربوط به حالات عاطفي و هيجاني و عمدتاً اضطراب رياضي و تأثيرشان بر عملکرد رياضي دانش اندوزان بايد راه کارهاي علمي مهار و کاهش آنها را شناسايي کرده و به طور مؤثر به کار گيريم. بديهي است که در اين ميان نقش سه گروه معلمان ؛ دانش آموزان و دانشجويان ؛ خانواده ها از جايگاه ويژه اي برخورداراست. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين جايگاه ويژه اي برخوردار است. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين مهم مي توانند ايفا کنند ، در مقطع هاي مختلف تحصيلي متقاوت است ، مثلاً در رياضيات مدرسه اي ، به ويژه سال هاي نخست فراگيري مفاهيم و مهارت رياضي ، معلمان و خانواده ها در مقايسه با دانش آموزان سهم عمده تري را در شناخت و کاهش تأثيرهاي هيجاني و تنش زا بر عهده دارند ؛ در حالي که در رياضيات دانشگاهي دانشجو اولويت و سهم بيشتري دارد. در هر صورت همکاري هاي مؤثر ومتقابل سه عنصر معلم ، دانش آموز و خانواده در قالب يک نگرش نظام دار مي تواند سازو کارهاي لازم را براي حذف موقعيت هاي هراس آور و اضطراب زا در انجام فعاليت هاي رياضي فراهم آورد. در اين زمينه توجه به نکات زير سودمند خواهد بود :

1- شناخت پديده هاي هيجاني و فشارهاي رواني ، به ويژه مقوله اضطراب ، در عرصه فعاليت هاي رياضي و تلاش براي مسلط شدن بر اين حالت ها به کمک راهکارهاي علمي . راسل در کتاب اميدهاي نو مي نويسد : بر خورد علمي با بلا و مصيبت دو حسن دارد ، يکي اينکه باعث مي شود شخص با ميل و اراده خودش آن را بپذيرد ؛ ديگر اينکه سبب خواهد شد عقل انسان در جستجوي وسايل تسکين آن بر آيد . بنابر اين برخورد علمي با پديده اضطراب رياضي از سوي همه گروه هاي ذينفع به ويژه شاگردان و انديشيدن و باور به امکان حل آن نيمي از موفقيت است.

2- توجه و برخورد علمي با تفاوت هاي فردي در ابعاد گوناگون ، به ويژه از سوي معلمان و والدين اين تفاوت ها مي تواند شامل سبک هاي مختلف شماختي " يادگيري " ظرفيت حافظه فعال ، فرايندهاي ذهني و پردازش اطلاعات ، دانش قبلي ، رجحان ها و انگيزش ها ، جنبه هاي عاطفي و رواني ، مؤلفه هاي فرهنگي – اقتصادي ، خانوادگي و جنس و… باشد.
3- تلاش براي ايجاد اعتماد متقابل بين معلمان و دانش اندوزان . نگارنده در طي نشست و گفتگويي که با جمعي از دانشجويان رياضي در يکي از دانشگاه هاي ايران داشت ؛ به ضرورت اعتماد متقابل ميان معلم و شاگرد ، به ويژه در ميان دختران دانشجو و در سال هاي اوليه ورود به دانشگاه ، به عنوان عاملي در کاهش افسردگي ها و نگراني ها پي برد.

4- تلاش براي ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات ، تقويت اطمينان رياضي در افراد ، لذت بخش ساختن فعاليت هاي رياضي و آشناسازي فراگيران با منافع و کاربرد هاي علوم رياضي در جامعه و ساير علوم بشري. متأسفانه تلقين هاي اجتماعي در همه جا از جمله جامعه خودمان به گونه اي است که افراد حتي از نخستين روزهاي آغاز رياضيات مدرسه با نوعي هراس مواجه هستند که اين هراس طبعاً اضطراب آور است. بنابر اين وحشت زدايي و مبارزه با پيشداوري هاي منفي و يأس آور همواره بايد مورد عنايت مربيان رياضي و والدين باشد. ايجاد جو ارعاب و وحشت نسبت به رياضيات نه تنها فراگيران را به تلاش هاي جدي تر وادار نمي کند ، بلکه با بر انگيختگي هاي نابهنجار ، آنان را دچار مشکلات جدي ونفرت از کار رياضي مي کند. از سوي ديگر ، تقويت باورهاي دانش آموز نسبت به قابليت ها و ظرفيت هايش واينکه هر فردي با هوش و توانايي هاي متعارف قادر به انجام نسبي کار رياضي است ، در ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات و مسرت بخش ساختن کلاس درس رياضي تأثيري جدي دارد.

5- شناخت دانش قبلي دانش آموز و رفع و ترميم کمبودهاي و مشکلات علمي فرد ، به ويژه به هنگام وارد شدن در عناوين جديد رياضي . اين عمل به نحو قابل ملاحظه اي موجب مي شود که فهم و يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي اتفاق افتد و از آموزش هاي غير معنادار و طوطي وار جلوگيري شود. به گفته اسکمپ (1989) يادگيري معنادار و احساس رضايت ناشي از آن بهترين پاداش براي فراگيران در فعاليت هاي رياضي است. آزوبل 1 معتقد است که براي آموزش بايد از محتواي دانش قبلي فرد آغاز کنيم با اين باور که واقعاً همه دانش آموزان ما يکسان نمي انديشند.

6- اصلاح شيوه هاي سنتي و متعارف سنجش رفتار رياضي ( امتحان ). شيوه کاغذ مدادي ، معمول ما براي اندازه گيري دانش آموزان و دانشجويان ، آن هم گاه با يک بار امتحان ، شايد نه عادلانه باشد و نه علمي . بلکه بيم و هراس ناشي از شرکت و توفيق در امتحان هاي رياضي همواره از آغاز سال تحصيلي ذهن و انديشه فرد را به خود مشغول مي کند و طبعاً بسياري از فراگيران را به سمتي سوق مي دهد که تنها موفقيت آنان را در اين امتحان هاي رسمي و خشک فراهم آورد. انجمن رياضي معلمان آمريکا در سال 1995 بولتني را تحت عنوان معيارهاي سنجش براي رياضيات مدرسه 2 منتشر کرده است که مطالعه و توجه به آنها براي معلمان رياضي خالي از فايده نخواهد بود.

7- اتخاذ شيوه آموزشي مناسب که اجمالاً مورد بحث قرار گرفت.

8-انتخاب آزاد دسته اي از مسائل و تکليف هاي رياضي براي درگير شدن فراگيران و هدايت آنان براي انتخاب مسائلي که هم جذاب باشد و هم چالش انگيز. اين کار براي فراگيران اين فرصت را ايجاد خواهد کرد که خود برگزينند و مسئوليت هاي انتخاب خويش را نيز برعهده گيرند ، با اين شرط که اين انتخاب ها نهايي نيستند و آنان خود بايد موجب رشد احساس قدرت و اطمينان رياضي شان بشوند. واگذاري امور پژوهش متناسب با توانايي هاي فراگيران و همسو با برنامه هاي درسي نيز از جايگاه بالايي در تعليم و تربيت رياضيات برخوردار بوده و افزايش مشارکت فعال فراگيران را به همراه خواهد داشت و از نگراني هايشان مي کاهد.

9- استفاده مناسب و بهينه از زمان درطول دوره تحصيل واراده براي کار و تلاش بيشتر. عدم تنظيم درست اوقات درسي وانباشته شدن مطالب براي روزهاي پاياني ترم بدون ترديد موجب افزايش نگراني واضطراب فراگيران خواهد شد. متأسفانه انباشتگي کتاب هاي درسي رياضي و غير رياضي در نظام آموزشي جديد ايران و زمان ناکافي و متناسب با حجم مطالب – در مقايسه با زمان نسبتاً فراخ نظام قبلي – براي آموزش و يادگيري ، هم معلمان و هم دانش آموزان را دچار نوعي اضطراب کرده است که طبعاً نقصان در عملکرد رياضي دانش آموزان را به همراه خواهد داشت.

10- تحسين و قدر شناسي همواره يکي از مشخصه هاي فعاليت هاي هنري است ، به طوري که همواره هنرمندان هر چند در ارائه ايده ها و کارهاي خود دچار نقصان و اشتباه باشند باز هم از سوي جمعي مورد حمايت وتحسين قرار مي گيرند ؛در حالي که معمولاً تلاش هاي دانشمندان و شايد فعاليت هاي خستگي ناپذير رياضي دانان کمتر مورد ستايش عمومي واقع مي شود ، زيرا طبيعتاً زيبايي و عظمت کار آنان معمولاً نامريي است . مطمئناً مي توانيم به عنوان يک مربي رياضي با ارائه زيبايي هاي نامرئي کار برخي از رياضي دانان و نيز کار خود دانش آموزان ، آنان را به انگيزش براي تلاش بيشتر و انديشيدن بهتر وادار نماييم و بسيارند دانش آموزاني که در انجام تکاليف رياضي خود از شيوه هاي ابتکاري و زيبا بهره مي گيرند. مورد تحسين قرارد دادن اين شيوه ها و بيان زيبايي هاي آنها بدون ترديد موجب تقويت اطمينان رياضي افراد مي شود و رضايت بخشي حاصل از اين ارزش گذاري بهترين انگيزش براي کار و تلاش بي دغدغه و هراس آور خواهد بود . به علاوه ، دانش آموزان درس هاي ارزشمندي را از نحوه کار و زندگي و تلاش رياضي دانان حرفه اي خواهند آموخت. رياضي دانان ازاين مزيت انتخاب برخوردارند که چگونه و با چه کساني کار کنند ، درک اين امر براي فراگيران حائز اهميت است که اين اجازه را بيابند که خودشان کار کنند و يا با دوست و دوستاني همکاري هاي مفيد علمي داشته باشند.

11- اصلاح و رفع اشتباهات درسي و علمي دانش آموزان در کلاس درس به کمک خود آنان و باطرح پرسش و پاسخ هاي مناسب وادار ساختن آنان به نوشتن بيشتر. واگذاري مسئوليت پيشرفت رياضي خوانها به خودشان امري است که امروزه بيش از پيش محققان آموزشي رياضي بر آن واقفند . در اين ميان آگاهي درست فراگيران از اشتباهات و بدفهمي هاي علمي در موقعيت هاي يادگيري و حل مسئله مي تواند به مثابه عاملي تعيين کننده در احساس مسئوليت براي رشد عملکرد رياضي آنان به حساب آيد. ضمن اينکه به خوداتکايي ، خودباوري واطمينان رياضي افراد نيزکمک سودمندي خواهد کرد. به علاوه محترم بودن فراگير در نزد هم کلاس ها و احساس ايمني و امنيت در کلاس ، خود عواملي کار آمد در اضطراب زدايي است.
12- انجام مصاحبه و مشاوره هاي علمي با يادگيرنده گاني که به نوعي در معرض ابتلا به اضطراب شديد رياضي و عدم اطمينان رياضي هستند. شايد بتوان مدعي شد که معلمان مجرب وکار آمد بهترين کساني هستند که مي توانند مورد اعتماد دانش آموزان و دانشجويان قرار گيرند و با شناخت مشکلات هيجاني و رواني آنان ، راه کارها اجرايي غلبه بر اين حالات را به کمک خود فراگيران بيابند و در تنش زدايي درسي آنان مؤثر افتند.

مآخذ
Reference Backhiuse T J,; Haggarty , h ; pirie,s.and Stratton ,J.(1992),London : Cassell. Benson , J. (1987). Causal components of test of anxiety in adelts : an exploratory study paper presented at the annual meeting of the society for Test Anxiety. Brush , L. R. (1978) .A validation study of the mathematics anxiety rating scale (MARS) .Elemantary and Psychigcal Measurment , 38, 485-490. Bueton , G .M ., and Russell , D.(1979) . Getting Cimfirtable with mathematics . Epemtaey school journal, 79, 129- 135. Buxton, L. (1981) . Do you panic about maths ? ( coping with maths anxiety ). Heinemann Educational. Clute , P.S.(1984) .Mathematiccs anxity , Intructional Mathod , and achivevement in a survey ciurse in college mathecatics . Joutmal for Research in Mathematics Education vol . 15. No. l , 50-58. Cornu , B. (1991).Limit .in advanced mathematical thinking .edited by tell. D., The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Darcs , S.(1988) Anxiety and working memory capacity . cognition and Emotion , 2,145-154. Ellis,H,C.and Hunt , R.R. (1993). Fundementals of Cognitive psychology . fifth edition ; V. S. : Brown & Benchmark (WCB)Publishers. Fennema, E.and Shorman , J.(1976). Fennema – Sherman Mathemationicc Attitude scales .JSAS: Catalog of selected Doocuments in Psychology , 6, 31. (MS.NO. 421). Ferguson , R.D.(1986). Abstracion Anxiety: A factor of mathematics anxiety. Journal For Research in Mathematics Education , 17,145-150. Hadfiel, d,O.D. (1986). Cognitive styles and mathematics anxiety among high school students (field- dependence / independence). Ed. D. Dissertation, Northern Arizona University (DAl 47/05A, P. 1590, Publication No: AAC 861739) Johnstone .A.H&El- Banna, H. (1986). Capacities , demands and processes . Education in Chemistry, May. Leon , B .C (1992).A study of prevalence and intensity of mathematics anxiety in college students and preservice and preservice teachers at Large Southern University .ph.D Thesis , The University of Tennessee (DAl- A 52/12, p.4253. Order No: AAC 9212735. Reyes, L.H. (1980). Attiudes and mathematics. In M .M. Lindquist (Ed.) , selected issues in mothematics education , p. 161-1824, Berkely, CA: McCutchan . Skemp. R.R.(1989).Mathematics in the primoary school . London : Routhedge. Statt, D.A. (1990). The Concicis dictionary of psychology . London : Routledge. Suinn,R,M.(1970).Anxiety, in sight and appreciation Mathematics Teaching 147.P.8-11.




منبع: مجله روان شناسي و علوم تربيتي

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:28 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260185.jpg دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفكر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاكید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاكید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میكوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
عدم آشنایی لازم با دانش ، آموزش ریاضی در كشور ، كمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است كه این دانش در جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس آموزش ریاضی حاكم و به تدریس كتابهای دبیرستانی در كلاسهای آموزش ریاضی بسنده شود.
بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های كارشناسی و بالاتر رشته‌های ریاضی كه به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره كلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم را بدست می آورند. در واقع باید اذعان كرد كه ریاضی دانستن و برخورداری از دانش ریاضی یك مقوله است ، در حالی كه تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند كه این دو با یكدیگر در تعاملند.
در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینكه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ، خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس كه ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از مشكلات عمده ای كه از آن به عنوان مشكلات درسی دانش آموز نام برده میشود آشكار میشود. به نظر من با حل مشكلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر مشكلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیكنم كه تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.

ریاضیات ؛ راه حل كدام است؟
ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشكلات آینده زندگی مقاوم تر كند. مطالعه ریاضیات و تفكر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا كرده و قادر است از او شخصیتی بسازد كه بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفكر كند.
آیا ما به عنوان یك مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم كه میتواند فكر كند و او قادر است استدلال كند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌كتاب و ... .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند كه آنچه می خواند در كجای زندگی او كاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینكه سؤال او و ما یكسان است !
چرا باید در كلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس كنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم كه با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ كردن مفاهیم میكنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شركت كند ؟
آیا راه كاری وجود دارد و یا راه كارها عملی هستند؟
در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است كه مربیان ریاضی بكوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و كارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند كه توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.
۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.
۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان كه در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد كه یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.
۳ – چـگونگی اتكا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم فیزیكی بر دانش ریاضی.
۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی ازریاضی است.
۵ – مشكلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی آموزش عالی و دنیای واقعی كار و حرفه است.
بنابراین همه كسانی كه بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یكدیگر و هم اندیشی های سودمند بكوشند تا طرز تلقی ها ، ادراك و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شكل دهی و هدایت كنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه كه NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام كــرده اند ، ایـن است كـه انجمن دبیران ریاضی ، جهت كسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی www.nctm.org مراجعه نمایید..دانش اندوزان بیاموزندكه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به كارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفكر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تكلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی كه كار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !
دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاكید دارد كه انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفكر ریاضی نخواهد شد ، بلكه این فراگیران هستند كه با مشاركت فعالشان در عرصه آموزش و یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفكر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد كه با هدایت معلم تلاش كنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشاركت موثر داشته باشند.
به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درك پرسشهای درست است و قطعه اصلی كار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـركت در می آورد ، منطق می باشد و امكان استدلال منطقی زمانی پدید می آید كه ما پرسشهای خود را درست مطرح كرده باشیم. “ این موضوع كه چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به كار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شركت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی كار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه آمریكایی كه در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دكترای ریاضی گرفت.ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید
دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشكی و . . . ) این نظریات را بررسی كرد و بهترین راهكار را انتخاب كرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراكز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف كه از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میكنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید كالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندكی دست یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیكتر می كند.
مولفان كتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم كاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری كنند.دانش آموز ، كاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یك امر عینی زندگی مشاهده میكند و او قادر است با این مثال عینی كه خود آن را حل كرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا كند.
پیشنهـاد دیگری كه در این راستا ارائه مــی شود تـالیف كـتـاب درسی با نام “كاربردهای ریاضی “ است كه عمده مباحثی كه باید در كتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) كاربرد ریاضی در فیزیك
ب ) كاربرد ریاضی در شیمی
ج ) كاربرد ریاضی در صنعت
د ) كاربرد ریاضی در زندگی
با پرداختن به مباحث فوق در كتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندكی متوجه ریاضیات و كاربرد ریاضیات كنیم و به او یاد دهیم كه دیگر كاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم كه “ مسائل ریاضی تنها تمرینات كتاب ریاضی نیست ؛ بلكه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح كند و برای یافتن پاسخ ، فكر كند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.
به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشاركتی نمی توان داشت. به علاوه باید متوجه باشیم كه یادگیری در ریاضی با سرعتی یكسان و هماهنگ در دانش آموزان یك كلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این رو ، یادگیری های انفعالی كه به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشكلاتی كه در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه كار و ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.معلمان و مدرسان درس ریاضی در كلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند كه در درك مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشكلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یكسان نبودن سطح درك ریاضی در كلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود كه شاید مشكلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر كند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درك ریاضی وارد كند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شكل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .كلاس درسی كه از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین كلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می كوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفكر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال كه ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مركزیت این مطالعه قرار گرفته است.چرا روانشناسان در فهم ما از اینكه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است كه پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به كارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد كه هنوز اندكند كسانی كه با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می كنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلكه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم كلی و بی ارتباط با سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود. از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیكه كمترین اطلاعی از كاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند كه این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی كند.
با برگزاری كلاسهای آموزشی كوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری كرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این كلاسها بررسی و با ارائه راه كارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری كنیم.
اسكمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینكه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود.



منبع:
سید حامد عبداللهیان
سازمان آموزش و پرورش استان خراسان

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:28 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/260176.jpg
اين قرن يكي از مهمترين قرنها در تاريخ رياضيات است زيرا اساساْ دامنه تحقيقات گسترده در رياضي، در همين قرن بر بشر گشوده شد، شايد به دليل آزاديهاي فكري بيشتر، پيشرفتهاي سياسي، اقتصادي و اجتماعي و در نتيجه رفاه بيشتر زندگي-به ويژه در مقابل سرما و تاريكي شمال اروپا.
پيشرفت علم رياضي در اين قرن آنقدر وسيع و گوناگون است كه حتي نوشتن خلاصه اي از آن نيز مثنوي هفتاد من كاغذ خواهد شد. به ناچار بايد به گزينش بعضي از كارهاي اصيلتر و مهم تر در تاريخ رياضي اين قرن تن داد. از مهمترين اكتشافات - و شايد هم اختراعات - رياضي در اين قرن مي توان به مطالب زير اشاره كرد:

الف) كشف لگاريتمب) تدوين علامات و نمادگذاريهاي كنوني جبري
ج) گشوده شدن پهنه جديدي در هندسه محض به ويژه هندسه تصويري
د) آغاز اتصال جبر و هندسه با كشف هندسه تحليلي
ه) پيشرفتي شگرف در نظريه اعداد و نيز تولد نظريه احتمال
و) كشف يكي از بزرگترين دستاوردهاي بشر يعني حساب ديفرانسيل و انتگرال
شايد بهترين راه براي بررسي تاريخ رياضي اين قرن، شرح مختصري از زندگاني رياضيدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

رياضيدانان برجسته قرن هفدهم:
1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چيره دست كرد: نماد گذاري هندي-عربي، چگونگي محاسبه مربوط به كسرها، لگاريتم و رايانه ها. «جان نپر» سومين اختراع را به نام خود ثبت كرد. او به طرز عجيبي، هم سياسي و هم مذهبي بود و نبوغ او در پيشگويي وسايل جنگي چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعريف لگاريتم به وسيله نپر، بيشتر فيزيكي است تا رياضي. بد نيست بدانيم كه پايه لگاريتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نيست بلكه معكوس e است كه البته خود او چيزي در اين زمينه نمي دانست. تذكر اين نكته لازم است كه در تكميل مفهوم لگاريتم و جداول مربوط به آن، «هنري بريگز» كه يكي از دوستان نپر بود، سهم بسزايي دارد و لگاريتم معمولي در پايه ۱۰ را معمولاْ «لگاريتم بريگزي» مي نامند. لگاريتم به معناي «عدد نسبت» است كه البته اين مفهوم، همان طور كه ذكر شد بر اساس تابع تواني -كه هم اكنون تدريس مي شود- به وجود نيامد و يكي از امور خلاف قاعده در تاريخ رياضيات، كشف لگاريتم، پيش از به كار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم ديگر نيز در تاريخ رياضي، به نام جان نپر به ثبت رسيده است. (مراجعه كنيد به صفحه ۴ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز.)
2. پاسكال: اين نابغه فرانسوي، يكي از بنيانگذاران هندسه محض و پيشرفته و نيز نظريه احتمال است. خواص اصلي اشكال معروف هندسي را در كودكي، بدون معلم و فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگي مقاله اي درباره مقاطع مخروطي نوشت و در هجده يا نوزده سالگي، اولين ماشين حساب مكانيكي را اختراع كرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگي، به دليل افراط و تفريطهاي مذهبي، جسم ضعيف خود را بارها و بارها آزرد و چندين بار از رياضيات دست كشيد و دوباره به آن بازگشت. پاسكال را به عنوان يكي از بزرگترين «چه ها كه مي شد!!» در تاريخ رياضيات شمرده اند. بعضي از كارهاي او عبارتند از:
- تاليف مقاله مهمي درباره خواص اصلي مثلث خيام-پاسكال كه در آن به طور جالبي از قديمي
ترين احكام قابل قبول استقراي رياضي استفاده شده است.
- كشف و اثبات قضيه مشهور «هگزاگرام رمزي» كه درباره يك ۶ ضلعي محاط در يك مقطع
مخروطي است.
- پي ريزي علم احتمال به همراه «فرما» (رياضيدان بزرگ فرانسوي). اين علم به وسيله مكاتباتي
بين پاسكال و فرما در تلاش براي حل «مساله امتيازها» در يك بازي شانسي به وجود آمد.
- اثري درباره منحني سيكلوئيد. اين منحني توسط نقطه اي واقع بر محيط يك دايره، هنگامي كه
دايره در امتداد خط مستقيمي بدون اصطكاك مي غلطد، رسم مي شود. اين منحني دهها
خواص جالب و بسيار زيبا دارد و اختلافات بسياري بين رياضيدانان ايجاد كرد به طوري كه به آن
«سيب نفاق» گفتند (اين نام بر اساس يك افسانه يوناني انتخاب شده است، براي مطالعه آن
به پاورقي صفحه ۲۷ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز مراجعه فرماييد). جالب است
كه از دوران اين منحني حول محور طولها، چيزي شبيه به سيب ايجاد مي شود.
3. دكارت: دكارت را معمولاْ مبدع هندسه تحليلي مي دانند كه از روشهاي جبري براي حل مسائل هندسي استفاده مي كرد. اين كار كمك بسياري در ساده سازي مفاهيم هندسي و حل مطالب غامض و پيچيده آن كرد. او همچنين به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زيبايي را به نام «قاعده علامات دكارت» براي تعيين تعداد ريشه هاي مثبت و منفي يك چند جمله اي به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۷۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). او براي اولين بار از روش ضرايب نامعين استفاده كرد كه همان متحد قرار دادن دو چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرايب نامعين است. البته دكارت در جهان بيرون از رياضيات، فيلسوف بسيار مشهوري است و مطالب بسياري را به جهان فلسفه تقديم كرده است كه البته بعضي از آنها كاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهاي جالبي درباره چگونگي كشف هندسه تحليلي به او نسبت مي دهند كه ارزش آموزشي زيادي دارد (مراجعه كنيد به صفحه ۵۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).
4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه مي دانند. او حقوقدان بود و شغل رسميش وكالت بود، اما قسمت مهمي از ساعات فراغت خود را وقف رياضيات مي كرد. او در بسياري از شاخه هاي رياضيات كارهاي مهم و اساسي انجام داده است كه مهمترين اين كارها عبارتند از:
- تحقيقات اساسي پيرامون هندسه تحليلي. فرما را بايد در كنار دكارت يكي از موسسان
هندسه تحليلي ناميد. معمولاْ گفته مي شود كه كارهاي فرما عكس كارهاي دكارت بوده است.
دكارت از مكان هندسي شروع مي كرد و به معادله آن مي رسيد، اما فرما از معادله شروع و
سپس مكان هندسي آن را مطالعه مي كرده است.
- تاسيس نظريه نوين اعداد. فرما شهود و توانايي خارق العاده اي در نظريه اعداد داشت. قضاياي
بسياري را در اين زمينه با اثبات يا بدون اثبات بيان كرد كه بعدها درست بودن اغلب قضاياي ثابت
نشده او به ثبوت رسيد(مراجعه كنيد به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د.
ايوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرين دهه قرن بيستم به اثبات رسيد!
- فرما به همراه پاسكال اساس علم احتمال را پي ريزي كرد.
- فرما در حساب ديفرانسيل نيز كارهاي اساسي كرد. او ظاهراْ اولين كسي بود كه از طريق
معادله f'(x)=0 نقاط ماكزيمم و مي نيمم يك تابع را به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳
جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). همچنين او يك روش كلي براي يافتن مماس بر
نقطه اي از يك منحني كه مختصات دكارتي آن معلوم باشد، ابداع كرد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳

جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).
5. رياضيدانان معروف قرن ۱۷ كه قبل و يا همزمان با نيوتن مي زيستند و در شكل گيري و پيشرفت
حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش بسزايي داشتند: (۱) سيمون استوين (۲) لوكا والريو (اين دو همان روشي را به كار بردند كه ما براي پيدا كردن حجم يك جسم در حساب انتگرال به كار مي بريم.) (۳) كاواليري (۴) فرما (۵) جان واليس (نماد معروف بي نهايت را نيز به او مديونيم.) (۶) آيزاك برو (كه احتمالاْ قضيه اساسي حسابان را اولين بار او ثابت كرد.)
6. نيوتن: صحبت كردن پيرامون نيوتن و كارهاي او ساده نيست. رياضيدان و فيزيكداني كه به گفته لاگرانژ بزرگترين نابغه اي است كه در جهان زيسته است. همچنين «لايبنيتز» رقيب سرسخت او در ستايشي بزرگ منشانه، نيمي از كارهاي انجام شده رياضي بشر تا عهد نيوتن را متعلق به نيوتن مي داند. انساني كه در ۲۳ سالگي به درجه اي رسيد كه مي توانست مماس و شعاع انحنا در يك نقطه از منحني را پيدا كند. روشي كه امروزه تحت عنوان حساب ديفرانسيل شناخته مي شود. در ۲۷ سالگي به استادي دانشگاه برگزيده شد و حدود ۶۵ سال در رياضيات و فيزيك كار كرد. پاپ دستاوردهاي نيوتن را بدين صورت بيان كرده است: «طبيعت و قوانين طبيعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نيوتن به وجود آيد و همه چيز روشن شد.» البته نيوتن نيز خاضعانه در مقابل ستايشها مي گفت كه من همچون كودكي در حال بازي در كنار دريا هستم كه گاهي صدفهاي زيبايي توجهم را جلب مي كند اما اقيانوسي از حقايق كشف ناشده در مقابلم قرار دارد. يكبار هم گفت كه اگر افق ديد او گسترده تر از ديگران است بدين علت است كه بر دوش غولان ايستاده است و شايد منظور او از غولان، ارشميدس و امثال او باشند. كارهاي رياضي او به طور خلاصه به شرح زير است:
- تاليف كتاب« اصول رياضي فلسفه طبيعي» كه با اصرار «هالي» ستاره شناس معروف و با هزينه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. اين كتاب به مطالعه دستگاه ديناميكي پديده هاي زميني و سماوي مي پردازد و يك صورت بندي رياضي از اين پديده هاست. اين كتاب پرنفوذ ترين اثر در تاريخ علم به حساب مي آيد و تاثير بسياري بر دنياي جديد داشت. تاريخ رياضيات ابتدايي اساساْ با آن پايان مي يابد.
- بسط روش بي نهايت كوچكها يا همان حساب ديفرانسيل و نيز روشهاي مربوط به سريهاي نامتناهي
- بسط روشهاي مربوط به ماكزيمم و مي نيمم توابع، مماس بر منحني ها، انحناي منحني ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحني ها، محاسبه مساحتهاي زير منحني ها و طول قوس آنها
- ارائه روشي براي تقريب زدن مقادير ريشه هاي حقيقي يك معادله جبري يا غير جبري و نيز روشهاي زيبايي براي مطالعه منحني هاي درجه سوم
7. لايبنيتز: اين نابغه جامع رياضيات، فلسفه، الاهيات و حقوق، رقيب جدي نيوتن در ابداع حسابان بود. عقيده رايج امروز اين است كه نيوتن و لايبنيتز، حسابان را مستقل از يكديگر كشف كردند، اما لايبنيتز نتايج را زودتر انتشار داد، هر چند كه كشف نيوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بين اين دو بر سر تقدم در كشف حسابان در گرفت و هر كدام خود را موسس حساب ديفرانسيل و انتگرال مي دانست. هر دو نيز در اين مناقشه زيان ديدند، به ويژه نيوتن و رياضيدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذكر شود كه لايبنيتز را بزرگترين نابغه جامع قرن هفدهم مي نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاريخ رياضيات است كه هم در رياضيات پيوسته و هم در رياضيات گسسته داراي انديشه اي عالي بوده است. بد نيست بدانيم كه لايبنيتز در واقع يك سياستمدار و يك ديپلمات بود كه براي انجام كارهاي سياسي به كشورهاي ديگر سفر مي كرد. كارهاي او در رياضيات به طور خلاصه عبارتند از:
- ارائه قسمت مهمي از نمادهاي كنوني ما در حساب ديفرانسيل و انتگرال از قبيل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال كه از S كشيده Summa -يك كلمه لاتين به معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اكنون از نمادهاي نيوتن آنچنان استفاده نمي شود.
- استخراج بسياري از قواعد مقدماتي مشتق گيري كه معمولاْ در ابتداي درس مشتق در سطوح مختلف دبيرستاني و دانشگاهي آموزش داده ميشود. قاعده يافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لايبنيتز مي ناميم (مراجعه كنيد به صفحه ۱۱۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).
- تلاش براي پايه گذاري نظريه پوشها و تعريف دايره بوسان براي اولين بار
- ارائه اولين ايده ها در منطق رياضي و نظريه مجموعه ها. او مجموعه تهي و احتواي مجموعه ها را نيز مطالعه كرده است و متوجه شباهتهاي نظريه مجموعه ها و منطق رياضي شده است (به طور مثال شباهت قوانين دمرگان در نظريه مجموعه ها و منطق).
- لايبنيتز احتمالا جزو اولين رياضيداناني است كه نظريه قدرتمند دترمينانها را براي حل دستگاه معادلات خطي پديد آورده اند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:28 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1111111110/40411.jpg انرژی در جهان امروز یك عامل راهبردی است و اغلب كشورهای جهان به خصوص آنها كه به دنبال اعمال اراده و قدرت خود بر دیگر كشورها می باشند از همین دریچه به مقوله انرژی می نگرند. همان طوری كه این نگاه را می توانیم از زمانهای گذشته؛ یعنی دوران استعمار كهنه تا به امروز دنبال كنیم. در این میان ایران علاوه بر اینكه دارای ذخایر ویژه و عمده ای از منابع انرژی به خصوص نفت و گاز می باشد، در منطقه ای از جهان واقع است كه یكی از اصلی ترین منابع انرژی به شمار می رود. بنابراین با توجه به اینكه مقوله انرژی برای كشورهای سلطه طلب به مانند موتور محركه اقتصاد و تولید ملی و تعیین كننده جایگاه آنها در نظام سرمایه داری جهان و همچنین تضمین كننده منافع و امنیت ملی آنهاست، كشور ما نیز با ساماندهی به سیاستهای بخش انرژی می تواند در فرایند تحولات سیاسی، اجتماعی و اقتصاد نقش كلیدی داشته باشد، لذا ضروری است كه برای انرژی و به خصوص نفت و گاز و به دنبال آنها انرژی هسته ای، برنامه و استراتژی اندیشیده و متناسب با شرایط واقعی موجود داخلی و جهان برای آن برنامه داشته باشیم. با توجه به این موضوع باید گفت كه كشورهای جهان به مصرف انرژی عادت كرده و تولید انرژی و ساخت نیروگاه اتمی به عنوان تنها راه خروج از بحران انرژی در دهه های آینده است. در این بین از آنجا كه ساخت یك نیروگاه اتمی اغلب علوم و فنونی را نیاز دارد، لذا این كاربری به مفهوم توسعه و پیشرفت در همه علوم و فنون است. از طرفی هم می توان ادعا كرد كه نیروگاه برق اتمی، اقتصادی ترین نیروگاهی است كه امروز در دنیا احداث می شود. دلایل دیگری هم برای استفاده از نیروگاه اتمی برای تولید برق وجود دارد كه از مهمترین آنها می توان به پاكیزه بودن این روش، تولید نشدن گاز گلخانه ای و دیگر آلاینده های زیست محیطی اشاره كرد. سوختهای فسیلی مانند زغال سنگ مقدار قابل توجهی از انواع آلاینده ها همانند تركیبات كربن و گوگرد را وارد محیط زیست می كند كه برای سلامت انسان زیانبار است. از سوی دیگر با توجه به افزایش مصرف برق و پایان پذیر بودن منابع سوخت فسیلی به نظر می رسد استفاده از انرژی هسته ای بهترین گزینه موجود باشد. شاید هنوز افرادی هستند كه ادعا می كنند با توجه به ذخایر نفت و گاز ایران، آیا نیازی به انرژی هسته ای وجود دارد؟ پاسخ به این سؤال مستلزم مطالعه دقیق علمی است و این گونه نیست كه براساس برداشتهای عمومی و محدود گفته شود، مثلاًً ما كه در دریای گاز قرار گرفته ایم، چرا سراغ انرژی اتمی برویم؟ موضوع به این سادگی نیست. بر همین اساس هیچ كشوری سعی نمی كند از لحاظ استراتژیك، انرژی مورد نیازش را فقط از یك منبع تأمین كند، ولو آن كه در آن كشور به فراوانی یافت شود. مثلاً اگر در كشوری منابع آبی زیاد است، به این سمت نمی رود كه انرژی برق خودش را فقط از آب تأمین كند، اما اینكه باید چه سهمی به انرژی های دیگر اختصاص داد، نیاز به محاسباتی دارد كه باید انجام شود.

منبع: روزنامه قدس

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:29 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/10/60127.jpg معرفي رشته
با اعطاي جايزه‌ي نوبل اقتصاد درسال 1990 ميلادي به سه رياضي‌دان ،چشم‌انداز نويني در مقابل چشمان پژوهشگران گشوده شد وعملا شاخه‌ي جديد از علوم متولد شد:
نظريه‌ي ماليه « the theory of finance »
اين نظريه تلاش مي‌كند سازوكار حاكم بر بازار مالي و چگونگي كار‌آمد‌تر كردن آن را بررسي و مطالعه كند. اين رشته‌ي نو‌ظهوراصولي را كه بر بازارهاي مالي حكم‌فرماست توضيح مي‌‌دهد و آن‌ها را روزآمد مي‌كند ودراين راستا بيش از هرچيز ازرياضيات بهره مي‌گيرد. تعامل اين دو رشته(رياضيات ونظريه‌ي ماليه) تا بدان‌جا پيش رفته است كه مسائل مالي اكنون در زمره‌ي پژوهش‌هاي راه‌بردي در رياضيات است.
رياضيات مالي در مرز مشترك دانش‌هايي نظير رياضيات،آمار،اقتصاد،علوم رايانه ،وحتي فيزيك با سرعتي فزاينده در حال پيش‌روي است.اين رشته رابطه‌ي نزديكي با رشته‌ي اقتصاد مالي دارد .در اقتصاد مالي بيشتر مباحث تئوري مطرح است در حالي‌كه در اين رشته به مدل‌هاي رياضي وعددي در تجربه‌هاي عملي توجه مي‌شود. مثلا در حالي‌كه يك اقتصاددان مالي دلايل زير‌ساختي اين موضوع را كه چرا قيمت سهام شركتي مقداري مشخص است بررسي مي‌كند، رياضي‌دان مالي قيمت سهام مذكور را همان‌طور كه هست مي‌پذيرد و سپس تلاش مي‌كند به كمك محاسبات فرايندهاي تصادفي ارزش متعارفي ازموجودي‌هاي مشتقه بدست ‌آورد.

تعامل با ساير رشته‌ها
رياضيات مالي بر حسب كاربرد با رشته‌هايي نظير مهندسي مالي ومحاسبات مالي هم‌پوشاني مي‌كند. دو رشته‌ي اخير بر كاربرد تمركز بيشتري دارند در حالي‌كه رياضيات مالي به مدل‌سازي و حل معادلات ديفرانسيل با مشتق جزئي مي‌پردازد.

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/10/601271.jpg
بازار كار مربوط به رشته
بانك‌هاي سرمايه‌گذاري،بانك‌هاي تجاري،شركت‌هاي بيمه،شركت‌هاي خزانه‌داري و... از دستاورد‌هاي علمي اين رشته بيش‌ترين استفاده را مي‌برند.
در اين رشته دو رويکرد اساسي وجود دارد: (1)معادلات ديفرانسيل جزئي (2)احتمال و فرايندهاي تصادفي
اين دو رويكرد مستقل، هردو، مجموعه‌اي از تكنيك‌هاي رياضي هستند كه كاربرد‌هاي متعددي در سرمايه‌گذاري مي‌يابند: ارزش‌گذاري دارايي، مديريت ريسك ومقابله با ريسك، بهينه سازي سهام، مديريت سرمايه‌گذاري در موقعيت‌هاي پيچيده‌ي اقتصادي و....ازجمله‌ي اين كاربردها هستند.

رياضيات مالي به عنوان يك رشته‌ي دانشگاهي
دوره‌ي تحصيلات دانش‌گاهي مشتمل بر واحدهايي هم‌چون تحليل ريسك و روي‌دادهاي بعيد، نرخ بهره، فرايند معاملات ارزي خارجي، عوارض تورم، گزينش حقيقي، تقسيم انرژي، كنترل و بهينه سازي تصادفي،وساير مباحث رياضي مربوط به مدل‌سازي مسائل مالي مي‌باشد.
باتوجه به نياز فزاينده‌ي جوامع به افراد كارآزموده وكلان‌نگر در حوزه‌هاي اقتصادي ،هم اكنون دانشگاه‌هاي متعددي در سراسر جهان در اين رشته دانشجو مي‌پذيرند.

تاريخچه‌ي كوتاهي بر رياضيات مالي
1900 باچي لاير« Bachelire » ازمعادلات حركت براوني براي فرآيند بنيادين استنتاج گزينش قيمت‌ها استفاده كرد.
1973 بلك «Black» وشولز«Scholes» فرمول قيمت‌گذاري انتخاب خود را كه مبتني برحل معادلات مشتق جزئي (PDE)بود منتشر كردند.
1980 هريسن «Harrison» و كريپس «Krips» روي‌كرد شرط بندي رادر سرمايه‌گذاري معرفي كردند.
1990 مارك‌ويتز«Harry Markwitz»، شارپ«Wililiam Sharpe» ، وميلر«MertonMiller » ،سه نظريه پرداز مشهور رياضيات مالي ، جايزه‌ي نوبل اقتصاد را دريافت كردند.
از1990 به بعد رياضيات مالي كه حاصل امتزاج اقتصاد ورياضيات بود به عنوان يك رشته‌ي مستقل دانشگاهي به حيات خود ادامه مي‌دهد.



منبع : دانشنامه رشد

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:29 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250228.jpg
دید کلی
شاید مهمترین نکته در مطالعه توزیع یک نمونه از اندازه‌ها ، تعیین یک مقدار مرکزی باشد، یعنی ، یک مقدار نماینده که اندازه‌ها در اطراف آن توزیع شده‌اند. هر معیار عددی را که معرف مرکز مجموعه داده‌ها باشد، معیار گرایش به مرکز می‌نامند. دو تا از متداولترین معیارهای گرایش به مرکز عبارتند از : میانگین و میانه.

تعریف میانگین
میانگین یا متوسط نمونه ای مرکب از n اندازه x1، x2 ، ... ، xn ، عبارت است از خارج قسمت مجموع این اندازه ها بر n، میانگین را با نشان می دهند که در عملیات، به صورت زیر نوشته می شود:
x´ = ∑ xi/n (به ازای i=0 تا n)
همان طوریکه از مفهوم "متوسط" بر می‌آید، میانگین ، مرکز مجموعه داده‌ها را نمایش می‌دهد. اگر نمودار نقطه‌ای مجموعه داده‌ها را این طور تجسم کنیم که روی میلاه افقی نازکی ، گویهای هم اندازه‌ای در محل داده‌ها قرار دارند، آنگاه ، میانگین نشان دهنده نقطه‌ای است که این میله در آن نقطه به حال تعادل در می‌آید.

تعریف میانه نمونه‌ای
میانه نمونه‌ای مرکب از n اندازه x1، x2 ، ... ، xn ، عبارت است از اندازه وسطی ، در صورتی که اندازه‌ها را به ترتیب از کوچکترین به بزرگترین مقدار مرتب کرده باشیم. اگر n فردی باشد، یک مقدار وسطی منحصر به فرد وجود دارد که میانه است. اگر n زوج باشد در مقدار وسطی وجود دارند که متوسط آنها به عنوان میانه تعریف می‌شود. اجمالا می‌توان گفت که ، میانه مقداری است که دسته داده‌ها را به دو نیمه مساوی تقسیم می‌کند. به عبارت دیگر ، 50% داده‌ها در زیر میانه و 50% در بالای میانه قرار می‌گیرند.

موارد استفاده از میانه و میانگین
وجود معدودی مشاهده خیلی برزرگ یا خیلی کوچک ، در میانه تاثیر ندارد، در حالی که وجود اینگونه مقادیر فرین در میانگین اثر قابل ملاحظه‌ای دارد. به نظر می‌رسد برای توزیعهایی که خیلی نامتقارن هستند، میانه معیار معقولتری از گرایش به مرکز است تا میانگین. به این دلیل در گزارشهای دولتی راجع به توزیع درآمد، به جای میانگین ، میانه درآمدها را ذکر می‌کنند. وقتی توزیع خیلی نامتقارن نیست، میانگین به میانه ترجیح داده می‌شود و خیلی بیشتر از میانه بکار می‌رود، زیرا در روشهای استنباطی ، میانگین از لحاظ نظری دارای امتیازاتی است که میانه فاقد آنهاست.

مفهوم چارک و صدک
اگر تعداد مشاهدات خیلی زیاد باشد (مثلا بیشتر از 25 یا 30) ، گاهی مفید است که مفهوم میانه را تعمیم دهیم و مجموعه داده‌های مرتب شده را به چهار قسمت تقسیم کنیم. درست همان طور که نقطه تقسیم داده‌ها به دو نیمه ، میانه خوانده شده نقاط تقسیم داده‌ها ، به چهار قسمت را چارک می‌نامند. بنابراین به جای این که بحث را محدود به تقسیم چهار قسمتی کنیم، داده‌ها را به قسمتهای زیادتری تقسیم ، و صدک را تعریف می‌کنیم.

صدک
صدک (100P) ام نمونه، مقداری است که وقتی داده ها از کوچکتذرین تا بزرگترین مقدار مرتب شدند، حداقل 100P% از مشاهدات منطبق بر این مقدار یا در سمت چپ (زیر) آن و حداقل 100P% از مشاهدات منطبق بر این مقدار یا در سمت راست (بالای) آن باشند.

چارکهای نمونه
• چارک (اول) کوچکتر صدک 25 ام = Q1
• چارک (دوم) میانه صدک 50 ام = Q2
• چارک (سوم) بالایی صدک 75 ام = Q3

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:30 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250204.jpg


حساب یا حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.
تاریخچه
حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای براورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علمرا میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250204%20%281%29.jpg
قانون اول کپلر
1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است
.2خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250204%20%282%29.jpg
قانون دوم کپلر
3-.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.
چه کسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را ابداع کرد؟
گفته می شود که نیوتن و لایبنیتس مخترعین حساب دیفرانسیل و انتگرال بوده اند. اما بر اساس اطلاعات موجود در رابطه با مشتق و انتگرال و به طور خاص قضیه ی بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال . این سوال مطرح است که چرا این دو ریاضیدان بزرگ به عنوان بنیانگذاران این شاخه از دانش بشری مشهور شده اند. در حالی که خیلی قبل از انها .نحوه ی محاسبه ی مماس بر منحنی ها رایج بوده است . علاوه بر ان. با استفاده از مماس های افقی روشی برای تعیین ماکسیمم و مینیمم منحنی ها وجود داشته است. وقتی سخن از مساحت به میان می اید. حتی ارشمیدس هم قادر بوده مساحت ناحیه هایی که با منحنی هایی خاص محصور می شده اند را حساب کند. مثلا او برای محاسبه ی مساحت دایره. مساحت چندضلعی های منتظم محاط در دایره را به دست می اورده و برای دقت بیشتر تعداد اضلاع را بیشتر می کرده است.
به هر حال در اوایل قرن هفدهم . بیشکسوتان ریاضی روشهای بیشرفته تری را برای اندازه گیری مساحت ها و محاسبه ی ان چه به انتگرال معروف است و در دست داشتند .حتی تاریخچه ی قضیه ی بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز به قبل از زمان لایبنیتس و نیوتن می رسد . بارو معلم نیوتن در کمبریج. بدون اطلاع از مفهوم دقیق مشتق و انتگرال . یک معادل هندسی قضیه ی بنیادی را بیان واثبات کرده است .
ان چه که باعث شده این دو نفر را به عنوان بایه گذاران این علم بشناسند درک ان ها از نیاز بشر به وجود یک روش سیستماتیک برای مشتق گیری و انتگرال گیری و نیز به کار گیری علامات رایج و بیان استدلال های منطقی به جای اثبات های شهو دی است.

قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال
امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

بزرگان این علم
این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.» حسابیا حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:30 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251.jpg





http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251%20%281%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251%20%282%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251%20%283%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251%20%284%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250251%20%285%29.jpg

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:31 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250200.jpg تئوری اعداد number theory شاخه ای از ریاضیات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد.

تئوری مقدماتی اعداد
اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیک های ریاضی به کار رفته در سایر شاخه ها بررسی می کند . مسائل بخش‌پذیری divisibility ، الگوریتم اقلیدسی Euclidean algorithm ، محاسبه ی بزرگترین مقسوم الیه مشترک greatest common divisors ، تجزیه ی اعداد به اعداد اول prime numbers ، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی ها congruences در این رده هستند . نمونه ها قضیه ی کوچک فرما Fermat’s little theorem ، و قضیه ی اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضیه ی باقیمانده ی چینی Chinese remainder theorem و قانون تقابل درجه ی دوم quadratic reciprocity هستند . خواص توابع ضربی multiplicative functions مانند تابع موبیوس Mobius function و تابع اولر Euler's φ function و همینطور دنباله ی اعداد صحیح integer sequences مانند فاکتوریل هاfactorials و اعداد فیبوناچی Fibonacci numbers در همین حوزه بررسی میشوند . بسیاری از سؤالات در تئوری مقدماتی اعداد شدیداً عمیق هستند و نیاز به بازنگری هایی دارند . به عنوان نمونه :

انگاره‌ی گلدباخ Goldbach conjecture
که می‌گوید آیا هر عدد زوجی حاصل‌جمع دو عدد اول است یا نه.
انگاره‌ی کاتالان Catalan’s conjecture که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است .
انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture که در مورد بینهایت بودن اعداد اول دوقلو است.
انگاره‌ی کولاتز Collatz conjecture که در مورد تکرار ساده می‌باشد .
معادلات دیوفانتیDiophantine نیز هنوز تصمیم ناپذیر است.

تئوری تحلیلی اعداد Analytic number theory
از حسابان calculus و آنالیز مختلط complex analysis برای مطالعه‌ی اعداد صحیح استفاه می کند و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند که در تئوری مقدماتی اعداد بررسی و بحث در مورد آن بسیار دشوار به نظر می‌رسد . قضیه‌ی اعداد اول prime number theorem و فرضیه ریمان Riemann hypothesis مثال هایی از آن هستند . مساله ی وارینگ Warning’s problem ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ،انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture(که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخ Gold batch’s conjectureکه عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالی بودن transcendence ثابت های ریاضی ، مانند e و پی در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e و پی به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine approximation ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا rational تقریب زد ؟

تئوری جبری اعداد
مفهوم عدد را به اعداد جبری algebraic numbers که همان ریشه های چند جمله ایها با ضرایب گویا rational coefficient هستند گسترش می‌دهد.در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام اعداد صحیح جبری algebraic integers وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند تجزیه یکتا the unique factorization) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory ، میدان همانستگی field co homology، تئوری رده ی میدان class field theory ، نمایش گروه ها group
representations و L-تابع‌ها L-functions این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p برای کلیه اعداد اول p مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به میدانهای متناهی finite fields مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization می گویند (که به ساختمان اعداد p ادیک p-adic numbers می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local analysis می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود .

تئوری ترکيباتی اعداد
به بررسی ، مطالعه و حل مساله‌های تئوری اعداد با استفاده از تکنیک‌های ترکیبیاتی می‌پردازد. پل اردوش کارهای بزرگی در این زمینه انجام داد. روش‌های جبری و تحلیلی در این شاخه از تئوری اعداد کاربرد فراوان دارند.

تئوری هندسی اعداد
همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از قضیه ی مینکوسکی Murkowski’s theorem در ارتباط با نقاط مشبکه lattice points در مجموعه های محدب convex sets و جستجو در بسته بندی کره ها sphere packing شروع می شود .هندسه جبری بخصوص خم‌های بیضوی elliptic curves نیز به کار می آیند .این تکنیک‌ها در اثبات آخرین قضیه معروف فرما Fermat’s last theorem تاثیر فراوان داشته اند .
تئوری محاسباتی اعداد computational number theory
به الگوریتم های تئوری اعداد می پردازد والگوریتم های سریع برای امتحان اعداد اول prime testing و تجزیه اعداد صحیح integer factorization در مبحث کریپتوگرافی cryptography کاربرد های مهمی دارند .

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/2502001.jpg
تاریخچه تئوری اعداد
بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، باشه دو مزیریاک Bache de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولر Euler و لاگرانژ Lagrange به قضیه پرداختند و در همین مواقع لژاندر Legendry و گاوس Gauss به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitions Arithmetic حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .
چبیشف Chebyshev کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند. قضیه ی عدد اول( prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صریح تئوری اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت . تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :
mod(c)
چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serrate آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر قانون تقابل درجه ی دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت . این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لژاندر در تئوری اعداد Theories des Numbers برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریکله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie او یک مقاله ی کلاسیک است) ؛ ژاکوبی Jacobi که علامت ژاکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد ؛ لیوویلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می شود. نمایش اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است . کوشی ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاین Eisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و تئوری فرمها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد .
دیریشله اولین کسی بود که در یک دانشگاه آلمانی در این مورد سخنرانی کرد .او در مورد بسط قضیه اولرکه می گوید:
که اولر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که z5 y5 x5 +. :
بین نویسندگان فرانسوی بورل Borel و پوانکاره Poincare ذهن قوی داشتند و تانریTannery و استیلجز Stieltjes . کرونکر ، کومر ، شرینگ Schering ، باخمن Bachmann و ددکیند Dedekind آلمانی های پیشتاز هستند . در اتریش مقاله ی استلز Stolz’s vorlesungen uber allgemeine Arithmetik (1885-86 ) و در انگلستان تئوری اعداد ماتیوMathew ( قسمت اول ، 1892 ) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند . جنوچیGenocchi ، سیلوستر Sylvester ، و جی. گلیشرJ.W.L. Glaisher به این تئوری چیزهایی افزوده اند

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:31 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250259.jpg آنچه كه تناقض آميز، باورنکردني ياخلاف انتظارو(شهود)ماست.

فايده پارادوکسها
۱)ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛
۲)تعميق بينش؛
۳)تعميم شيوه هاي استدلال؛
۴)افزايش دقت؛
۵)وضع قوانين زبان شناختي جديد.
بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم!درمنطق پيراسازگار (Para consistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک ، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.

پارادوکس روز تولد
اگر ۲۳ نفر در اين سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰%است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود %05/. و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.

پاردوكسهاي زنون Zeno’s Paradoxes
در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم. براي اين كه ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از نقطة A حركت كرد. A---D---C-------B
در مسابقه ” دو“ بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد. A------------T------

پارادوكس لامپ تامسون (Thompson Lamp Paradox )
لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن می‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟

پارادوكس دار غيرمنتظره ( Unexpected Hanging Paradox )
به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.

پارادوكس توده ( Sorties Paradox )
يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي شود.

پارادوكس ريچارد (Jules Richard's Paradoxes)
آيا ” كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد“ وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ” و “ قرار دارد كمتر ار صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!

پارادوکس خداوند قادر مطلق
آيا خداوند مي تواند سنگي بسازد که نتواند بلند کند؟

پارادوكس اژدها
چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم ” اژدهاي هفت سر وجود ندارد.“

پارادوكس تخته سياه
تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد ۱، ۲، ۳، جملة ” كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. “ نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد ۴ روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين ۴ است.

پارادوكس بوچوفسكي ( Buchowski Paradox )
فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل، راست است:
” برادر جوانترم از من مسن تر است“
پارادوكس دروغگو( Liar's Paradox) يا پارادوكس ائوبوليدس (Eubulides' Paradox )
مي گويند روزي ائوبوليدس، متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميلاد، گفت: ” چيزي كه آلان مي گويم دروغ است“. اگر گفتة او درست باشد، آنگاه بنا به آنچه گفته است، بايد گفته اش دروغ باشد، واگر گفتة او دروغ باشد، دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است.

پارادوكس دور
اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است:
جملة P اين است: ”q دروغ است.“
جملة q اين است: “ P راست است. “
نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي ”راست“، ” دروغ “ و ” نه راست ـ نه دروغ “ را داشته باشند آنگاه گزارةP به صورت “ P دروغ يا نه راست ـ نه دروغ است“ نمي تواند هيچيك از ارزشهاي ” راست “ ، ” دروغ “ و ” نه راست – نه دروغ“ را به خود بگيرد.

پارادوكس تابلو
اين پارادوكس در ۱۹۱۳ توسط رياضيدان انگليسي جردن (P. E. B. Jordan) ارائه شد: تابلوئي داريم كه در يك طرف آن ”جمله پشت اين تابلو راست است.“ و در طرف ديگر آن ”جمله پشت اين تابلو دروغ است.“ نوشته شده است!

پارادوكس سقراط ( Socrates Paradox )
نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است:” چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم “.

پارادوكس جزيرة وحشي
عده اي در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا، خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند، به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند، اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند. روزي شخصي وارد جزيره شد. او را گرفتند و از او پرسيدند” سرنوشت تو چه خواهد بود؟“ آن شخص جواب داد ” شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد.“ با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ!

پارادوكس آرايشگر ( Barber Paradox) يا پارادوکس راسل (Russell’s Paradox )
در دهكده اي فقط يك آرايشگر وجود دارد. او فقط ريش كساني را مي تراشد كه ريش خود را نمي تراشند. سوال اين است كه ريش خود ريش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اگر او ريش خود را نتراشد، بايد نزد ريش تراش يعني خودش، برود تا ريشش را بتراشد و اگر ريش خود را بتراشد، نبايد توسط ريش تراش يعني خودش، ريشش تراشيده شود.

پارادوكس فهرست ( Catalogue Paradox )
كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند. آيا فهرست اين كتابدار، نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟

پارادوكس خود نا توصيف ( Hierological Paradox )
خود ناتوصيف، كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة "خود ناتوصيف" خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد.

پارادوكس اسمارانداچ (Smarandache Paradox )
فرض كنيد A يكي از عبارات ممكن، كامل و . . . باشد. در اين صورت ” همه چيز A است“ ايجاب مي كند که “~A نيز A باشد”. مثلاً ‌وقتي مي گوييم ” همه چيز ممكن است“ ، نتيجه مي شود كه ” غير ممكن نيز ممكن است“ ، يا از ” هيچ چيز كامل نيست “ اين كه ” كامل نيز كامل نيست “ مستفاد مي شود.

پارادوكس كانتور( Cantor's Paradox )
فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد، پسP(A)=A و لذا card(P(A))=card(A) از طرفي بنا به قضية کانتور card(P(A))<(CARD(Aو اين تناقض است.

پارادوکس نيوکام
فرض کنيد دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A شامل ۱۰۰۰ دلار و B شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه B را انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد، پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه ‌‌ B ، ۱۰۰۰۰۰۰د اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه A وB را انتخاب کنيد.
سوال: اگر شما به انتخاب فقط B تمايل داشته باشيد، مي توانيد A را نيز انتخاب کنيد؟

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:32 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250255.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250255%20%281%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250255%20%282%29.jpg

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250255%20%283%29.jpg

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:32 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250206.jpg عمده ی پیشرفتی که از قرن 17 میلادی در ریاضیات صورت گرفت ، در حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که به خواص عدد حقیقی و تابع‌های از این مجموعه بود. مطالعه‌ی این مجموعه‌های ناشمارا منجر به بوجود آمدن مفاهیم پیوستگی و مشتق گردید و به این دلیل این ریاضیات را ریاضیات پیوسته می‌خوانند. اما در مقابل این گونه ریاضیات مفاهیم دیگری در ریاضیات وجود دارند که روی مجموعه‌های متناهی و شمارا قابل تعریف‌اند.به مجموعه‌ی این مفاهیم ریاضی ، ریاضیات گسسته گویند. ریاضیات گسسته در سال‌های اخیر و بدلیل پیشرفت دانش کامپیوتر بیشترین رشد خود را در تاریخ ریاضیات داشته است.

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/2502061.jpg
نظریه گراف
نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات است که درباره اشیاء خاصی در ریاضی به نام گراف بحث می‌کند. به صورت شهودی گراف نمودار یا دیاگرامی است شامل تعدادی رأس که با یالهایی به هم وصل شده‌اند. تعریف دقیق‌تر گراف به این صورت است که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم مربوط شده‌اند. یالها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند که هر کدام در جای خود کاربردهای بسیاری دارد. مثلا اگر صرفا اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آژادراه- مد نظر شما باشد کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده و اتوبان مزبور را با یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید. آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اویلر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی این نظریه عمدتاً مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم داده‌ورزی (انفورماتیک) بوده است. مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتمهای‌ مناسب مانند الگوریتم دایسترا یا الگوریتم کروسکال و ... را بر روی آن اعمال نمود. یکی از قسمت‌های پركاربرد نظریهٔ گراف، گراف‌های مسطح یا هامنی است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد كه می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه كشید كه یال‌ها جز در محل راس ها یكدیگر را قطع نكنند. این نوع گراف در ساخت جاده ها و حل مساله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می رود. نظریه گراف یکی از پر کاربردترین نظریه ها در شاخه های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستانشناسی(کشف محدوده یک تمدن) و ... است.

نظریهٔ مجموعه‌ها
شالودهٔ بنیادین و سنگ اساسی بنای ریاضیات جدید است. تعریف‌های دقیق جمیع مفاهیم ریاضی، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. گذشته از این روشهای استنتاج ریاضی، با استفاده از ترکیبی از استدلالهای منطقی و مجموعه- نظری تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

تاریخچه
نظریه مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم به طور عمده توسط جرج کانتور بنیان گذاشته شد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد. اما این نظریه در توسعه بعدی‌اش، تقریباً در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ کرد و تأثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید و ریاضیدانان سعی کردند مفاهیم ریاضی را بر اساس نظریه مجموعه‌ها تعریف کنند. به عنوان مثال می‌توان از تعریف اعداد طبیعی توسط پئانو اشاره کرد. همچنین توسعه بعضی از نظامهای ریاضی، از قبیل توپولوژی، اساساً به ابزار نظریه مجموعه‌ها وابسته است. از اینها مهم‌تر، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.
هنگامی که می‌خواهیم با مجموعه‌ای آشنا شویم می‌توانیم آنها را به سه صورت مورد بررسی قرار دهیم. مطالعه مجموعه‌ها به طور کلی نياز به آشنایی عمومی با آنها دارد که هر کس که می‌خواهد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند.

نظریه طبیعی مجموعه‌ها
مطالعه مجموعه‌ها به صورتی طبیعی به عنوان نظریه طبیعی مجموعه‌ها یا Naive set theory است و این همان نظریه‌ای است که در آغاز پیدایش نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور مطرح گردید. اما در ادامه این نظریه درگیر اشکالات و پارادکس‌هایی همچون پارادکس راسل شد، و به این ترتیب نیاز به یک تغییر در نظریه مجموعه ها احساس شد و به این ترتیب ریاضیدانانی چون ارنست زرملو سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را در قالب یک دستگاه اصل موضوعی ارایه کنند که منجر به ایجاد نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها انجامید.

نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها
در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها، مجموعه به عنوان یک مفهوم اولیه و تعریف نشده در نظر گرفته شده و با چند اصل موضوع به بررسی خواص مجموعه‌ها پرداخته می‌شود. هدف این نظریه جلوگیری از پارادکس‌های نظریه مجموعه‌ها است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:33 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250258.jpg یکی از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است.
از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد
نوشته‌های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد . در افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرکهای پیدایش شمارش و عدد
به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری ، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنوی قدمهای کهن هم باشد. در زبان و در ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد. روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان ، اسکیموها ، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند. با وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.در این مرحله از تکامل ، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگیها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند. طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.
نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند. او حدود سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهای آمازون ، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند. او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.میکلوخو- ماکلای ، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند. آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقمها نیست.شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای تکامل شمار دانست. مدتها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند. تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی ، گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم. بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید .

اعداد تاکسی
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهير هند رامانوجان به بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كه به وسيله آن به بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است. دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اول هستند. جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است. جمع دو عدد اوليه و دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است. دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲). عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشود به نحوي كه نتيجه تقسيم عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده ۱۷۲۹ يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ ميشود. اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود. عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729مي باشند .(اولين مطلب موجود در رابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز مي گردد.) حال اگر كمي مانند رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عددي بگرديد كه به سه طريق مختلف حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319 مي باشد كه در سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر87539319 است . امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورت حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هر عدد طبيعي n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد ! هرچند، چهارمين تا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي يافتن نهمين عدد تاكسي تاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره اعداد تاكسي موجود نيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش داد . مثلا همانگونه كه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به پاسخگويي نبود ، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق حاصلجمع توانهاي چهارم دو عدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد توسط اويلر يافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:33 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250261.jpg همهي علوم (اعم از عقلي و تجربي و نقلي و شهودي) درباره موجودات خاصي (اشياء انتزاعي، ذهني ، فيزيكي و....) بحث مي كنند. اما قلسفه ، يا در باره کل موجودات و بلکه خود "وجود" بحث ميکند که به آن فلسفه اولي' ميگويند و يا درباره يک حقيقت انتزاعي مثل"دين"، "هنر"،" زبان "علم"،" اخلاق"، و ..... که به آن فلسفه هاي مضاف ميگويند.
همانطورکه گفتيم فلسفه اولي عبارت است از دانش مطالعه و بررسي "هستي" و "شناخت" . "هستي" كلي ترين موضوع ممكن براي مطالعه و بررسي است و بخشي از فلسفه اولي که مشخصا در باب هستي بحث ميکند هستي شناسي نام دارد . هر موضوع ديگري، كه در واقع نوع خاصي از هستي است ، موضوع علوم است نه فلسفه . مثلا "حركت" موضوع علم مكانيك و "عدد" موضوع علم حساب است. اما هر عقيدهاي درباره هستي مبتني بر پيش فرضي است در باب"شناخت" و بر عكس. بنابراين متا فيزيك و معرفت شناسي به عنوان دو بخش عمده ي فلسفه اولي ارتباط وثيقي با هم دارند . فلسفه اولي خواه ناخواه با فلسفه هاي مضاف درگير است. به هر حال اتخاذ هر موضعي در فلسفه دين يا فلسفه علم يا هر فلسفه ديگري مستلزم رد يا قبول يک يا چند فرض اساسي درباره "جهان هستي" و "شناخت انسان" است. لذا بايد توجه داشت که فلسفه اولي در شناسايي وتعيين اين پيش فرضها و مبادي و چهار چوبها نقش تعيين کننده اي دارد.
اگر دين به ما ميگويد به چه چيز معتقد باشيم و چه احساساتي داشته باشيم و چه کارهايي انجام دهيم، فلسفه دين به ما ميگويد که خود اين دين ( اعتقادات و احساسات و اعمال خاص) چيست و تا چه اندازه درست و حتي با معني است.عناصر يک دين چه چيزهايي است وآيا ميتوان اين عناصر را بي طرفانه فهميد و پذيرفت؟آيا پذيرش دين براي زيست اخلاقي ضروري است؟چرا بشر به دين احساس نياز کرده است؟آيا اين نياز هميشگي است؟ پذيرش يا وازنش هر پاسخي به اين پرسشها بيواسطه يا باواسطه به مسائل فلسفه اولي مرتبط ميشود. ربط و نسبت فلسفه اخلاق ، فلسفه هنر و ... نيز با اخلاق، هنر و...از يک سو و فلسفه اولي از سوي ديگر به همين منوال است.
معرفتهاي به دست آمده در برخي از اين فلسفه هاي مضاف را معرفتهاي مرتبه 2 ميگويند؛ زيرا درباره معرفتهاي مرتبه 1 ( معرفتهاي به دست آمده در علوم) بحث ميكنند.مثل فلسفه علوم تجربي، فلسفه منطق، فلسفه رياضي، فلسفه فلسفه و... . يک معرفت مرتبه 1 ، حاوي اطلاعاتي است درباره جهان (ملموس يا انتزاعي) اما معرفت مرتبه 2 اطلاعاتي است درباره اطلاعات مرتبه پايين تر.بحث درباره معرفتهاي مرتبه 1 به خاطر آنستکه ما پيش فرضها و مبادي و چهار چوبهاي آن معرفتها را تحليل کنيم ، تا ببينيم اساسا اين معرفت مرتبه 1 بر چه پايه اي استوار است؟ و چه فرقي با ساير معرفتها و ساير حقائق انتزاعي مثل دين دارد؟ و از اين طريق اطراف و اکناف آن معرفت مرتبه 1 را بشناسيم و در باره آن واجد بصيرتي شويم.
روشن است که اگر يک رياضي خوان در مرحله مهارت باقي بماند رياضيدان نميشود و ما قصد داريم بگوييم که اولا: فهم نسبي و رو به تکامل معرفت رياضي در يک فرد مبتني بر بصيرت نسبي و رو به تکامل اوست؛ و ثانيا اگر کسي حتي واجد معرفت رياضي باشد اما فاقد يک بصيرت کافي باشد هرگز نميتواند مسئله اي جديد بيافريند يا روش و برهاني انقلابي ارائه دهد.
بصيرت رياضي در واقع همان شهود رياضي است. انديشمندان گذشته ما مثل ابن سينا به اين شهود حدس صائب نيز ميگفتند. حدس صائب يعني باور به گزاره صادقي که صدق آن براي شخص بقدري روشن است که در آن هيچ ترديدي ندارد لکن هنوز توجيهي همگاني براي اين باور خود نيافته است. البته حدس صائب مختص در رياضيات نيست و اساسا در هر علم و تکنيکي انسان کم کم به لحاظ هوشي به مرحله اي ميرسد که احساس ميکند اولا مهارتها و معرفتهاي قبلي خود را با کمال وضوح و تمايز درک کرده است و ثانيا ارتباط بين اين دانسته ها را نيز به خوبي ميداند و ثالثا به باورهاي بيسابقهاي ميرسد که صادق و يقيني اند اما هنوز توجيهي همگاني براي آنها نيافته است و رابعا به مهارتها يا معرفتهاي بي سابقه اي دست ميابد.
همانطور که ملاحظه ميشود خلاقيت رياضي در سايه بصيرت رياضي ممکن ميشود و فلسفه رياضي تلاشي است در جهت تقويت اين نوع از شهود و بصيرت. در فلسفه رياضي ما با مرور سرگذشت اين علم و آناليز سوالات بنيادين و حتي بحران آفرين آن سعي ميکنيم که بصيرت رياضيدانان بزرگ را تجربه کنيم و از اين رهگذر علاوه بر عمق بخشيدن به معرفتهاي پيشين خود ، به آستانه حدسهاي جديد نيز نزديکتر ميشويم.
شايد بشود گفت که فلسفه رياضي از يک سوال معناشناختي شروع مي شود: اينکه «٤=٢+٢ صادق است.» به چه معناست؟ و ناگزير در پاسخ به اين پرسش برخي فرض هاي متافيزيکي مطرح ميشود: مثلاً اينکه اعداد در واقع، اشياء انتزاعي اند. و اين پاسخ پايان ماجرا نيست. پرسش بعدي معرفت شناختي است: ما چگونه ميتوانيم اشياء انتزاعي را درک کنيم و همينطور بايد به گونهاي به اين پرسش نيز پاسخ دهيم که اولاً پاسخ معناشناختي و متافيزيکي مارا توجيه کند؛ ثانياً ناسازگار، پيچيده و مبهم نباشد. مجموع اين سه موضع گيري ، يک بصيرت رياضي خاص را به ما عرضه مي کند و ما در پرتو اين بصيرت رياضي به مسائل فلسفه رياضي فکر مي کنيم. با نظر برخي افراد موافقت و با نظر برخي ديگر مخالفت مي نمائيم و سرانجام مجموع اين آراء و ديدگاهها، موجب طرح مکاتب و رويکردهاي مختلف فلسفي مي شود که از آن جمله مي توان به اشراقي گري، عقل گرائي، تجربه گرائي، منطق گرائي، صورت گرائي، شهود گرائي، قرارداد گرائي، نام گرائي و ساختارگرائي اشاره کرد.
بطورخلاصه،فلسفه رياضي يكي از فلسفههاي مضاف ميباشدكه درباره-ي «معناشناسي،وجودشناسي و معرفت شناسي» علم رياضي بحث مي كند و اين بحثها لااقل پنج فايده دارد:
1- يك زبان علمي براي بحث دربارهي ماهيت رياضي به دست ميدهد.
2- فرايند مطالعات رياضي باز سازي عقلاني مي شود. يعني مجموعهي پيشفرضها و ايدههاي يك رياضيدان در نظريه پردازي آشكار ميگردد.
3- بحران ها و نواقص احتمالي رياضي كشف ميشود و براي آنها راه حل ارائه ميگردد.
4- به معرفتهاي رياضي رياضيدانان عمق ميبخشد.
5- بصيرت رياضي دان براي طرح ديدگاه ها ي جديد افزايش مي يابد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:34 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250256.jpg
ديد كلي:
ما برای فهم تاریخ واقعی بوجودآمدن و پیشرفت ریاضیات ، منطق دیالتیک را راهنمای خود قرار دادیم. دیالتیک ، بویژه به این علت ما را به نتیجه‌گیری‌های درست می‌رساند که هیچ چیز را به حقیقت تحمیل نمی‌کند، بلکه واقعیت‌ها را همان‌طور که هستند، یعنی رابطه‌ها و پیشرفت‌های ضروری آنها را بررسی می‌کند. کاملا اشتباه است اگر بگوییم که در ریاضیات خالص ، اندیشه ، تنها با آفرینش‌ها و گمان‌های خود سروکار دارد. مفهوم‌های عدد و شکل ، از جایی جز از جهان واقعی گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمرد، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیزی هست جز محصولی که مخلوق خود فکر باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آنها را بشماریم، بلکه باید این آمادگی را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری بجز شمار را از آن جدا کنیم و این آمادگی هم در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی ، که به آزمایش متکی باشد، بدست می‌آید. مفهوم شکل هم ، مانند مفهوم عدد ، تنها از دنیای خارج بدست آمده است و در مغز و از اندیشه خالص پدید نیامده است. پیش از این که بتوان به مفهوم شکل رسید، باید چیزهایی با شکل معین موجود باشد و این شکل‌ها نیز با یکدیگر مقایسه شده باشد. موضوع ریاضیات ، عبارت است از شکل‌های فضایی و رابطه‌های کمی دنیای واقع ؛ یعنی موضوع آن ، از مصالح واقعی درست شده است.
ویژگیها و درون‌مایه ریاضیات
ریاضیات بازتاب‌کننده واقعیت است و تاکید می‌کند که ریاضیات از نیازهای عملی مردم بوجود آمده و نخستین مفهوم‌ها و کاربردهای آن در نتیجه پیشرفت تاریخی طولانی که متکی بر آزمایش است بدست آمده است و ما این مطلب را بطور گسترده‌تری روی نمونه حساب و هندسه دنبال کرده‌ایم. ما بویژه پذیرفته‌ایم که مفهوم عدد ، کمیت و شکل هندسی ، به همین ترتیب بوجود آمده است و این مفهوم‌ها رابطه‌های کمی واقعی و شکل‌های فضایی واقعیت را بازتاب می‌دهند. موضوع ریاضیات ، مصالح معین کاملا واقعی است، ولی ریاضیات این مصالح را جدا از محتوای مشخص و ویژگی‌های کیفی آنها بررسی می‌کند. و در همین جاست که ریاضیات از دانش‌های طبیعی جدا می‌شود. ویژگی‌ اساسی ریاضیات عبارت‌اند از "زبان فرمولی" ویژه ریاضی ، گسترش کاربرد آن ، و این نتیجه‌گیری ریاضی ، جدا از آزمایش بدست می‌آید و سرانجام ویژگی الزامی و متقاعدکننده بودن این نتیجه‌گیری‌ها. اگر مفهوم عدد را ، از جنبه مشخص آن جدا کنیم و عددهای درست را بطور کلی و صرف نظر از رابطه‌هایی که با این و یا آن مجموعه مشخص دارد بررسی کنیم، به خودی‌خود روشن است که نخواهیم توانست درباره چنین عددهای انتزاعی ، آزمایش کنیم. اگر در این سطح انتزاعی بمانیم و به چیزهای مشخص برنگردیم، تنها از روش استدلال ، استدلالی که از خود مفهوم عدد سرچشمه می‌گیرد، می‌توان به نتیجه‌های تازه‌ای درباره عددها رسید. البته هم نتیجه‌گیریها دیگر ریاضیات هم به همین ترتیب‌اند.
بویژه ، مشخص بودن مفهوم‌های ریاضیات همراه با منطق (منطقی که همه جا با کارایی خود را نشان می‌دهد)، این ویژگی را برای ریاضیات بوجود آورده است که نتیجه‌گیریهای آن متقاعدکننده است و ضرورت منطقی دارد. همین ضروری بودن نتیجه‌گیریهای ریاضی است که زمینه را برای این تصور اشتباه فراهم آورده است که گویا پایه ریاضیات بر تفکر خالص گذاشته شده است و گویا ریاضیات علمی حضوری است و از آزمایش بدست نیامده است و گویا واقعیت‌ها را بازتاب نمی‌دهد. این مطالب که ریاضیات حضوری نیست، بلکه متکی بر آزمایش است، واقعیتی انکارناپذیر است. نه تنها خود مفهوم‌های ریاضیات ، بلکه نتیجه‌ها و روش‌های آن هم بازتابی از واقعیت است.
انتزاع کامل موضوع ریاضی از هر چیز مشخص ، و عقلانی و ذهنی بودن نتیجه‌گیریهای آن ، که بر پایه این انتزاع قرار دارد، ویژگی مهم دیگری از ریاضیات را بدنبال خود می‌آورد: در ریاضیات ، نه تنها آنگونه رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی که به طور مستقیم "از واقعیت جدا شده است" بررسی می‌شود، بلکه آن رابطه‌ها و شکل‌هایی هم که در داخل خود ریاضیات و بر پایه اجتماع مفهوم‌ها و نظریه‌های ریاضی معین شده است، مورد بررسی قرار می‌گیرد.از ویژگی‌های آخرین دوره پیشرفت ریاضیات ، نه تنها این است که انتزاع‌های آن در درجه‌های بالاتری قرار گرفته است، بلکه این هم هست که موضوع آن بطور اساسی گسترش پیدا کرده است و از چارچوب مفهوم‌های مقدماتی رابطه‌های کمی و شکل‌های فضایی خارج شده است. البته شکل‌های مربوط به فضاهای چندبعدی و بی‌نهایت بعدی ، آنگونه که از شکل‌های فضای واقعی معمولی (و نه از فضای انتزاعی ریاضی) می‌فهمیم شکل‌های فضایی عادی نیستند. این فضاها معنا و مفهوم واقعی دارند و شکل‌های مشخصی از واقعیت را بصورت انتزاعی بازتاب می‌دهند، ولی تنها شباهتی با شکل‌های فضایی دارند و به همین علت در مقایسه با فضای واقعی می‌توان آنها را "شبه فضا" نامید.
نظر انگلس درباره ریاضیات
"داروی درباره ریاضیات عمیق و پرمایه است و تا چه حد می‌توان آن را گسترش داد". با وجود اینکه انگلس ، ریاضیدان نبود. تحزیه و تحلیل عمیقی از پایه‌های این دانش می‌کند، نه تنها به این علت است که او یک متفکر نابغه بود، بلکه مهم‌تر از همه به این علت است که به ماتریالیسم دیالتیک چیره بود و آن را برای روشن کردن ماهیت ریاضیات ، راهنمای خود قرار می‌داد. بنابراین نباید در شگفت بود که پیش از او هیچ کس نتوانست یک چنین راه‌حل عمیق و درستی از این مساله ارائه دهد. بزرگترین ریاضیدانان هم نمی‌توانستند در یک چنین حجم فشرده‌ای به این موفقیت برسند.
اهمیت ماتریالیسم دیالتیک
اهمیت و نیروی ماتریالیسم دیالتیک نشان می‌دهد که برای چیرگی بر یک دانش کافی نیست خدمتگزار خلاقی برای آن باشیم، بلکه علاوه بر اینها ، لازم است به روش کلی و درست استدلال ، یعنی به ماتریالیسم دیالتیک ، چیره باشیم. بدون این چیرگی ، نتیجه‌گیریهای دانش یا بصورت یک توده بی‌شکل به نظر می‌رسد و یا بطور کلی از شکل می‌افتد و به جای این که درک درستی از دانش بدست بیاوریم، دچار تصورهای اشتباه ماورای طبیعی و ذهنی درباره آن می‌شویم. بسیاری از ریاضی‌دانانی که با این روش استدلال آشنا نیستند یا اصولا نمی‌توانند در مساله‌های عمومی مربوط به دانش خودشان ، جهت‌یابی کنند و با این مساله‌ها را به کلی نادرست بیان می‌کنند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:34 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250202.jpg

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد. این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی است.
تاریخچه
تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود.
کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر یا‌ Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت. درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید.
اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید.
نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند.
کارل فریدریش گاوس ( Carl Friedrich Gauss )،‌ ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی د رتوسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد.
پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت.
از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد.
کلاس‌بندی
جبر مقدماتی:
در این شاخه از جبر ، ویژگیهای اعمال چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می‌شود.علائمی تعریف می‌شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌گردد و روش هایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد. جبر مقدماتی گونهٔ بنیادی و نسبتاً پایه‌ای جبر است که به دانش‌آموزانی که احتمالاً آگاهی کمی دارند و یا هیچ آگاهی قانونمندی فراتر از حساب در ریاضیات ندارند، آموخته می‌شود. در حالی که در حساب تنها اعداد و اعمال حسابی آن‌ها (مانند +, −, ×, ÷) انجام می‌پذیرد، در جبر همچنین از نشانه‌هایی (چون x و y یا a و b) برای نشان دادن اعداد استفاده می‌شود، که متغیر نامیده می‌شوند.
جبر مجرد:در این شاخه ساختارهای جبری از قبیل گروهها، حلقه ها و میدان هاتعریف می‌شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود.این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضی‌دانان معاصر خود به شاخه‌های مختلفی تقسیم می‌شود:
جبر جابجایی
جبر ناجابجایی
جبر خطی: به بررسی فضاهای برداری و نگاشت‌های خطی بین این فضاها می‌پردازد و کاربدهای فراوان در شاخه‌های مختلف علم دارد.
منابع:
1-http://daneshnameh.roshd.ir
2-http://fa.wikipedia.org
3-علیمرادی، محمدرضا. جبر مقدماتی. تهران: آذرباد، ۱۳۸۶، ISBN 978-964-7099-74-

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:34 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/07/250252.jpg در ریاضیات، گروه، مجموعه‌ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف می‌کنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است. شاخه‌ای از ریاضیات که بر روی گروهها مطالعه می‌کند، نظریه گروه‌ها است.از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اواریست گالوابرمی‌گردد.او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود. گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدان و فضای برداری دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروه‌ها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است. بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیه‌ای ریاضیات جدید دوگانگی مابین موضوعات مختلف در آن است. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و یا منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده می‌کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح می‌شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده‌هاست که همه جا ظاهر می شود.علی‌الخصوص درمطالعه‌ی اشیاء توپولوژیک که پوانکاره با بوجود آوردن علم توپولوژی جبری گام بزرگی را در پیشرفت هندسه و توپولوژی برداشت. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروه‌ها اهمیت بسزایی دارند.

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/07/2502521.jpg
تعریف
فرض کنید که G یک مجموعه و * یک عمل دوتایی یک تابع از Gبه توی G بوده و * دارای خواص زیر باشد:
عمل * شرکت پذیری باشد ،
G تحت * دارای عضو خنثی باشد : عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x در G داریم: x*e=e*x=x ،
G تحت * دارای عضو معکوس باشد : به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه : x*y=y*x=e ،
در اینصورت G همراه با عمل دوتایی * گروه نامیده می شود و آنرا با (G, * ) نمایش می دهیم.
توجه کنید که از شرط دوم نتیجه می‌گیریم که G غیرتهی است.
عضو e در G عضو همانی نام دارد که فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد.
هر عضوی از یک گروه مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس x بنامیم.
عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچ‌وقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس های متفاوتی همچون y خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها خاصیت جابجایی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1829 )ـ 1802 صورت گرفته است.گروه‌هایی را که آبلی نیستند ، گروه‌های نا‌آبلی گویند.
مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع اریک تمپل بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد.

مثال‌هایی از گروه‌ها
مجموعه اعداد صحیح با عمل جمع یک گروه آبلی است.
مجموعه اعداد حقیقی با حذف عدد صفر با عمل ضرب یک گروه آبلی است.
مجموعه تقارن‌های هر چند وجهی تشکیل یک گروه ناآبلی می‌دهد.
به ازای هر عدد طبیعی n ،‌ دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه n با جمع ، گروه است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:35 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/07/250234.jpg پژوهشگران علوم پایه و علوم انسانی، معمولاً مقادیر چندین متغیر را اندازه گیری می کنند. روش های آماری که برای بیان و تحلیل داده های چند متغیری ) مقادیر اندازه گیری شده هم زمان چند متغیر) به کار می روند را تحلیل چند متغیری می نامیم.

مؤلفه های اصلی
در تحلیل چند متغیره، بزرگ بودن بُعد بردار تصادفی X، اغلب در به دست آوردن روش های آماری مناسب برای نمونه تصادفی موجب مشکلاتی می گردد. حال می خواهیم با از دست دادن حداقل اطلاعات، بُعد مشاهدات را تا حد قابل ملاحظه ای تقلیل دهیم.
این تفکر از آنجا ناشی می گردد که در مراحل اولیه تحقیق، توجه به سوی متغیرهایی متمرکز است که از یک مشاهده به مشاهده دیگر بیشترین تغییرات را نشان می دهند. متغیرهایی که از یک مشاهده به مشاهده دیگر زیاد عوض نمی شوند را می توان به عنوان ثابت ها در نظرگرفت، با کنار گذاشتن متغیرهایی با واریانس پائین و توجه به متغیرهایی با واریانس بالا، می توانیم به راحتی مساله خود را در یک زیر فضایی با بُعد کمتر مورد مطالعه قرار دهیم.
روش مؤلفه های اصلی را ابتدا کارل پیرسن(1971) برای متغیرهای غیرآماری پیشنهاد کرد. در اکثر موارد یک تحلیل از مؤلفه های اصلی، ارتباط هایی که قبلاً حدس زده شده را آشکـــار می سازد. تحلیل مؤلفه های اصلی در بیان های دیگر در مباحث رگرسیون چند متغیره، آنـالیز گروه بندی و تجزیه عاملی نیز به کار گرفته می شود.
تحلیل مؤلفه های اصلی به ساختمان ماتریس کوواریانس به وسیله چند ترکیب خطی از متغیرهای اولیه، مربوط است. دو هدف عمده دراینجا پیگیری می شود.
1- فشرده کردن داده 2- تفسیر اطلاعات.
با اینکه p مولفه ی اولیه در تغییرپذیری کل سیستم لازم است، اکثر اوقات این تغییرپذیری می تواند به وسیله تعداد کمتر k از مولفه های اصلی بیان شود.
تحلیل مؤلفه های اصلی وسیله ای برای رسیدن به هدف هستند تا اینکه خودشان هدف باشند، زیرا اغلب آنها به عنوان مراحل میانی در وضعیت های بزرگتر به کار می آیند.

تحلیل عاملی
یک شیوه آماری که می تواند جهت تحلیل روابط متقابل میان گروه بزرگی از متغیــرها و برای توصیف این متغیرها براساس ابعاد مشترک پنهان میان عوامل به کار رود، تجزیه عاملی است.
این شیوه آماری به یافتن راهی جهت تلخیص اطلاعات موجود در تعدادی متغیرهای اصلی می پردازد و آنها را به یک سری عامل های کوچکتر با کمترین میزان ریزش اطلاعات تبدیل می کند.
تجزیه عاملی بر مبنای همبستگی در توزیع، یک بردار تصادفی X=[x1,x2,x3,…,xp]را بر حسب کمترین تعداد متغیرهای تصادفی غیرقابل مشاهده به نام عامل ها توجیه می کند. در این روش هر مؤلفه Xi مورد بررسی قرار می گیرد تا معلوم شود آیا می توان آن را بوسیله یک تابع خطی شامل مینیمم تعداد متغیرهای تصادفی غیرقابل مشاهده (که ساختار کوواریانس ظاهر می شوند) و یک متغیر دیگر ( که واریانس مؤلفه Xi را توجیه می کند) تولید کرد یا خیر؟
مراحل اجرای تحلیل عاملی عبارتند از :
1- جمع آوری داده ها و ایجاد ماتریس همبستگی
2- استخراج راه حل عاملی اولیه
3- چرخش دورانی و تفسیر
4- ساخت مقیاس ها با امتیازات عاملی برای استفاده در تحلیل های بعدی

طریقه طبقه بندی صفت کمی پیوسته
در این حالت به دلیل ماهیت پیوستگی داده ها مقادیر یکسان کمتر مشاهده می شوند در اینجا باید طبق قواعد مشخص داده ها را در طبقات مجزا طبقه بندی می کنیم هر طبقه دارای مرز بالا و پایین می باشد و طبقاتنباید با هم تداخل داشته باشند. ابتدا باید دامنه تغییرات را به دست آوریم دامنه تغییرات یعنی Xmax-Xmin R=
و چنان چه قید شود داده ها روند شده اند آن گاه دامنه تغییرات عبارت است از Xmax-Xmin +1 R= .
عامل بعدی تعداد طبقات است که با K نمايش ىاىه مي شوى و همواره بين 5 تا 20 ءبقه مي باشد که رابطه آن عبارت است از K=1+3.32*logn .
عامل سوم فاصله طبقاتC است که عبارت است ازمرزپایین هر طبقه- مرز بالای هر طبقه.
بین سه عامل فوق رابطه زیر برقرار است: C=R/K
دقت شود که همواره مرز پایین طبقه اول کوچکترین مشاهده می باشد و برای به دست آوردن مرز بالای طبقه اول کافی است به مرز پایین فاصله طبقات اضافه شودبدین ترتیب حدود طبقات محاسبه میشود.
داده های زیر مربوط به نمرات 40دانش آموز در یک آزمون ریاضی است جدول توزیع فراوانی را برای این داده ها به طور کامل تشکیل دهید. 7, 20, 13 , 18, 17.5, 10, 15, 8, 4, 16 ,19.5 ,13.5 ,11.5
16.5, 7.5, 3, 4, 11, 12.5, 13.5, 20, 9, 3, 8, 9, 12, 18.5
17.5, 16.5, 13.5, 12.5, 14.5, 15.5, 18.5, 19.5, 12, 4.5 , 14 ,16.5,
R=Xmax-Xmin=20-3=17 k=1+3.32*log40=6.31=6
C= R/K C=17/6=2.8=2.9
فراوانی نسبی تجمعیG
فراوانی تجمعیG
فراوانی نسبیN
تعداد فراوانی مطلقF
حدود واقعی طبقات
صفات طبقات
6/40
6
6/40
6
2.95 -5.85
3-5.8
11/40
11
5/40
5
5.85-8.75
5.9-8.7
16/40
16
5/40
5
8.75-11.65
8.8-11.6
26/40
26
10/40
10
11.65-14.55
11.7-14.5
31/40
31
5/40
5
14.55-17.45
14.6-17.4
1
40
9/40
9
17.45-20.35
17.5-20.3
1
n=40




گفتیم که نباید بین طبقات تداخل ایجاد گردد در ستون اول دیده می شود که داده ها تداخل دارند باید دقت شود که مثلا 5.9 درطبقه اول شمارش نمی شود منظور تا 5.9 است برای راحتی کار می توان به جای 5.9 عدد 5.8 را در نظر گرفت که در این حالت 5.8 در طبقه اول خوانده می شود.
ستون دیگری که می توان به جدول فوق اضافه کرد حدود واقعی طبقات است که زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که می خواهیم نمودارهای آماری رسم کنیم. برای این کار چون داده ها یک رقم اعشار دارند 0.05
از مرز پایین هر طبقه کم کرده و 0.05 به مرز بالای آن اضافه می کنیم بدین ترتیب حدود واقعی طبقات محاسبه می شود.
مثال: داده های زیر مربوط به یک نمونه های 50 تایی از نوعی نخ کتان است جدول توزیع فراوانی را رسم کنید.
21.2, 27.3, 20.6, 25.4, 36.9, 28.3, 33.7, 29.5, 34.1, 24.6, 27.1, 29.4, 21.8, 27.5, 28.9, 24, 25, 21.9, 37.5, 29.6, 24.8, 32.7, 29.3, 33.5, 22.2, 28.1, 29.5, 17.3, 29.6, 22.7, 25.4 , 30.2, 29, 26.8, 31.3, 34.5, 23.9, 36.8, 28.7, 33.2, 23.6, 23, 29.2, 34.8, 37, 38.4, 26.4, 23.5, 18.6, 28.3

R=38.4-17.3=21.1 K=1+3.32*log50=6.64=7
C=21.1/7=3.01
فراوانی نسبی تجمعیG
فراوانی تجمعیG
فراوانی نسبیN
تعداد فراوانی مطلقF
صفات طبقات
2/50
2
2/50
2
17.3-20.3
9/50
9
7/50
7
20.4-23.4
19/50
19
10/50
10
23.5-26.5
36/50
36
17/50
17
26.6-29.6
39/50
39
3/50
3
29.7-32.7
45/50
45
6/50
6
32.8-35.8
1
50
5/50
n=5
35.9-39

پس از تهيه جدول توزيع فراواني مي توانيم نمودارهای آماری ار بااستفاده از آن رسم کنیم با استفاده از نمودارهای آماری می نوان اطلاعات نهفته شده در جدول فراوانی را با سهولت بیشتر به مخاطب عرضه نمود.


منابع :
1- تحلیل آماری چند متغیری کاربردی/جانسون، ویچرن؛ ترجمه : حسینعلی نیرومند. دانشگاه فردوسی

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:35 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/07/250209.jpg انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.
صورت معادل آن چنین است:
هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.
گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً
4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …
گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

تلاش‌ها برای اثبات
در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عددn=exp(exp(38/16)) در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.
در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.
در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است.
کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.
در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.
در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).
در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد.

یعنی :
هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.


منابع:
1- http://sciency.blogfa.com
2- http://daneshnameh.roshd.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:36 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/07/250250.jpg




منطق جمله ها يا (sentential logic ) مجموعه قواعدی راجع به ارتباط جملات با یکدیگر است .در منطق جمله ها به ساختار داخلي جمله ها كاري نداريم و آنها را به حال خود رها مي كنيم . به مثال زير توجه كنيد :
a) برادرم هميشه يا سردرد دارد يا كمردرد.
b) برادرم سردرد ندارد
c) برادرم كمردرد دارد
ساختار صوري اين مثال و همه موارد مشابه آن چنين است :
a) P يا Q
b) چنين نيست كهQ
c) پس P
همانطور كه ملاحظه مي كنيد ، اين استنتاجي است كه براي پيدا كردن نمونه هاي آن بايد بدنبال يك جمله باشيم نه يك كلمه . مثلا بجاي (P) يك جمله خبري و بجاي (Q) يك جمله خبري ديگر مي گذاريم. صدق چنين گزاره ها و استنتاجاتي آزمودني و تجربي نيست يعني براي پيداكردن صدق يا كذب آن نبايد به سراغ مفهوم و كلمات داخل جملات برويم. و آنها را آزمايش كنيم . صادق بودن اين گزاره ها و استنتاج ها هيچ ارتباطي با معناي جملات (P) و (Q) ندارد . اين استنتاج منطقا صادق است. در منطق قدیم اين نوع استنتاج را اصطلاحا قياس استثنايي مي گويند. قياس در منطق قديم از دو ناحيه تقسيم بندي مي شود:
• ماده قياس : اگر مواد قياس از يقينيات يا مسلمات يا مشهورات يا وهميات باشد اقسام مختلفي بوجود مي آيد كه آن را «صناعات خمس» گويند. بر اين اساس استنتاج به 5 قسم تقسيم مي شود وآنها عبارتند از : برهان، جدل، خطابه، شعر، مغالطه.
•صورت قياس :‌كه از اين جهت به دو قسم استثنايي و اقتراني تقسيم مي شود.در قياس استثنايي بايد «نتيجه» يا نقيض نتيجه در يكي از مقدمات تصريح مي شود. در اين نوع قياس تقريبا با معناي داخلي جملات كار نداريم. مثلا :
a)اگر زيد عادل است ، اوامر خدا را اطاعت مي كند
b) ليكن زيد اوامر خدا را اطاعت نمي كند
c) پس زيد عادل نيست.
در منطق جمله ها (sentential logic ) هم كه به ساختار داخلي جمله هيچ كاري نداريم، قياس استثنايي مطرح است. در منطق جديد اين استنتاج داراي يك ساختار صوري واحد است .و مي تواند از 2 يا 3 يا چندين مقدمه تشكيل شود. به مثال زير توجه كنيد:
a) اگر تيم پيكان با تيم پيروزي بازي كند، آنگاه بازي را مي برد.
b) اگر تيم پيكان بازي را ببرد، آنگاه 5 سكه جايزه مي گيرد.
c) تيم پيكان جايزه نگرفت.
d) تيم پيكان ، تيم پيروزي را شكست نداد.
اكنون هر جمله را به ترتيب با نماد (P) و (Q) و (R) نشان مي دهيم . ساختار منطقي آن چنين است :
a)اگر P آنگاه Q
b)اگر Q آنگاه R
c) چنين نيست كه R
d)چنين نيست كه P
اگر هر جمله اي را به جاي (P) و (Q) و (R) بگذاريد. خواهيد ديد كه همه نمونه ها صادق هستند. (P) و (Q) و (R) را اصطلاحا (sentence letter)يا جانشين جمله مي گوييم . این استنتاج به زبان منطق جمله ها به شکل زیر ترجمه می شود:
۱-P → Q
۲-Q → R
-۳ ~ R
۴- ~ P
در منطق جمله ها ، گاهی اوقات با ترکیبات عطفی سروکار داریم. ترکیب عطفی عبارت است از پیوند دادن یک جمله به جمله دیگر با حرف عطف (و) . به مثالهای زیر توجه کنید:
1-او اهل کاشان است و هوای کاشان گرم است
2-( زمان ثبت نام دانشجوست و درب دانشگاه بسته است) و اولیای آنها ناراحتند.
3- مردم خوشحالند و( قیمت بنزین تثبیت شدوسهمیه بنزین افزایش یافت)
اگر بجای هر جمله ، علامت های (P) و (Q) و (R) بگذاریم . خواهیم دید که همه نمونه ها صادق هستند. می توان جملات فوق را به صورت های زیر ترجمه کرد و به جای آنها نشانه گذارد:
p&Q
(p&Q)&R
p&(Q&R)

گزاره های فصلی و عطفی
در منطق دو ارزشی همه چیز بر پایه ی دو حالت بنا شده است ، بنابر این ما در این منطق دو عملگر اصلی داریم. "یا" ، "و" عملگرهای اصلی این منطق هستند و عملگرهای دیگر به صورت شکل دیگری از ترکیب این دو عملگر و نقایض آن ها ایجاد می شوند.
گزاره های فصلی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "یا" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "یا" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست باشد شرط درست است و برای نادرستی شرط باید تمامی گزاره ها نادرست باشند.
گزاره های عطفی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "و" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست نباشد شرط نادرست است و برای درستی شرط باید تمامی گزاره ها درست باشند.همانطور که در بالا دید هر دو دارای تعریفی مشابه و نقیض یکدیگر هستند، پس می توان گفت که نقیض گزاره های فصلی به شکل عطفی است و نقیض گزاره های عطفی به شکل فصلی است.

قواعد منطق جمله ها
در منطق جملات چند قاعده مهم وجود دارد كه به آن اشاره مي كنيم :
•قاعده اول : نقيض
از هر جمله خبري مثل (P) مي توان جمله ي ديگري ساخت كه اگر اولي صادق باشد حتما دومي كاذب است و بالعكس .
قاعده نقيض در منطق قديم، به نحوي بود كه با مفهوم و ساختار داخلي جملات ارتباط داشت. نقيض يك قضيه در منطق قديم سه شرط داشت :
• اختلاف در كَمّ
• اختلاف در كيف
• اختلاف در جهت
بنابراين اگر يك قضيه به صورت « موجبه كليه» بود ، نقيض آن به صورت « سالبه جزئيه» بود. واگر يك قضيه « موجبه جزئيه» بود نقيض آن به صورت «‌سالبه كليه » است. در اين صورت اگر يكي از قضايا صادق باشد آنگاه قطعا ديگري كاذب است منطقيين قديم قاعده نقيض را در به صورت قطر يك مربعي ترسيم مي كردند كه رئوس چهارگانه آن قضاياي محصورات چهارگانه است. صورت كلي قاعده نقيض در منطق قديم چنين است:
هر الف ب است (1) → بعضي الف ب نيست
هيچ الف ب نيست → بعضي الف ب است (2)
در منطق صوري، براي ساختن نقيض هر جمله اين اقدام كافي نيست كه تنها فعل جمله را منفي يا مثبت كنيم. بلكه بايد به سراغ كلمات داخل جمله رفته و آن را تغيير دهيم . مثلا « هيج» را به جاي « بعضي» بگذاريم و به عبارت ديگر « سور قضيه» را تغيير دهيم.
اما در منطق جمله ها، كه با ساختار دروني جمله ها كاري نداريم . نبايد كلمه يا مفهومي را در درون جمله ها عوض كنيم بلكه با آوردن « چنين نيست» در اول جمله نقيض آن را مي سازيم. نشانه نقيض در منطق رياضي (p~) یا () است. جدول ارزش يا روش سريع شناخت صدق و كذب (P) و ( ) به شكل زير است :

جدول ارزش ها
P

0
1
1
0
اين جدول نشان مي دهد كه اگر (P) درست باشد آنگاه بطور قطع ( ) نادرست است . و اگر ( ) درست باشد آنگاه قطعا (P) نادرست است .

نقض گزاره ها
نمی توان آن را تعریف کرد، زیرا اگر بخواهیم آن را تعریف کنیم باز نیاز به استفاده از خودش برای تعریف خودش داریم. به چند تعریف زیر توجه کنید :
1 - نقیض یک گزاره ، گزاره ای است که دارای ویژگی های آن گزاره نباشد.
2 - نقیض یک گزاره یعنی اگر گزاره ای درست باشد آنگاه نقیض آن نادرست است.
3 - نقیض یک گزاره یعنی مکمل حالت هایی که آن گزاره شامل نیست.
و تعاریفی مانند این ها ...
تعاریف بالا گرچه مفهوم را می رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقیض بوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعی از خود مفهوم نقیض استفاده شده است.برای مثال در جمله ی اول، عبارت دارای ویژگی های آن گزاره نباشد. خود نقیض عبارت دارای ویژگی های آن گزاره باشد. است، همچنین در جملات بعدی عبارات نادرست و نیست خود به ترتیب نقیض عبارات درست و هست می باشند
•قاعده دوم : فرض
در هر استدلال، نخست باید پیش فرضی داشته باشیم. تا با در نظرگرفتن آن، به نتایج جدیدی برسیم. قاعده فرض در منطق جمله ها به این صورت تبیین می شود:
در هر مرحله و هر سطر از استدلال می توان جمله ای را «فرض» کرد و به سطور استدلال اضافه کرد .
به استدلال های زیر توجه کنید :
(1) p→Q
(2)……..
------------------------
(1)…….
(2) p→Q
همانطورکه ملاحظه می شود در برهان نخست، درسطر اول قاعده فرض مطرح شده است. اما در برهان دوم ، قاعده فرض در سطور میانی ذکر شده است. پس این قاعده به ما اجازه می دهد که در هر مرحله از برهان، یک فرضی را به متن استدلال خود اضافه کنیم.
•قاعده سوم : نقض مضاعف
طبق این قاعده از یک قضیه و گزاره ای مثل (P) می توان به (p~~ ) رسید. و نیز از یک قضیه مثل (p~~ ) می توان به (P) رسید. بنابر این از ضمیمه کردن این قاعده با قاعده قبلی چنین نتیجه می گیریم :
(1)…….
(2) p→Q
(3) ~~ (p→Q)
این قاعده در منطق جدید به (rule of double negation ) موسوم است.
•قاعده چهارم : وضع مقدم
این قاعده در منطق جمله ها به شکل زیر بیان می شود :
از دو مقدمه (p→Q) و (p) می توان (Q) را نتیجه گرفت. این نتیجه بر همه فرض هایی استوار است که هر یک از دو مقدمه مذکور به آن فرض ها وابسته است.
به مثال زیر توجه کنید:
(1) p
(2) p→Q
(3) Q
در سطر(1) و (2) قاعده فرض بکار رفته است . اما در سطر(3) قاعده وضع مقدم جاری است.
در منطق ریاضی برای آسانی در نگارش، می توان مثال فوق را به شکل زیر در یک سطر خلاصه کرد:
P , p→Q ├ Q
همانطورکه ملاحظه میشود برهان سه خطی فوق در یک خط و با علامت (├) به معنای « نتیجه میشود» خلاصه شده است.ضمنا علامت (,) حد فاصل مقدمات یا سطرهای یک استدلال است و سطر قبل را از سطر بعد متمایز می سازد .
به مثال دوم توجه کنید:
(1) p→Q
(2) Q→R
(3) p
(4)R
این استدلال 4 سطری را می توان در یک سطر به صورت زیر خلاصه کرد
p→Q , Q→R , p ├ R
قاعده وضع مقدم در منطق قدیم در قیاس استثنایی به شرح زیر بکار می رود :
oاستثناء عین مقدم در متصله:
گفتیم در قیاس استثنایی، عین نتیجه و یا نقیض نتیجه، به نحوی در یکی از مقدمات ذکر شده است. آن مقدمه نیز باید قضیه ای شرطیه باشد. و از آنجاکه شرطیه بر دو قسم متصله و منفصله تقسیم می شود، قیاس استثنایی هم به همین دو قسم تقسیم شده است.
قاعده وضع مقدم در قیاس استثنایی متصله به این صورت جاری است:
هرگاه عین مقدم در یکی از مقدمات استثناء شود ، آنگاه عین تالی نتیجه می شود . زیرا برابر یک اصل عقلی ( تحقق ملزوم مستلزم تحقق لازم است) . به عنوان مثال:
a)اگر باران ببارد، آنگاه زمین خیس می شود.
b)لکن باران می بارد
---------------------------------
c)پس زمین خیس است
oاستثناء عین مقدم در منفصله:
در قضیه منفصله، هرگاه یکی از طرفین قضیه را مقدم و دیگری را تالی بنامیم آنگاه در شرطیه منفصله حقیقیه استثناء عین مقدم، نقیض تالی را سبب می شود. به عنوان مثال :
a)هر عدد یا زوج است یا فرد
b)لکن این عدد زوج است.
--------------------
c)پس فرد نیست.
نتیجه آنکه » وضع مقدم » در منطق قدیم دو کارکرد دارد:
1- وضع تالی : در استثنایی متصله
2- رفع تالی : در استثنایی منفصله
• قاعده پنجم : رفع تالی
در منطق جمله ها قاعده رفع تالی به صورت زیر بیان می شود :
از (p→Q) و (Q~) می توان نتیجه گرفت که : ( p~ ) و
این نتیجه دقیقا بر همان فرض های مقدمات استوار است .
به مثال زیر توجه کنید :
(1) p→Q
(2) ~ Q
p~ (3)
در سطر اول و دوم استدلال فوق قاعده فرض بکار رفته و در سطر سوم قاعده رفع تالی جریان دارد. البته می توان استدلال فوق را در یک سطر به شکل زیر خلاصه کرد :
p~ ├ Q~ , Q → p
به مثال دیگری به شرح زیر توجه کنید:
(1) ~p → ~~Q قاعده فرض :
(2) ~ قاعده فرض :
قاعده نقض مضاعف : Q~~~ (3)
قاعده رفع تالی : p~~ (4)
قاعده نقض مضاعف خلاصه كرد: p(5) استدلال فوق را می توان در یک سطر
p ├ Q~ , Q~~ → p~

منابع:
1-http://www.mohammadirandoost.blogfa.com
2- http://fa.wikipedia.org
3-كتاب منطق رياضي
4-كتاب ساختمان گسسته مهندس يوسفي

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:36 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247.jpg
اگر m یک عدد طبیعی و a وb دو عدد صحیح باشند، و m بتواند اختلاف بین a و b را بشمارد، آنگاه می‌گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m.
تعریف
اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه( m|(b-a و می‌نویسیم به پیمانه (m) http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247%20%281%29.jpg یا http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247%20%282%29.jpg .
رابطه همنهشتی یک رایطه هم‌ارزی است پس این رابطه می‌تواند مجموعه اعداد صحیح را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید.
ویژگی‌های همنهشتی
اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم a+c ≡ b+c: به پیمانه m .
اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه. m
اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247%20%283%29.jpg به پیمانه. m
به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه .m
اگر b≡a به پیمانه m و c عدد صحیحی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه. m
قضایای مربوط به همنهشتی
اگر ac≡bc به پیمانه m و (m,c)=d آنگاهa≡b به پیمانه m/d.
لم مربوط به همنهشتی:
اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه a≡b به پیمانه .d
اگر ac≡bc به پیمانه m و( m,c)=1 آنگاه a≡b به پیمانه. m
اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه. m
مثال
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247%20%284%29.jpg
مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد.
جواب:
طبق الگوریتم تقسیم داریم a=2q+r , 0≤r<2 ؛ یعنی a=2q یا a=2q+1.
پس کلاس هم‌ارزی 0 یا اعداد بخش‌پذیر بر 2 عبارت است از
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/06/250247%20%285%29.jpg
به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 نیز همواره بر 2 بخش پذیر است.
منبع: http://daneshnameh.roshd.ir-1

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:37 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/03/7030.jpg
اعداد چند ضلعی
اعداد چند ضلعی عددهایی هستند، که با شکلچند ضلعی‌های منتظم ارتباط ویژه‌ای دارند. ارتباط ویژه‌ای دارند. ابتدا به این جدول خوب دقت کنید:
خواص ریاضی اعداد چند ضلعی، با مطالعه‌ی این اشکال کشف شده‌اند. بحث در مورد عددهایی که به صورت چند ضلعی هستند، شیرین اما مفصل است. ما در اینجا سعی می کنیم. باعددهای چند ضلعی آشنا شویم ، و در مورد برخی از آنها نیز فقط به یک خاصیت اشاره کنیم.
الف ـ عددهای مثلثی: اگر چند دکمه یکسان داشته باشید، می توانید آنها را کنار هم طوری قرار‌دهید
که تشکیل یک مثلث متساوی‌الاضلاع دهند. به طوری که در سطر اول جدول مشاهده می‌کنید، در هر کدام از این مثلثها فقط یک دکمه در راس قرار‌دارد در هر یک از سطرهای پایین نیز، هر سطر یک دکمه بیشتر از سطر بالای خود دارد. پس شمار دکمه‌های به کار رفته در آنها را، چپ به راست، می‌توان چنین به دست آورد:
…،(۵+۴+۳+۲+۱)،(۴+۳+۲+۱)، (۳+۲+۱)، (۲+۱)،(۱)و حاصل هر یک از آنها نیز عدد مثلثی نام دارد. پس سری اعداد مثلثی چنین خواهد‌بود:
…،۷۸،۶۶،۵۵،۴۵،۳۶،۲۸،۲۱،۱ ،۱۰،۶،۳،۱
در اینجا اگر شمار دکمه‌های واقع در یک ضلع مثلث معلوم باشد، تعیین مجموع دکمه‌های آن ساده است. کافی خواهد‌بود، که آن را با تمام اعداد طبیعی متوالی کوچکتر از خود جمع کنیم. مثلا اگر تعداد دکمه‌ها در یک ضلع ۵ تا باشد، شمارکل دکمه‌ها۱+۲+۳+۴+۵ یعنی ۱۵تا خواهد‌بود.
ب ـ عددهای مربعی: این بار دکمه‌ها را در سطرها و ستونهای مساوی کنار هم قرار می‌دهیم. تا یک مربع تشکیل شود .با توجه به شکلهای مربوطه معلوم می‌گردد. که تعداد دکمه‌ها در آنهاـ به ترتیب ـ مساوی باتوان دوم اعداد طبیعی ۱و ۲و ۳و ۴و … خواهد‌بود.
در اینجا، با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع. تعداد کل آنها در مربع معلوم خواهد بود. و اعداد مربعی عبارت از توان دوم اعداد طبیعی متوالی است، که عبارتند از:

،۱۴۴، ۱۲۱،۱۰۰،۱۱۷،۹۲،۷۰،۵۱،۳۵،۲ ۲،۱۲،۵،۱
ج- عددهای به صورت پنج ضلعی : با یک نظر به سومین سطر از جدول متوجه می شوید که اعداد مخمسی نیز عبارتند از:
۱,۵,۱۲,۲۲,۳۵,۵۱,۷۰,۹۲,۱۱۷,۱۴۵, ۱۷۶,…
ریاضیدانان محاسبه کرده‌اند، که در اینجا نیز با معلوم بودن شمار دکمه‌ها در یک ضلع، تعداد دکمه‌های به کار رفته درکل آن معلوم می‌گردد، کافی است، شمار دکمه‌هایی را که در یک ضلع واقعند، به توان دوم برسانید، و آن را با تمام اعداد طبیعی و متوالی پایین‌تر از خود جمع کنید. مثلا محاسبه‌ی دکمه‌های به کار رفته در آخرین پنج ضلعی جدول چنین است: ۱+۲+۳+۴+۵۲، که مساوی ۳۵می‌شود. و هر گاه بخواهیم یک عدد مخمسی پیدا کنیم، که یک ضلع شامل ۸ واحد شود، باید چنین کنیم:
۱+۲+۳+۴+۵+۶+۷+۸۲که حاصل ۹۲می‌شود.
دـ اعداد شش ضلعی: اعداد شش ضلعی نیز با توجه به شکل عبارتند از:
…، ۲۳۱، ۱۹۰، ۱۵۳، ۱۲۰، ۹۱، ۶۶، ۴۵، ۲۸، ۱۵، ۶، ۱
در اینجا نیز هر عدد به صورت شش ضلعی، برابر است، با تعداد واحدهای آن در یک ضلع، به اضافه‌ی چهار برابر عدد مثلثی ردیف قبل از آن. به عنوان مثال، در آخرین شکل مربوط به شش ضلعی، در یک ضلع ۵ دکمه وجود‌دارد.و می‌‌دانیم که چهارمین عدد‌مثلثی ۱۰ است. پس می‌توان نوشت: ۱۰×۴+۵، که نتیجه ۴۵دکمه می‌‌شود. حالا شما می‌دانید که مثلاّ عدد شش ضلعی ۲۳۱ چگونه به دست آمده است.
ه_ عددهای هفت ضلعی و هشت ضلعی: اکنون نوبت شماست، که با توجه به اعداد چند ضلعی قبلی، اولاّ طرز تشکیل اعداد مربوط به آنها را معین کنید. ثانیاّ با معلوم بودن تعداد واحدهای یک ضلع از هر کدام چند ضلعی مربوط به آن را هم بیابید.

اعداد اول
تعریف:عدد طبیعی p>۱,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن ۱وp باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱اول نباشد مرکب است.
قضیه ۱: تعداد اعداد اول نامتناهی است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
(البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید.)
قضیه ۲:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳: قضیه چپیشف:اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۲ باشد, حتما” بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:37 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/03/7010.jpg در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسایل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسایلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی ------ افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسایل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسایل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسایل خود بودند که بر اثر وارد شدنتخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسایل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:38 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/03/7013.jpg
هدف :
«ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» .
دکتر ریاضی استاد ریاضی و رییس دانشگاه صنعتی امیرکبیر نیز در معرفی این علم می‌گوید: «ریاضیات علم مدل‌دهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی می‌باشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمی‌باشد.»
اهداف گرایش‌های مختلف این رشته عبارتنداز:
۱- ریاضی کاربردی: هدف از این شاخه تربیت کارشناسی است که با اندوخته کافی از دانش ریاضی، توانایی تحلیل کمی از مسایل صنعتی، اقتصادی و برنامه‌ریزی را کسب نموده، توان ادامه تحصیل در سطوح بالاتر را داشته باشد.
۲- ریاضی محض: هدف از این شاخه ریاضی، تربیت متخصصان جامع در علوم ریاضی است که آمادگی لازم برای ادامه تحصیل در جهت اشتغال به پژوهش و نیز انتقال علم ریاضی در سطوح دانشگاهی را داشته باشند. آشنایی با تجزیه و تحلیل مسایل در قالب ریاضی و مدل‌سازی ریاضی نیز از اهداف دیگر شاخه ریاضی محض است.
۳- ریاضی دبیری: هدف از شاخه دبیری تربیت دبیران و کارشناسان متخصص آموزش ریاضی است که پاسخگوی نیازهای آموزش و پرورش کشور در سطوح پیش‌دانشگاهی باشند.

ماهیت :
« ریاضیات بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند»
فارغ‌التحصیلان این رشته می‌توانند پس از پایان تحصیلات، در ادارات دولتی برای مسوولیتهایی که به نوعی با تجزیه و تحلیل مسایل سروکار دارند، در بخش‌ خصوصی در اموری همانند طراحی سیستمها در امر بهینه‌سازی و بهره‌وری ، در بخش صنعت برای اموری همانند مدل‌سازیهای ریاضی و در آموزش و پرورش و … ، مسوولیتهای متفاوتی را به عهده گیرند.

گرایش‌‌های مقطع لیسانس:
«رییس اتحادیه بین‌المللی ریاضیدانان جهان در یازدهمین اجلاس آکادمی جهان سوم که اخیرا در تهران برگزار شد، عنوان کرد که بهتر است بگوییم ریاضیات و کاربردهای آن، نه اینکه ریاضیات را به محض و کاربردی تفکیک کنیم چرا که به اعتقاد ریاضیدانها هیچ مقوله ریاضی نیست که روزی کاربردی برای آن پیدا نشود.»
«ریاضیات محض بیشتر به قضایا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگی اثباتشان می‌پردازد اما در ریاضیات کاربردی چگونه استفاده کردن و به کارگرفتن قضایا، آموزش داده می‌شود، به عبارت دیگر در این شاخه، کاربرد ریاضیات در مسایل موجود در جامعه بیان می‌گردد»
عموما ریاضیات کاربردی به شاخه‌ای از ریاضی گفته می‌شود که کاربرد علمی مشخصی داشته باشد برای مثال در اقتصاد، کامپیوتر،‌فیزیک و یا آمار و احتمال کاربرد داشته باشد و ریاضی محض نیز به شاخه‌ای گفته می‌شود که به نظریه‌پردازی ریاضی می‌پردازد اما باید توجه داشت که امروزه این دو گرایش آن‌چنان در هم ادغام شده‌اندکه مرزی را نمی‌توان بین آنها مشخص کرد.

معرفی مختصری از درسهای تخصصی گرایش ریاضی کاربردی:
ریاضیات گسسته:
هدف از این درس، آشنایی با زمینه‌های مختلف ریاضیات گسسته و کاربردهای آن با تاکید بر اثبات و ارایه الگوریتمهای مناسب است. سرفصلهای این درس عبارتنداز : معادله تفاضلی و رابطه بازگشتی ، تابع مولد، اصل شمول و طرد، گراف و ماتریس، تطابق و دیگر کاربردهای گراف، جبربول و کاربردهای آن و آشنایی با طرحهای بلوکی، مربع لاتین، صفحه‌های تصویری ، کدگذاری و رمزنگاری.

برنامه‌سازی پیشرفته :
در این درس، دانشجویان به مباحثی همچون برنامه‌سازی صحیح ،‌ مستند سازی برنامه‌ها ، برنامه‌سازی ساخت یافته، آشنایی با زبان دوم برنامه‌سازی و مقایسه آن با زبان اول، اشکال‌زدایی و آزمایش برنامه، حصول اطمینان از صحت برنامه‌ها ، الگوریتمهای غیر عددی شامل : پردازش رشته‌ها، روشهای جستجو و مرتب کردن ، آشنایی مقدماتی با کامپایلرها و دیگر برنامه‌های مترجم، اجرای طرحهای بزرگ و … می‌پردازند.

آنالیز عددی:
هدف از این درس، ارایه الگوریتمهای عددی و بررسی خطاهای ایجاد شده از حل عددی مسایل است. در خصوص روشهای تکراری، بررسی همگرایی و نرخ همگرایی نیز مورد تاکید می‌باشند. در این درس سرفصلهای موجود عبارتند از : نمایش اعداد حقیقی، انواع مختلف خطاها، آنالیز خطاها ، حل معادلات خطی، مشتق و انتگرال‌گیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل عددی و … .

ساختمان داده‌ها:
در این درس، دانشجویان با آرایه‌ها ، بردارها، ماتریسها ، صفها و ردیفا، لیستهای پیوندی ، خطی، حلقوی ، روش نمایش و کاربرد لیستهای پیوندی ، درختها و پیمایش‌ آنها، روش نمایش و کاربرد درختها، درختهای تصمیم‌گیری ، گرافها و نمایش آنها، تخصیص حافظه به صورت پویا و مسایل مربوط آشنا می‌شوند.

تحقیق در عملیات:
در این درس ، دانشجویان با زمینه تحقیق در عملیات، انواع مدلها و مدلهای ریاضی، برنامه‌ریزی خطی، شبکه‌ها و مدل حمل و نقل، سایر مدلهای مشابه، آشنایی با برنامه‌ریزی متغیرهای صحیح ،‌برنامه‌ریزی پویا، برنامه‌ریزی غیرخطی و مدلهای احتمالی آشنا می‌گردند.

آینده شغلی ، بازار کار ، درآمد:
«کاربرد ریاضی در علوم مختلف انکارناپذیر است. برای مثال مبحث آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی، کاربرد بسیاری زیادی دارد و یا در بیشتر رشته‌های مهندسی معادله «لاپ لاسی» که یک معادله ریاضی است، مورد استفاده قرار می‌گیرد. در جامعه‌شناسی نیز نظریه احتمال و نظریه گروهها نقش بسیار مهمی ایفا می‌کند. در کل باید گفت که همه صنایع ،‌زیر ساخت ریاضی دارند و به همین دلیل در همه مراکز صنعتی و تحقیقاتی دنیا، ریاضیدانها در کنار مهندسان و دانشمندان سایر علوم حضوری فعال دارند و آنچه در نهایت ارایه می‌شود، نتیجه کار تیمی آنهاست.»
دکتر ریاضی از اساتید دانشگاه در مورد فرصت‌های شغلی موجود در ایران می‌گوید:
«اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمی داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهی ریاضیدان نیاز خواهیم داشت چون یک ریاضیدان می‌تواند مشکلات را به روش علمی حل کند. البته این به آن معنا نیست که در حال حاضر هیچ فرصت شغلی برای یک ریاضیدان وجود ندارد اما باید حضور ریاضیدانها در مراکز تحقیقاتی و صنعتی پررنگتر باشد.»
هرچقدر که شغل یک فرد تخصصی‌تر شود، میزان ریاضیاتی که لازم دارد، بیشتر می‌گردد.
برای مثال یک مهندس الکترونیک از آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی استفاده می‌کند و یا یک برنامه‌ریز پروژه‌های اقتصادی از مطالب پیشرفته آماری مانند سریهای زمانی ، به عنوان ابزار کار یاری می‌گیرد. به همین دلیل امروزه تربیت متخصصان علم ریاضی، یعنی افرادی که قادر هستند ریاضیات مورد نیاز را آموزش داده و یا تولید کنند، اهمیت بسیار زیادی دارد. چرا که لازمه پیشرفت در تکنولوژی ، توجه به دانش ریاضی می‌باشد.
اما یکی از دانشجویان این رشته نظر جالبی در مورد توانایی یک فارغ‌التحصیل رشته ریاضی دارد:
«درست است که در جامعه ما مکان مشخصی برای جذب فارغ‌التحصیلان ریاضی وجود ندارد اما یک لیسانس ریاضی به دلیل نظم فکری و بینش عمیقی که در طی تحصیل به دست می‌آورد، می‌تواند با مطالعه و تلاش شخصی در بسیاری از شغل‌ها ، حتی شغل‌هایی که در ظاهر ارتباطی با ریاضی ندارد موفق گردد.»

توانایی‌های مورد نیاز و قابل توصیه :
شاید مهمترین توانایی علمی یک دانشجوی ریاضی ، تسلط بر درس ریاضی دبیرستان ‌باشد که این امر صرفا زاییده علاقه شخصی به این درس است.
«این رشته نیازمند دانشجویانی است که از نظر ذهنی آمادگی جذب ایده‌های جدید را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درک کرده و مسایل غیرمتعارف را حل کنند. به عبارت دیگر یک روحیه علمی ، تفکر انتقادی و توانایی تجزیه و تحلیل داشته باشند.»
از آنجا که ریاضیات ورود به عرصه‌های ناشناخته و کشف قوانین آن است ، علاقمندی به مباحث ریاضی از همان دوران تحصیل در دبیرستان مشخص می‌شود. همین علاقمندی است که می‌تواند راه‌های بسیار سخت را برای دانشجوی این رشته هموار سازد.
یک ریاضیدان قبل از هرچیز باید جرات قدم‌گذاری در وادی ناشناخته‌ه را داشته باشد.
بطور کلی دقت ،‌تجزیه و تحلیل صحیح و صبر و پشتکار سه عامل اصلی در توفیق داوطلب در این رشته می‌باشد.

وضعیت نیاز کشور به این رشته در حال حاضر:
دکتر بابلیان معتقد است هر وزارتخانه یا شرکتی نیاز به افرادی دارد که علاوه بر دانستن الفبای کامپیوتر، دارای توانایی تجزیه و تحلیل و تصمیم‌گیری مناسب باشند. در این زمینه شرکتها می‌توانند فارغ‌التحصیلان ریاضی محض و یا کاربردی را جذب نمایند.
رشته‌های مختلف ریاضی جایگاه وسیعی در جامعه دارند از آن جمله :
تمام رشته‌های مهندسی ، رشته‌های مختلف علوم پایه (فیزیک ، شیمی ،‌زیست‌شناسی، زمین شناسی)، پزشکی، علوم کامپیوتر، اکتشافات فضایی،‌ بازرگانی، برنامه‌ریزیهای دولتی، غالب رشته‌های وابسته به صنعت ، مدیریت و رشته‌های مختلف کشاورزی به رشته ریاضی وابسته‌اند و از آن به طور مستقیم استفاده می‌کنند؛‌ همچنین بخش بزرگی از فعالیتهای اقتصادی و تولیدی کشور در طرحهای مختلف نظیر: نفت ، پتروشیمی، حمل و نقل و … ، مستقیم و یا غیرمستقیم از ریاضی استفاده می‌کنند.


منبع:http://www.academist.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:38 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7059.jpg
ریاضیات و زندگی
علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاجو در آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.
سیلوستر می‌گوید:”ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست.”
علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :” یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است.”
در حالت کلی ریاضیات راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.
آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.

ریاضیات و علوم
اکثر ریاضیدانان بگونه طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسایل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.
بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.
و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.
پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.
رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسیله را برای ما روشن تر میکند.
کارل فردریک گوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) روی نقشه های جغرافیایی کار می گرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.
می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.
جیمس کلارک ماکسول (۱۸۳۱-۱۸۷۹) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و ۲۵ سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (۱۸۵۶-۱۹۴۰) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال ۱۸۷۲ و سپس هلمهولتس (۱۸۲۱-۱۸۹۲) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۱ کرده بودند.
مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک “کوانتایی” معروف است.
بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.
آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟
در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دایمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.
موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:38 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7058.jpg
دید کلی
پرسشی که بارها از سوی دانش آموزان ، دانشجویان و حتی دبیران مطرح می‌شود این است که چرا ریاضیات می‌خوانیم؟ یا چرا ریاضیات تدریس می‌شود؟ چرا باید ریاضیات مورد توجه قرار گیرد؟ یا اصولا ریاضیات چه نقشی در زندگی می‌تواند داشته باشد و سوالاتی از این قبیل. آنچه مسلم است این است که نمی‌توان به این پرسشها در قالب یک یا چند جمله پاسخ قانع کننده‌ای داد. به طور کلی در جدال انسان برای رسیدن به اهداف خود ریاضیات نقش اساسی داشته و تا حد اعجاب آوری در پیشرفت و رشد تکنولوژی و مسایل پزشکی و ارتباطات نقش چشمگیر و قابل ملاحظه و انکار ناپذیر دارد.

ویژگی های ریاضیات
* اولین ویژگی ریاضیات دقت است، کم و زیاد شدن یک صفر ، مثبت یا منفی در نظر گرفتن یک رقم ، پس و پیش کردن یک نماد ، اضافه کردن یک کلمه و … هر کدام می‌تواند مساله‌ای را به جوابی دیگر رساند یا صورت مساله را عوض کند.
* دومین ویژگی ریاضیات ، خلاصه گویی و استفاده از مطالب ، قضیه‌ها و مساله‌های اثبات شده به عنوان ابزارهایی برای حل مساله‌های جدید است و این که همواره به دنبال داده‌های صحیح و کوتاه باشیم.

جنبه‌های مختلف ریاضیات
ریاضیات به عنوان یک ابزار
یعنی وسیله‌ای برای توصیف و تجزیه و تحلیل و انتقال آن ، به دلیل گنگ و نامفهوم بودن زبانهای معمولی.
ریاضیات به عنوان یک موضوع
ریاضیات علاقه می‌آفریند و لذت می‌بخشد و ارزش مطالعه محض و مستقل از کاربرد دارد که خود جنبه آزادی اندیشه را از قید زمان و مکان می‌طلبد چرا که در بسیاری از موارد مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضاهای آفریده شده توسط ریاضیدان صورت می‌گیرد. بطوری که بیشتر مفاهیم مهم ریاضی به واسطه همین ، امروز کاربرد زیادی پیدا کرده‌اند. همان طور که در ساختن بدن سالم نیاز به ورزش مکرر فیزیکی داریم.
ریاضیات به عنوان یک علم
یعنی از دیدگاه کاربردی که نقش و ارزش آن در جوامع کنونی بشری روز به روز مورد توجه قرار گرفته است و کاملا محسوس می‌باشد.
ریاضیات به عنوان یک مساله تربیتی
برای پرورش ونظم فکری و بالابردن قدرت اندیشه و استدلال منطقی همچنین رشد قوه خلاقیت ذهنی که شاید این جنبه از ریاضیات مهمترین هدف از تدریس آن می‌باشد.
ریاضیات از دیدگاه دانشمندان
* گالیله می‌گوید: اصول ریاضیات الفبای زبانی است که خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک یک کلمه هم غیر ممکن است. و انسان بیهوده در راهروهای تاریک و پر پیچ و خم سرگردان است.
* لیوناردو داوینچی معتقد است که: هیچ دانشی را نمی‌توان دانش واقعی دانست مگر این که به صورت ریاضیات متجلی شود.
* واجر بیکن معتقد است که: ریاضیات دروازه علوم است غفلت از ریاضیات به همه دانشها لطمه می‌زند زیرا کسی که علوم دیگر را نمی‌تواند درک کند و اشیای دیگر جهان را نمی‌شناسد. و بدتر از آن کسانی که نادانند نمی‌توانند جهالت خود را درک کنند.
* کانت می‌گوید: در هر بخش از علوم فیزیکی به معنای عام آن قدر از علم واقعی است که در آن ریاضیات وجود دارد یعنی علوم منهای ریاضیات یعنی هیچ.

فرجام سخن
بنابراین اگرفردی به هر دلیل در رسیدن به هدف از ریاضی کمک نگیرد، وظیفه خود را انجام نداده است و همچنین اگر شخصی توانایی را در این مورد بدست نیاورد نه تنها توفیقی به دست نمی‌آورد، بلکه در زندگی اجتماعی نیز از طریق راههای سالم پیروزی چشمگیر نخواهد داشت. می‌توان نتیجه گرفت که ریاضیات غذای مغز است. که باید بطور حساب شده به مغز برسد. همچنین ریاضیات مانند غلتکی است که جاده ناهموار و سنگلاخ علم را صاف و ناهموار می‌سازد تا دیگر علوم در گذر زمان سرعت بیشتری بگیرند.
منبع:http://www.academist.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:39 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7009.jpg



زمانی ، در دوره های نخستین شکل گیری مفهوم عدد ، برای نام بردن سه درخت و سه گوسفند ، از دو واژه ی مختلف استفاده می کردند و وقتی می خواستند از سه مرد صحبت کنند ، واژه ی سومی را به کار می بردند و این ، امری طبیعی بود : درخت به گوسفند و هیچ کدام از آن ها به مرد شباهتی نداشت .
بسیار طول کشید تا بشر توانست وجه مشترکی بین « سه درخت » ، « سه گوسفند » و « سه مرد» پیدا کند و متوجه شود که در هر سه حالت با «تعدادی» برابر سر و کار دارد . ولی وقتی این درک - یعنی درک ” مقدار” و ” کمیت ” – به وجود آمد و بشر به مفهوم «سه» (بدون این که آن را وابسته به چیز مشخصی مثل « درخت » یا « نیزه» بکند) پی برد ، نخستین گام را در جهت ” انتزاع” برداشت .
علم ، بررسی های علمی و ذهن علمی ، بدون انتزاع ممکن نیست . علم ، در همان حال که روی پدیده ها و فرآیندهای مادی کار می کند و طبیعت ( و هم جامعه ) آزمایشگاه بزرگ آن است ، برای پی بردن به قانون های حاکم بر طبیعت ( و جامعه ) چاره ای جز انتزاع ندارد
« درخت سیب » یا « درخت سپیدار » در طبیعت وجود دارند. ولی وقتی به طور کلی از « درخت » صحبت می کنیم ، در واقع ویژگی مشترک بسیاری از روییدنی ها را در نظر گرفته ایم و به یک انتزاع دست زده ایم .
« رنگ زرد» یا « رنگ سرد» را می توان در طبیعت مشاهده کرد ، ولی وقتی به طور کلی از واژه ی «رنگ» نام می بریم ، به چنان ویژگی توجه داریم که در همه ی رنگ های موجود و قابل مشاهده ، مشترک است .
« کمیت » ، « مقدار» ، « اندازه» و « تعداد» ، بیان های مختلفی از یک نوع ویژگی هستند که در مورد هر جسم مادی و بسیاری از فرآیندهای مادی می تواند به کار رود .
وقتی از حجم کره ی زمین ، میزان محصول سالیانه ی فلان کشت زار ، سرعت حرکت مریخ به دور خورشید ، مقدار برق لازم برای حرکت قطار زیر زمینی و غیر آن صحبت می کنیم ، با همین ویژگی سر و کار داریم .
انتزاع ، در تحلیل آخر ، نه به معنای جدا شدن از طبیعت ، بلکه برای شناخت دقیق تر و کامل تر قانون های حاکم بر طبیعت است.
ریاضیات ، به طور عمده ، از راه انتزاع های متوالی ، به بررسی دو مفهوم « کمیت » و «شکل» جسم های مادی می پردازد .
در این جا ، وقتی از کره صحبت می شود ، بدون توجه به رنگ و جرم و دوام و وزن و دیگر ویژگی های جسم ، تمامی دقت روی شکل آن ( کروی بودن ) متمرکز می شود و قانون مندی هایی که از این جهت ، در آن وجود دارد ، مورد بررسی قرار می گیرد .
۲. وقتی می نویسیم ۵=۳+۲ ، هم با انتزاع سر و کار داریم و هم با قرارداد . از آن جا که نگفته ایم چه چیزهایی را با هم جمع کرده ایم ، یک انتزاع انجام داده ایم ، در اینجا با یک ویژگی کلی سر و کار داریم : از کنار هم گذاشتن « دو مداد» با « سه مداد» ، « پنج مداد»
به دست می آید ، همان طور که اگر « سه کیلومتر» راه را بعد از « دو کیلومتر » قبلی طی کنید ، روی هم « پنج کیلومتر» راه رفته اید .
ولی نشانه های « ۲ » ، « ۳ » ، « ۵ » ، « + » و « = » ، نشانه های قراردادی هستند . این که چرا نشانه ی « = » برای بیان
” برابری” به کار می رود ، به ریاضیات مربوط نیست !!! در این مورد باید به پژوهشی تاریخی دست زد و روشن کرد که چه « دلیل هایی » سرانجام به اینجا رسیده است که در بین همه ی ملت های جهان ، آن را به مفهوم «برابری » بگیرند .
« = » یک نماد است ، نمادی برای بیان : برابری . همانطور که « ۵ » هم یک نماد است ، نمادی برای بیان عدد ” پنج ” .
برای مطالعه ی ریاضیات ، باید نمادها ( یا قراردادها) را شناخت . شما تنها وقتی می توانید با نماد f(x) کار کنید که معنا و تعریف ان را بدانید .
a۲ نمادی است و a۲> نمادی دیگر و ، طبیعی است ، اگر «تعریف» و معنای آن ها را ندانید ، نمی توانید عمل های ریاضی را با آن ها انجام دهید .

یادداشت ۱ :
یادآوری این مطلب ضروری است که : در بسیاری موردها ، ریاضیات نمی تواند بدون توجه به سایر ویژگی های ماده ( یعنی بدون توجه به ویژگی هایی از ماده ، که در دانش های دیگر مورد مطالعه قرار می گیرند ) ، حکم های جزمی خود را در همه ی زمینه ها سازگار کند .
ریاضی دان می گوید ۲۰ = ۱۰+۱۰ ، ولی شیمی دان در عمل مشاهده می کند که از روی هم ریختن ۱۰ لیتر آب با ۱۰ لیتر الکل ، نه ۲۰ لیتر ، بلکه ۱۹ لیتر « آب و الکل » به دست می آید . در این جا ، اگر به حجم واقعی محلول نظر داشته باشیم ، باید با توجه به ویژگی های شیمیایی اب و الکل بگوییم : ۱۹ = ۱۰ + ۱۰ .
در ریاضیات مقدماتی ، بدون هیچ تردیدی حکم می کنیم ۲ = ۱ + ۱ . ولی اگر منظور از این «جمع» محاسبه ی نتیجه ی عمل های دو نیروی یک کیلوگرمی باشند که به طور عمود بر هم بر جسمی اثر می کنند ، آن وقت ، نیروی « مجموع» ( منظور برآیند نیروها یا منتجه است ) ، به جای ۲ کیلوگرم برابر ۴/۱ کیلوگرم می شود .
ریاضی دان ، در همان حال که با نیروی انتزاع و با یاری گرفتن از نیروی قانون های درونی ریاضیات ، جلو می رود و « حقیقت هایی» را کشف می کند ، باید دایما به جهان واقع ، به طبیعت و جامعه ، مراجعه کند و هر جا لازم باشد ، نتیجه گیری های خود را با « واقعیت های موجود » تطبیق دهد .
یادداشت ۲ :
ذهن آدمی چنان است که بدون دستگیره ی مادی نمی تواند درباره ی چیزی بیندیشد و کار کند و ، به همین مناسبت ، هر وقت که انتزاعی انجام می گیرد ، در واقع ، دستگیره ای مادی جانشین دستگیره ی مادی دیگر می شود. وقتی با کسی که عدد نویسی نمی داند ، از سیصد و هفتاد و دو درخت صحبت کنیم ، تصور مبهمی از انبوهی درخت در ذهن او به وجود می آید ، ولی برای کسی که عدد نویسی را می داند ، رقم های « ۳ » ، « ۷ » و «۲ » در ذهن او ظاهر می شوند و ، بدون این که به مقدار واقعی ۳۷۲ درخت توجه کند ، نماد ۳۷۲ در ذهن او مجسم می شود . در این جا ، نماد نوشتنی ۳۷۲ ، همان دستگیره ی مادی است که جانشین « درخت ها » شده است .
۳. برای تعریف ، از هیچ نمی توان آغاز کرد . هر تعریفی به ناچار باید بر پایه ی تعریف های ساده تری استوار باشد . مثلا شما نمی توانید ، عمل « جمع » را تعریف کنید . بیان هایی از نوع « افزودن دو عدد به یکدیگر » ، در واقع ، یک دور باطل است . زیرا کاری نکرده اید جر این که به جای واژه ی « جمع» از واژه ی معادل « افزودن» استفاده کرده اید . به این ترتیب ، چاره ای نداریم جز اینکه « عمل جمع» را به همان صورتی که «حس» می کنیم و کم و بیش همه ی ما درباره ی آن « تصوری» داریم ، بپذیریم. هر تلاشی برای تعریف « عمل جمع » سر آخر ، منجر به این می شود که بگوییم ” جمع یعنی جمع ” !!!
ولی ، وقتی که « عمل جمع» را ، بدون تعریف ، بپذیریم ، دیگر می توانیم عمل های « تفریق» و «ضرب» را به کمک آن تعریف کنیم :
a - b = c ، یعنی اگر b را با c جمع کنیم a بدست می آید .
a * b = c ، یعنی اگر b را a مرتبه با خودش جمع کنیم ، عدد c حاصل شود .


منبع:http://www.academist.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:39 AM
!!



ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7003.jpg
در خراسان ما در سده های چهارم و پنجم هجری ، بسیاری از ریاضی دانان خراسانی ، به بررسی تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوریحان بیرونی » در کتاب خود به نام « آثار الباقیه عن القرون الخالیه » مسیله معروف صفحه شطرنج را که در واقع مسیله ای مربوط به یک تصاعد هندسی است که جمله ی اول آن واحد و تعداد جمله ها ۶۴ باشد ، حل کرده است و با استدلال دقیق ، مجموع جمله های این تصاعد را به دست آورده است
۱۸۴۴۶۷۴۴۰۷۳۵۵۱۶۱۵
درباره صفحه شطرنج ، روایتی وجود دارد . وقتی مخترع شطرنج ، کشف خود را به شاه عرضه کرد ، شاه از اوخواست پاداشی بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، یک دانه گندم به من بدهید و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ی گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ی گندم و همینطور برای هر خانه دو برابر خانه‌ی پیش از آن گندم به من بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید . ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا شد .که اگردر تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد ) گندم بکارند این مقذار گندم به دست نمی آید. ابوریحان بیرونی با استدلال به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها برابر ۲۶۴-۱ و برای محسوس کردن این عدد می گوید:در سطح کره مین ۲۳۰۵ کوه را در نظر می گیریم ، اگر از هر کوه ۱۰۰۰۰رود جاری شود ، در طول رود خانه ۱۰۰۰قطار قاطر حرکت کند و هرقطار شامل ۱۰۰۰قاطر باشد و بر هر قاطر ۸ کیسه گندم قرار داده باشیم . ودر هر کیسه ۱۰۰۰۰دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ی این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچکترمی شود.
به نظر شما جالب نیست؟

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:39 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7062.jpg
تاریخ پیدایش ریاضیات
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.

ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت ---------- کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.

ادامه دهندگان مسیر افلاطون
* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.

مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان
در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.
* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.
* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:40 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/02/7060.jpg
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می‌پندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بی‌احساس و بی‌ذوق می‌پندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته‌اش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر می‌شوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بی‌ذوقی ، بی‌احساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.
در واقع انسان ، مجموعه‌ای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی‌توان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بی‌فرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه‌ها و شکلها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است.

تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر
در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (۱۴۷۲ - ۱۴۰۴) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال ۱۴۳۵ میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آورند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لیوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تایید شد.

چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟
طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.

ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی
طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و … می‌کند.

زیبایی ریاضیات در کجاست؟
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارایه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.

زیبایی مسایل ریاضی
برای بسیاری از مسایل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسایل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید… زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند… عجب!… پس اینطور!… چه زیبا!… و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.
هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.

رابطه زیباشناسی ریاضی
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی
این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه می‌گردد.
منبع:http://www.academist.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:40 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/01/7007.jpg


در یک عبارت توان مانند a به توان x که a مثبت و ثابت و x عدد بزرگتر از یک باشد حاصل توان نیز زیاد میشود اما اگر a کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد (بین صفر و یک) حاصل توان کوچکتر میشود.
به عبارت دیگر برای مثال شما اگر ۲ را به توان سه برسانید میشود هشت که از دو بیشتر است , اما اگر یک دوم )که عددی بین صفر و یک است) را به توان ۳ برسانید می شود یک هشتم که از یک دوم کوچکتر است.این خاصیت اعداد است که اگر عدی در انها ضرب شود یا به توان برسند جوابشان کوچکتر میشود.

* ایا میدانستید که اگر یک عدد دو رقمی را انتخاب کنید(مثل ۴۷ یا ۸۹ و …) و
سپس عددهای ان را از خود عدد دو رقمی کم کنید(مثلا عدد ۴۷ : ۳۶ = ۷ - ۴ - ۴۷ )
عدد بدست امده همیشه مضربی از ۹ خواهد بود.

همچنین در مورد اعداد ۳ رقمی اگر چنین عملی شود
(مثلا ۷۲۳ : ۷۱۱ = ۳ - ۲ - ۷ - ۷۲۳ )حال اگر رقمهای عدد بدست امده را با هم جمع کنید۹ = ۱+۱+۷ همیشه جواب یا ۹ خواهد بود یا ۱۸.

* عدد ۶ به هر توان طبیعی که برسد رقم یکان جوابش ۶ و رقم دهگانش فرد است و رقم یکان نصف این عدد همیشه ۸ خواهد بود.

* ۴ تقسیم بر یک دوم ۸ خواهد بود که به نظر می اید میشود ۲.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:41 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/01/7292.jpg ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول، و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند مطالعهاعداد و اشکال است.تعریف ریاضیات بر حسب وسعت دامنة آن و نیز بسط دامنة فکر ریاضی تغییر کرده است.
ریاضیات زبانی خاص خود دارد،که در آن به جای کلمات و علایم نقطه گذاری از اعداد و نمادها استفاده میشود. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی میباشد.
نخستین اعداد ثبت شده خطوطی بودند که روی یک چوب کشیده میشدند،که اصطلاحا آنها را چوبخط مینامیدند.این خطوط به شکل دسته های کوچک دو یا پنج تایی کشیده میشدند.سرانجام به این دسته ها نمادهای خاصی اختصاص داده شد(۵،۲ و غیره)و یک دستگاه حساب ایجاد شد.
ریاضیدانان نمادهای خاصی را به جای کلماتی از قبیل به اضافه و مساوی است با وضع کردند،همچنین کلمات خاصی را برای بیان مفاهیم جدید ابداع کردند.
چنانکه زمانی آن ار علم عدد ، زمانی علم فضا ، گاه علم کمیات ، و زمانی علم مقادیر متصل و منفصل خوانده اند.ریاضیات درباره حساب ، هندسه ، جبر و مقابله بحث می کند که ما در اینجا به سراغ تاریخ هر یک از آنها می رویم.
ساختارهای بخصوصی که در ریاضیات مورد تحقیق و بررسی قرار میگیرند اغلب در علوم طبیعی منشاء دارند، و بسیار عمومی در فیزیک، ولی ریاضیات ساختارهای دلایلی را نیز بررسی می نماید که بصورت خالص در مورد باطن ریاضی است، زیرا ریاضیات می توانند برای مثال، یک عمومیت متحد شده را برای زیر-میدانهای متعدد، یا ابزارهای مفید را برای محاسبات عمومی، فراهم نماید. در نهایت، ریاضیدانان بسیاری در مورد مطالبی که مطالعه می نمایند که منحصرا دلایل علمی محض داشته، ریاضیات را بصورت هنری برای پروراندن علم، صرف نظر از تجربی یا کاربردی، می نگرند.
حساب ، علم اعداد است. واژه انگلیسی حساب ، از کلمه ای یونانی به معنای اعداد گرفته شده است.
در آغاز شهرنشینی ، انسان گوسفندان ، گاوها و سایر حیوانات خود را با انگشتانش می شمرد. در واقع کلمة دیژیت که برای شمارش اعداد از ۰ تا ۹ به کار می رود، از یک کلمة لاتین به معنای انگشت گرفته شده است.
بعدها انسان با علامت زدن روی چوب یا درخت ، اشیاء را می شمرد. اما این روش به زودی جای خود را به استفاده از علامتهایی باری هر یک از اعداد داد.
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:41 AM
حساب



ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/ordibehesht/14/7161.jpg
حساب قدیمی‌ترین شاخه ریاضیات است. احتمالاً پیدایش این فن ناشی از نیاز انسان به شمارش اشیا و دارایی‌ها بوده است.
پایه‌ای‌ترین عملیات حساب جمع و تفریق و ضرب و تقسیم است.
آموزش حساب از گذشته‌های دور جزو برنامه آموزشی کودکان دبستانی بوده است.
ریاضی‌دانان معمولاً حساب را با نظریه اعداد مترادف می‌دانند.
واژهٔ حساب
واژه حساب از محاسبه می‌‌آید. در زبانهای اروپایی، به آن “آریتمه تیک” (Arithmetic) می‌گویند که از واژه یونانی “آریتموس”(به معنای عدد) می‌آید. در زبان فارسی، دو کتاب از محمد فرزند ایوب طبری، اهل آمل مازندران، به نام‌های “شمارنامه” و “مفتاح المعاملات” در دست است که در سده چهارم و پنجم هجری نوشته شده است. محمد ایوب طبری “شمار” را به جای حساب و “شمار نامه” را به معنای “کتاب حساب” گرفته است. “شمار” یا “شُمَر” از زبان پهلوی ساسانی آمده که گاهی هم “مَر” میگفته اند. بنابراین می‌توان در زبان فارسی واژه نادرست “ریاضیات” را که از واژه “ریاضت” آمده است و از مضمون این دانش، هیچ نشانی ندارد، به “راز و مر” تبدیل کرد. “راز” که در واژه‌های “تراز” و “ترازو” آمده است، به معنای مقایسه کردن و “مَر” به معنای محاسبه کردن است، که روی هم، مضمون و جوهر “ریاضیات” (دست کم به معنای نخست آن) را میرساند. از ابوریحان بیرونی هم کتابی باقی مانده (به زبانهای فارسی و عربی) به نام “التفهیم” که گرچه درباره اخترشناسی است، ولی در پیش در آمد آن، عمل‌های مربوط به حساب شرح داده شده است. این کتابها (شمار نامه، التفهیم و مفتاح المعاملات)، بجز آشنایی با دانش ریاضی، ما را با برخی اصطلاحات فارسی مانند افزوذن (به جای جمع)، کاستن (به جای تفریق)، زدن (به جای ضرب) و جز آن آشنا می‌کند.
تاریخچه
حساب، دانش عدد، عملهای مربوط به آن و بیان ویژگیهای عدد است. در زندگی روزانه، در هر گامی که بر میداریم، به حساب نیازمندیم. فرهنگ انسانی را بدون “حساب” و “عدد” نمی‌توان تصور کرد، به این دلیل است که هر انسانی باید دست کم، از مقدمه‌های دانش حساب، آگاه باشد. حساب کهن‌ترین بخش از دانش ریاضی است و سرچشمه‌های آن را باید در ژرفای تاریخ بشر جست و جو کرد. بسیاری از قوم‌ها و ملت‌های باستانی، از جمله ایرانی ها، مصری‌ها و چینی ها، بابلی‌ها و عیلامی‌ها (که در جنوب و جنوب غربی ایران زندگی می‌کردند و امپراتوری بزرگی را تشکیل دادند) و حتی قوم‌هایی از ساکنان بومی امریکا مانند مایاها و آزتک ها، با حساب کار می‌کردند. آنها، به حساب، برای شمردن و اندازه گرفتن چیزها (از هر نوعی که باشد) نیازمند بودند. از جمله، مصری‌ها برای محاسبه تعداد و اندازه سنگهایی که در ساختن هرمها به کار می‌بردند، نیاز داشتند، همچنین ارتفاع هرم، سطح قاعده آن و حجم هرم را محاسبه می‌‌کردند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:41 AM
ریاضی - ریاضی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/ordibehesht/14/7160.jpg
حسابان یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است. این رشته از تحول جبر و هندسه ناشی شده است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال.)
نام‌گذاری
این رشته را در زبان انگلیسی calculus می‌خوانند. واژه “کلکول” اصلاً از زبان یونانی آمده و به معنای ریگ و قلوه سنگ است. نام این رشته یادگار دورانی است که یونانیان با چیدن ریگ بر زمین مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.
در گذشته در فارسی به این رشته “حساب جامعه و فاضله” و نیز “حساب دیفرانسیل و انتگرال” گفته می‌شد. در سال‌های اخیر واژه “حسابان” به‌کار می‌رود که اشاره به دو شاخه فرعی این رشته دارد.
مفاهیم اصلی
حسابان بر پایه دو مفهوم اصلی و مربوط به هم یعنی مشتق و انتگرال بنا شده است. مشتق بیان نسبت تغییرات یک کمیت به کمیت دیگر است. انتگرال بیان جمع کمیت‌هاست. هر دوی این مفاهیم با مفهوم حد مرتبط‌اند.
کاربردها
حسابان در بیشتر رشته‌های علمی و فنی کاربرد دارد.
مباحث پایه
حساب تغییرات یک تابع،مشتق،کاربردهای مشتق،انتگرال،کاربردهای انتگرال معین،روشهای انتگرال گیری،توابع هایپربولیک،مختصات قطبی،دنباله و سری،سریهای توانی،بردارها،توابع برداری و حرکت آنها،رویه ها ، سیستم های مختصات و رسم آنها

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:42 AM
ریاضی - ریاضی
یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.


اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.
هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.
البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.
البته بعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.
اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .
این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:42 AM
ریاضی - ریاضی
طول
۲۵٫٤۰۰ ميليمتر = ۱ اينچ
۰٫۰۷۸۷٤ اينچ = ۱ ميليمتر
۰٫۹۱٤٤ متر = ۱ يارد
۱٫۰۹۳٦ يارد = ۱متر
۱٫٦۰۹۳ کيلومتر = ۱ مايل
۰٫٦۲۱٤ مايل = ۱ کيلومتر

مساحت
۰٫۱۵۵۰۰ اينچ مربع = ۱ سانتي متر مربع
٦.٤۵۲ سانتي متر مربع = ۱ اينچ مربع
۰٫۰۹۲۹۰ متر مربع = ۱ فوت مربع
۱۰٫۷٦٤ فوت مربع = ۱ متر مربع
۰٫۸۳٦۱ متر مربع = ۱ يارد مربع
۱٫۱۹٦۰ يارد مربع = ۱ متر مربع
۰٫٤۰٤۷ هکتار = ۱ اکر
۲٫٤۷۱ اکر = ۱ هکتار
۲٫۵۹۰۰ کيلومتر مربع = ۱ مايل مربع
۰٫۳۸٦۱ مايل مربع = ۱ کيلومتر مربع

حجم
۰٫۰۲۸۳۲ متر مکعب = ۱ فوت مکعب
۳۵٫۳۱۵ فوت مکعب = ۱ متر مکعب
۰٫۷٦٤٦ متر مکعب = ۱ يارد مکعب
۱.۳۰۸۰ يارد مکعب = ۱ متر مکعب
۰٫۵٦۸۲٦ ليتر = ۱ پاينت
۱٫۷۵۹۷٦ پاينت = ۱ ليتر
٤٫۵٤٦۰۹ ليتر = ۱ گالون
۰٫۲۱۹۹۷ گالون = ۱ ليتر

وزن
۲۸٫۳۵۰ گرام = ۱ اونس
۰٫۰۳۵۲۷٤ اونس = ۱ گرام
۰٫٤۵۳۵۹ کيلوگرام = ۱ پوند
۲٫۲۰٤٦ پوند = ۱ کيلوگرام
۱۰۰۰ کيلوگرام = ۱ تن
۰٫۹۸٤۲ تن = ۱ کيلوگرام

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:42 AM
ریاضی - ریاضی
صورت قضیه

اگر تابع f روی فاصله ی بسته [a,b] پیوسته باشد ، آنگاه f روی [a,b] دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار می نیمم مطلق است .

توضیح

همانطور که از صورت قضیه ملاحظه می شود ، شرط کافی برای وجود ماکسیمم مطلق و مینیمم مطلق ، پیوسته بودن تابع در فاصله ی بسته [a,b] است . ولی با این وجود این شرط لازم نیست ، چون تابعی می توان نشان داد که در فاصله ای پیوسته نباشد ، ولی دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق باشد . یا به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه ای ناپیوسته است ، پس ماکسیمم و مینیمم مطلق ندارد ؛ اما اگر تابعی در فاصله ی بسته ای پیوسته باشد ، آنگاه حتماً دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق است .

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:43 AM
علم جبر



ریاضی - ریاضی
علم جبر شاخه‌ای از ریاضیات است که شامل مفاهیم کمیت و ساختار است. در جبر از نشانه‌ها و معادلات برای نشان دادن ارتباط بین مفاهیم جبری استفاده می‌کنند.
متغیرها و ثابت‌های مختلفی در معادلات جبری وارد می‌شود و طبق اصول خاصی که برای هر کدام از انواع این معادلات مقرر شده مقادیر متغیرها به دست می‌آید.
علم جبر نخستین بار از مشرق‌زمین شروع شد و دانشمندانی چون خوارزمی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی در این علم بسیار کار کردند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:43 AM
ریاضی - ریاضی
'فلسفهٔ تحلیلی (Analytic philosophy) فلسفهٔ آکادمیک حاکم بر دانشگاههای کشورهای انگلیسی زبان (آنگلو-ساکسون) است. فلسفه تحلیلی را در مقابل فلسفه قاره‌ای یا فلسفه اروپایی قرار می‌دهند. بنیانگزاران اصلی فلسفه تحلیلی فیلسوفان کمبریج برتراند راسل و جرج مور بودند. این دو از ریاضیدان و فیلسوف آلمانی گوتلوب فرگه تأثیر پذیرفته بودند.
این گونه فلسفه بر روشن بودن، بامعنی بودن و ریاضی‌وار بودن جستارهای فلسفی تاکید فراوان دارد.و به تفکر مابعدالطبیعی شازنده به دیدهی شک یا دشمنی مینگرند معتقدند که روش تحلیل خاصی وجود دارد که فلسفه فقط از ان طریق می‌تواند به نتایج مطمئن دست یابد تا حد زیادی از حل و فصل تدریجی مسائل فلسفی جانبداری می‌کنند .فیلسوفان تحلیلی قرن ۲۰ توجه خود را در اصل بر نه بر تصورات موجود در ذهن بلکه بر زبانی که اندیشیدن ذهنی از طریق ان بیان میشود معطوف داشته‌اند . برتراند راسل و ج.ا.مور فلسفه ی تحلیلی را با به کار انداختن منطق جدید -که راسل سهم زیادی در ان داشته است-به عنوان ابزار تحلیل بنیاد نهادند. (فرهنگ اندیشه ی نو .اولیور استلی برس .الن بولک .ویراستار ع.پاشائی ._تهران:مازیار ۱۳۶۹)
منطق و فلسفه زبان از همان ابتدا از بحثهای محوری فلسفه تحلیلی بودند. چند تفکر از بحثهای مربوط به زبان و منطق در فلسفه تحلیلی پدید آمد مانند پوزیتویسم منطقی، تجربه گرایی منطقی، اتمیسم منطقی، منطق‌گرایی و فلسفه زبان متعارف. فلسفه تحلیلی بعدها بحثهای وسیعی را در حوزه‌های زیر مطرح ساخت: فلسفه اخلاق (هر و مکی)، فلسفه ---------- (جان رالز)، زیبایی شناسی (ریاچارد ولهایم)، فلسفه دین (الوین پلانتینگا)، فلسفه زبان (ساول کریپکی، هیلری پاتنم، کواین)، فلسفه ذهن (جیگون کیم، دیوید چالمرز، هیلری پاتنم). متافیزیک تحلیلی نیز اخیراً در کارهای فیلسوفانی همچون دیوید لوئیس و پیتر استراوسن شکل گرفته‌است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:43 AM
ریاضی - ریاضی

24×21 =504 12×84 =1008

42 ×12=504 21×48 =1008



12×63 =756 84×36 =3024

21×36 =756 48×63 =3024



13×62 =806 36×42 =1512

31×26 =806 63×24 =1512



23×96 =2208 84×24 =2016

32×69 =2208 48×42=2016

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:44 AM
انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود.

پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.

در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند.

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.

هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.



در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.

بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.

منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.

در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.

وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است.

دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست.

قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.



برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد.

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا 30 رقم اعشار آن را بدست آورد.

همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبة عددی را یک قدم قطعی بجلو برد.

کوپرنیک(1543_1473) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «دربارة دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومة شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست:

مرکز منظومة شمسی، خورشید است نه زمین.

در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.

زمین در هر 24 ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کرة ستاره‌های ثابت.

پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت.

پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد.

همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:45 AM
قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه‌آسا است. از فعالترین دانشمندان این قرن کشیشی پاریسی بود بنام مارن مرسن که می‌توان وی را گرانبهاترین قاصد علمی جهان دانست. این شخص اطلاعات لازم را به دانشمندان می‌داد و به ملاقات ایشان می‌رفت و هر هفته آنان را در کلبه خود جمع می‌کرد و وسیله تبادل افکارشان را فراهم می‌ساخت. و حتی برای اینکه بتواند آثار علمای مزبور را منتشر کند، شخصاً چاپخانه‌ای تهیه کرد و رابط مابین گالیله،دکارت،فرما و دیگران شد. به مدد همین اجتماعات بود که کولیر توانست آکادمی علوم پاریس را در سال 1666 تأسیس کند.

در سال 1609گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می‌کرد. وی یکی از واضعین مکتب تجربی است.

مخالفت او با اصول ارسطو اشکالات بزرگی برای وی تولید کرد و می‌دانیم که در سال 1663 وی در سن هفتاد سالگی در برابر دادگاه تفتیش عقاید حاضر شد و چون بعد از کوپرینک اول کسی بود که حرکت زمین را به دور خورشید تأیید کرد محکوم گردید. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف کرد و آن عبارت است از ازدیاد سرعت در هر ثانیه و همچنین قوانین حرکت گلوله روی سطح افقی و سطح شیبدار نیز مطالعه نمود. گالیله موفق به اختراع دوربینی گردید که هنوز هم نام او را همراه دارد.

در همان اوقات که گالیله نخستین دوربین خود را به سوی آسمان متوجه نمود در 31 مارس 1596در تورن فرانسه رنه‌ دکارت بدنیا آمد.

وی به زودی با مارن مرسسن که یکی از همکلاساش بود دوست شد و پس از یکدوره فعالیتهای نظامی و مسافرتهای متعدد به پاریس و هلنددر سال 1650 درسوئد زندگی را بدرود گفت. دکارت در میان همه کارهایش از عرضه نمودن افکار فلسفی خود در روابط بین انسان و طبیعت غفلت ننمود. کتاب وی به نام دیوپتریک که موضوع آن مسائل مربوط به مبحث نور بویژه انکسار می‌باشد جزو برجسته‌ترین آثار اوست.

نام ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی «پول گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذکر کرد. شهرت وی بخصوص بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا می‌باشد و در کتابی به نام «مرکز ثقل» ذکر شده است.

دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی‌یردوفرما ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی است که در سال 1601 در بومون دوکانی متولد شد و در 1665 در کاستر درگذشت.

وی مطالعات عمیق و جالبی درباره ریاضیات مطلق و نور کرد. یکی از برجسته‌ترین آثار او «تئوری اعداد» است که وی کاملاً بوجود آورنده آن می‌باشد. در هندسه، فرما در همان زمان دکارت و مستقل از او مبانی هندسه تحلیلی را کشف کرد، گذشته از آن وی از دکارت نیز تجاوز نمود و اولین کسی است که این علم را در مورد فضای سه بعدی بکار برد.

تجسمات رفیع و استادانه او در حساب عالی است تا جائی که استدلال بعضی از قضایای او فقط یک قرن بعد بوسیله کسانی از قبیل اولرولاگرانژ باز یافته شد و یکی از قضایای او را حتی امروز نیز نتوانسته‌اند ثابت کنند.

ریاضی‌دان بزرگ دیگری که در این قرن به خوبی درخشید ژیرار دزارک فرانسوی می‌باشد که بیشتر به واسطه کارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافته بود. دزارک در هندسه آثاری ارزشمند دارد ومی‌توان گفت که وی راه به سوی آنچه که «هندسه جدید» نامیده می‌شود بازکرد. او نخستین کسی است که درباره اشکال هندسی تنها به روابط متری مابین کمیات اکتفا نکرد و خواص تصویری را نیز در نظر گرفت و هندسه وضعی را پدید آورد.

و بالاخره ریاضی‌دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال را باید نام ببریم که بواسطه ترازوی مشهوری که نام او را همراه دارد همه جا معروف است.

در اواسط قرن هفدهم کم‌کم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بینهایت کوچک در تاریکی و ابهام بوجود آمد و رفته‌رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید و فکرها را بدان‌ سوی متوجه ساخت. این نکته را نیز بایستی متذکر شد که مرکز ثقل علمی اروپا تغییر کرده بود:ایتالیا که مدتهای مدید درخشیده بود کم‌کم به خاموشی می‌گرائید. آلمان بلافاصله بعد از کپلر دچار جنگهای سی ساله شد و دیگر تا هنگام درخشیدن لایب نیتس گفتگوئی از آن در میان نبود.انگلستاندر انتظار پیدایش موجود مافوق بشری همچون نیوتن بود و کشور هلند به انتظار هویگنس تنها به تربیت مردان علاقمند و متبحر اکتفا می‌کرد. در این احوال کشور فرانسه اولین مقام علمی را اشغال کرده بود. کدام کشور می‌توانست مدعی وجود کسانی همچون دکارت،فرما، دزارک ، روبروال و پاسکال باشد.

بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما یکی از سه ریاضی‌دان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می‌توان ارزش او را در علم فیزیک برابر گالیله دانست. او هنگامی که هنوز آنقدر کم سن بود که خط راست را میله و دایره را گردی می‌نامید بدون آنکه هرگز کتاب هندسه‌‌ای دیده باشد بسیاری از احکام سی‌ و دو قضیه اولیه اقلیدس را خود به خود کشف کرده بود. درسن شانزده سالگی کتابی درباره مقاطع مخروطی نوشت و هنوز یکی از قضایای آن به نام او مشهور است، همچنین در هیجده سالگی یعنی در سال 1641 نخستین ماشینحسابرا اختراع کرد که هنوز در کنسرواتوار صنایع و مشاغل محفوظ است.



درایتالیا آثار کاوالیری فصل جدیدی در هندسه بوجود آورد. وی در سال 1629 ایده‌آلهای ارشمیدس را تحت عنوان «هندسه غیر قابل تقسیمها» دنبال نمود و در 1635 نیز کتابی به همین نام انتشار داد. طبق نظر او هریک از اجزاء مرتباً تقسیم بدو می‌شدند و بی‌نهایت کوچک می‌گردیدند. همچنین اولین جستجوهای مربوط بهحساب بی‌نهایت کوچکها از اوست.

در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق و کنجکاوانه‌ای دنبال شد. سه نابغه فناناپذیر این دوره یعنیاسحاق نیوتنانگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن کرده بودند.

اسحاقاسحاق نیوتن روز چهارم ژانویه سال 1643 در وولسی تورپ واقع در ناحیه لینکولشایر متولد شد و در بیستم مارس 1827 در گذشت. وی در هیجده سالگی جزو شاگردان مجانی وارد دانشگاه کمبریج شد و در آنجا ابتدا آثار اقلیدس و سپس هندسه دکارت را مطالعه کرد. در سال 1673 با کتاب هویگنس بنام «درباره نوسان ساعتها» که برای اولین‌بار اصول مکانیک آسمانی را شامل بود آشنائی یافت. مسلماً این کتاب موجب تقویت افکار او درباره قانون جاذبه گردید و کم‌کم می‌خواست او را بستوه آورد. در این هنگام وی تصمیم گرفت افکاری را که تا آنروز در مغز خود محفوظ داشته بود روی کاغذ آورد و بنا بر این از سال 1684 به نوشتن کتاب «اصول» مشغول شد. وی تحت عنوان «حسابفلوکسیونها» روش نوینی برای پیشرفت حساب بی‌نهایتکوچکها ایجاد نمود که باعث ترقی و توسعه علم‌القوا یا دینامیک گردید.

لایپ نیتس در سوم ژوئیه سال 1646 یعنی سه سال بعد از تولد اسحاق نیوتن در شهر لایپزیک آلمان چشم به دنیا گشود. وی درهمه بخشهای معارف بشری مطالعات عمیق کرد، و در همه آنها مطالب درجه اولی کشف نمود. ریاضیات، حقوق، مذهب، سیاست، تاریخ، ادبیات، منطق، مابعدالطبیعه و فلسفه هریک پس از دیگری توجه او را جلب کرد. در سال 1684 با انتشار مقاله‌ای درباره حساب عناصر بی‌نهایت کوچک انقلابی برپا کرد. وی در این مقاله یک منحنی را مرکب ازبی‌نهایت پاره‌خط راست که هریک بی‌نهایت کوچک بودند فرض کرده بود و اگر می‌خواست کمیتی مثل حرارت را مورد مطالعه قرار دهد که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر می‌کرد چنین تصور می‌کرد که این تغییرات تشکیل یافته است از مجموع بی‌نهایت تغییرات کوچک، و این تغییرات جزئی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. با کشف دیفرانسیل وسیله جدیدی برای تحقیق آنالیز بوجود آمد. ورود آنالیز عناصر بی‌نهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم طوفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد و به آن صورت جدیدی بخشید.

هویگنس در 14 ماه آوریل 1629در شهر لاهه متولد شد. وی در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با اسحاق نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در بسط و توسعه علوم دقیقه روشن گردد. همچنین هویگنس دست به اصلاح ساعت زد و به این منظور دنباله تجسسات گالیله را گرفت.

در قرن هیجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. تمام جهد و کوشش دانشمندان مصروف این می‌شد تا با وسایل جدید نتایج کشفیات اساسی متقدمین را توسعه دهند.

در اوایل این قرن موارد استعمال حساب بی‌نهایت کوچک‌ها در منحنی ‌ها و رویه ها کشف گردید و همچنین حساب احتمالات تکمیل شد، باضافه کشفیات سرشار اسحاق نیوتن درباره مکانیک آسمانی که مدتی بدون انعکاس ماند مخصوصاً به کمک دانشمندان فرانسوی بسط داده شد.

دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک بکار برد و از روشهای آن استفاده کرد و احکامی را که تا آنزمان فقط جنبه استنتاجات هندسی داشت به معادله گذارد ومبنای تمام این بنای عظیم فقط اصل ساده‌ای بود، دالامبر با خود گفته بود: وقتی که جسمی حرکت می‌کند دلیل برآنست که نیروئی بر آن وارد می‌شود، بنابراین حتماً مابین این نیروها و تغییراتی که در حرکت ایجاد می‌شود تساوی یا تعادل وجود دارد، به عبارت دیگر گوئی که جسم با وجود حرکت در حال تعادل است.

کلرو رقیب او در 18 سالگی کتابی بنام «تفحصات درباره منحنی‌های دوانحنائی» انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله‌ای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب جالب توجهی مخصوصاً در اطراف مکانیک آسمانی و هندسهبی‌نهایتکوچکها بود.

در اواسط این قرن هویگنس و نیوتون درباره معماری نور به موشکافی پرداختند.

اسحاق نیوتن در ضمن آزمایشهای خود به این نتیجه رسید که نور سفید تمام انوار مختلف را شامل است وبرای امتحان صحت این موضوع اشعات رنگین مختلف را با هم مخلوط کرد و از مجموعه آنها نور سفید بدست آورد و برای اینکه استدلال خود را قوی سازد دسته‌ای از نور سفید حاصل را روی تیغه باریکی انداخت و یک سلسله حلقه‌های رنگین بدست آورد که نام حلقه‌های اسحاق نیوتن روی آنها مانده است.



ریاضی‌دانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوق‌العادة آنالیز ریاضی عناصر بی‌نهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد.

منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار می‌کرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد.

آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد.

همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس می‌کوشیدند می‌توان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهای آلمان فرار کرده بودند.

ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس می‌کرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم می‌داد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد.

دیگر لئونارداولر ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی است که در 15 آوریل 1707م در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783م در روسیه درگذشت.

در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال 1789م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد.

ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوه‌های شیرین دوران انقلاب را می‌چیدند.

لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضی‌دانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در 19 سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار می‌گرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال 1788م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار می‌آید. همچنین در سال 1797م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام می‌کرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» می‌نامید در دهم آوریل 1813 در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت.

لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (1812) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (1814) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال 1799تا سال 1825 کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد.

گاسپارمونژ، این ریاضی‌دان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش می‌دهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح می‌‌نمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت 15 سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بی‌نهایت کوچکها را در فضای سه‌بعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضی‌دان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد.

ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سری‌های مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:45 AM
یکی دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی‌پوآسون (1840_ 1781) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می‌باشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات کرد. وی تئوریهای مهم اولر، لاگرانژ و لاپلاس را در مورد جاذبة اسحاق نیوتنی که به تئوری پتانسیل مشهور است در مورد الکتریسیته بکار برد و از 1824 آنها را در مورد مغناطیس نیز تعمیم داد. در سال 1828 این تئوریها به وسیلة ریاضی‌دان انگلیسی جورج گرین اصلاح شد و این شخص واضع دستور مهمی بنام فرمول گرین است که تمام ریاضی‌دانان آنرا به خوبی می‌شناسند.

گاوس ریاضی‌دان شهیر آلمانی که عنوان «پرنس ریاضی‌دان» بحق شایستة اوست، این تئوریها را مورد مطالعه قرار داد و تئوری کامل مغناطیس را بوجود آورد. مقام گاوس از لحاظ علمی همتای اسحاق نیوتن و ارشمیدس است. از اکتشافات درخشان او اولین دورة هندسه دیفرانسیل می‌باشد که منظور از آن مطالعة منحنیات و سطوح در نقاط بسیار نزدیک با یک نقطة بخصوص می‌باشد. مطالعات او دربارة انحناء و ترسیم نقشه‌ها و نمایش سطوح بر صفحات، اصلی و اساسی می‌باشد.

کوشی فرانسوی، این ریاضی‌دان پرشور که در سراسر نیمة اول قرن نوزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوریهای زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد و آنالیز را واجد دقتی کرد که هندسه از زمان اقلیدس به بعد افتخار آنرا داشت. وی از سال 1820 تا سال 1830 تئوری توابعی را که دارای یک متغیر موهومی هستند بنا نهاد. این تئوری که امروزه بزرگترین عنوان افتخار او محسوب می‌شود‌، دانشمندان بزرگی نظیر ریمان، وشتراس، هرمیت و پوانکاره را بخود مشغول داشت.

علاوه بر مکتب ریاضیات فرانسوی و آلمانی مکتب ریاضیات دیگری وجود داشت و آن مکتب ریاضیات انگلیسی بود که کم‌کم از تاریکی خارج می‌شد. از نوابغ بزرگ این کشور ویلیام روون هامیلتون ایرلندی را بایستی نام برد که از لحاظ پیش‌رسی عجیب بود. در 5 سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را می‌خواند و ایتالیائی و فرانسوی را در 8 سالگی و عربی و سانسکریت را در 10 سالگی آموخت و در 14سالگی برای سفیر ایران خطابة خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد. این استعداد بی‌مانند بزودی متوجه علوم گردید بطوری که در 17 سالگی هامیلتون تمام حساب انتگرال را بخوبی می‌دانست و خسوف و کسوف را بخوبی پیش‌بینی می‌کرد و در 22سالگی استاد نجوم گردید. کارهای او بخصوص مربوط به مبحث نور، دستگاههای اشعه و مبحث دینامیک است. وی ملاحظات گاوس را درفضای سه بعدی تعمیم داد و در سال 1843 اولین اکتشاف خود را درباره کوآترنیون‌ها یعنی جبر فضائی که تعمیم جبر گاوس و کوشی می‌باشد به آکادمی سلطنتی ایرلند تقدیم کرد. تقریباً در همین فکر را نه تنها در مورد فضای سه بعدی بلکه به فضای n بعدی تعمیم داد.

دوپیش درآمد ناگوار در حدود سال 1830 تاریخ علم را تاریک ساخته است. آبل نروژی و گالوای فرانسوی‌، پس از یک زندگانی بسیار کوتاه و پرهیجان در حالی که نتیجه با ارزش کشفیات اساسیشان شناخته نشده بود با رنج و مرارت درگذشتند.

نیل هنریک آبل متولد اوت 1802 در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال 1825 به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقاله‌ای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفه‌ای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.

آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل 1829م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمی‌دانست که دو سال پیش مرده است.

گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه‌ای اندوهبار گشوده است در 26 اکتبر 1811م در پاریس متولد شد. در 14 یا 15 سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می‌نمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات ---------- شد،‌ او عقیده داشت:

«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»

گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیز‌تر از شب 29ماه مه 1832وجود نداشته باشد.

گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال ساده‌تر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار می‌رود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.

http://www.ed.gov/offices/OERI/ORAD/KAD/expert_panel/2mathgr.gif یکی دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی‌پوآسون (1840_ 1781) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می‌باشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات کرد. وی تئوریهای مهم اولر، لاگرانژ و لاپلاس را در مورد جاذبة اسحاق نیوتنی که به تئوری پتانسیل مشهور است در مورد الکتریسیته بکار برد و از 1824 آنها را در مورد مغناطیس نیز تعمیم داد. در سال 1828 این تئوریها به وسیلة ریاضی‌دان انگلیسی جورج گرین اصلاح شد و این شخص واضع دستور مهمی بنام فرمول گرین است که تمام ریاضی‌دانان آنرا به خوبی می‌شناسند.

گاوس ریاضی‌دان شهیر آلمانی که عنوان «پرنس ریاضی‌دان» بحق شایستة اوست، این تئوریها را مورد مطالعه قرار داد و تئوری کامل مغناطیس را بوجود آورد. مقام گاوس از لحاظ علمی همتای اسحاق نیوتن و ارشمیدس است. از اکتشافات درخشان او اولین دورة هندسه دیفرانسیل می‌باشد که منظور از آن مطالعة منحنیات و سطوح در نقاط بسیار نزدیک با یک نقطة بخصوص می‌باشد. مطالعات او دربارة انحناء و ترسیم نقشه‌ها و نمایش سطوح بر صفحات، اصلی و اساسی می‌باشد.

کوشی فرانسوی، این ریاضی‌دان پرشور که در سراسر نیمة اول قرن نوزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوریهای زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد و آنالیز را واجد دقتی کرد که هندسه از زمان اقلیدس به بعد افتخار آنرا داشت. وی از سال 1820 تا سال 1830 تئوری توابعی را که دارای یک متغیر موهومی هستند بنا نهاد. این تئوری که امروزه بزرگترین عنوان افتخار او محسوب می‌شود‌، دانشمندان بزرگی نظیر ریمان، وشتراس، هرمیت و پوانکاره را بخود مشغول داشت.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:46 AM
علاوه بر مکتب ریاضیات فرانسوی و آلمانی مکتب ریاضیات دیگری وجود داشت و آن مکتب ریاضیات انگلیسی بود که کم‌کم از تاریکی خارج می‌شد. از نوابغ بزرگ این کشور ویلیام روون هامیلتون ایرلندی را بایستی نام برد که از لحاظ پیش‌رسی عجیب بود. در 5 سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را می‌خواند و ایتالیائی و فرانسوی را در 8 سالگی و عربی و سانسکریت را در 10 سالگی آموخت و در 14سالگی برای سفیر ایران خطابة خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد. این استعداد بی‌مانند بزودی متوجه علوم گردید بطوری که در 17 سالگی هامیلتون تمام حساب انتگرال را بخوبی می‌دانست و خسوف و کسوف را بخوبی پیش‌بینی می‌کرد و در 22سالگی استاد نجوم گردید. کارهای او بخصوص مربوط به مبحث نور، دستگاههای اشعه و مبحث دینامیک است. وی ملاحظات گاوس را درفضای سه بعدی تعمیم داد و در سال 1843 اولین اکتشاف خود را درباره کوآترنیون‌ها یعنی جبر فضائی که تعمیم جبر گاوس و کوشی می‌باشد به آکادمی سلطنتی ایرلند تقدیم کرد. تقریباً در همین فکر را نه تنها در مورد فضای سه بعدی بلکه به فضای n بعدی تعمیم داد.

دوپیش درآمد ناگوار در حدود سال 1830 تاریخ علم را تاریک ساخته است. آبل نروژی و گالوای فرانسوی‌، پس از یک زندگانی بسیار کوتاه و پرهیجان در حالی که نتیجه با ارزش کشفیات اساسیشان شناخته نشده بود با رنج و مرارت درگذشتند.

نیل هنریک آبل متولد اوت 1802 در سال 1824 ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال 1825 به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقاله‌ای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفه‌ای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.

آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل 1829م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمی‌دانست که دو سال پیش مرده است.

گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه‌ای اندوهبار گشوده است در 26 اکتبر 1811م در پاریس متولد شد. در 14 یا 15 سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می‌نمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات ---------- شد،‌ او عقیده داشت:

«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»

گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیز‌تر از شب 29ماه مه 1832وجود نداشته باشد.

گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال ساده‌تر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار می‌رود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.

باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیر اقلیدسی‌ها دربارة علم هندسه بود.

چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایده‌آل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسأله‌ای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود‌، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد.

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد.

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت.



هرمیت فرانسوی نخستین کسی است که توابع بیضوی را برای حل معادلات درجة پنجم به کار برد و مطالعات بسیار مشکلی دربارة حساب عالی نمود. همچنین هرمیت اصم بودن عدد پی را که در ریاضیات اهمیت بسیار دارد ثابت کرد.

از سال 1870 محصول و نتیجة ریاضیات با عدة پژوهندگان و مکتشفین در هر کشور اروپائی رو به فزونی نهاد و اتازونی که در آغاز قرن نسبت به مطالعات تکنیکی گوشه‌گیر بود به نوبة خود وارد در راه جستجو‌های تئوریکی شد. دو دانشمند نابغه یکی ژرژکانتور و دیگری هانری پوانکاره تحولات این دوره را هدایت و راهنمایی می‌نمودند.

ژرژکانتور ریاضیدان آلمانی که در روسیه تولد یافته بود با نبوغ توأم با جسارت خود در ربع آخر قرن نوزدهم و در فاصلة سالهای 1882 تا 1897 با وضع «فرضیة مجموعه‌ها» اساس هندسه اقلیدسی را که اصول موضوعة آن قریب دو هزار سال علم ریاضی را مهار کرده بود و ریاضیدانان برجسته‌ای نظیر لوباچوسکی، بولیه و ریمان در آن خللهائی پدید آورده بودند چنان در هم کوفت که در حال حاضر رویش اقلیدسی جای خود را به روشی جدید بر اساس فرضیة مذکور داده است و گمان می‌رود که درک مفاهیم ریاضی با اعمال این روش سهلتر و قطعی‌تر از آن است که اقلیدس تصور می‌کرد.

کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:

مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی که دارای صفت ممیزة مشترک باشند. هر یک از آن اشیاء را «عنصر» مجموعه می‌گویند.

مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی مشخص و متمایز ولی ابتکاری و تصوری.

از نقطة نظر تشکیل مجموعه‌ها تعاریف مذکور را می‌توان در یک «اصل کلی» خلاصه کرد و آن تشکیل مجموعه‌ای است که اشیاء و عناصر آن دارای خاصیت مفروضی باشند.

هنری پوانکاره یا «غول فکر ریاضی» آخرین دانشمند جهانی است که به همة علوم واقف بود و در واقع عبارت از ماحصل تمام کوششهائی بود که در قرن نوزدهم دربارة ریاضیات بعمل آمد. وی در تمام رشته‌های ریاضی نظری و عملی نبوغ خود را ظاهر ساخت و به حل بسیاری از مسائل پیچیده و مشکل موفق گردید. پوانکاره صاحب سی جلد کتاب و پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کلاً مختلف می‌باشد. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی «توابع فوشین» را به دنیای دانش تقدیم نمود و برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاً ریاضی‌دان آلمان لازارفوکس کشفیات زیبائی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی بکار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیز روشن ساخت. اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاً‌ آنرا «تحلیل تواضع» می‌نامیدند و امروزه موسوم به «توپولوژی جبری» و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد. همچنین پوانکاره آنالیز را در مبحث نور و الکتریسته بکار برد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را بدست داد.

بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی میتاگ لفلر کارهای او ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد.

پیکارد هنوز بیش از بیست و چهار سال نداشت که با انتشار اثر خود درباره «توابع درست» در بین ریاضیدانان اروپا شهرت بسیار کسب کرد. در این اثر دو قضیة جدید دربارة توابع متغیر موهومی ذکر کرده و نظر بدیعی اختیار نموده بود، که نهضت جدیدی در ریاضیات ایجاد می‌کرد. وی در آنالیز روشی ابداع کرد که بوسیلة آن ممکن است بتدریج به جواب قطعی یک مسأله نزدیکتر گردید.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:46 AM
در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید.

اکنون ریاضیدانان فرانسوی تنها به پرورش سنن کوشی واپرواشتراس اکتفا نمی‌کردند بلکه اکتشافات مهم گائوس دربارة مورد استعمال آنالیز در هندسه یعنی هندسه عناصر بی‌نهایت کوچک را نیز اصلاح می‌کردند. برجسته‌ترین ریاضیدانی که در این راه کوشش بسیار کرد ژوزف برتران است که دورة عظیم «حساب دیفرانسیل» را تألیف کرد و ضمن آن روش جدیدی برای مطالعة منحنیات و سطوح بدست داد.

پس از او گاستون داربو کارهای بزرگ او را ادامه داد. وی در صدد برآمد دو رشته مخالف یعنی هندسه و آنالیز ریاضی را با یکدیگر آشتی دهد. و موفق شد که نه تنها قسمت‌های مقدماتی آنالیز بلکه معادلات با مشتقات جزئی را نیز در هندسه وارد سازد. داربو نتایج حاصل را در کتاب بزرگی به نام «دروسی درباره تئوری عمومی سطوح» که کلاسیک شده است انتشار داد.



چندی بعد ریاضیدان فرانسوی کامیل ژوردان به پیروی از کارهای کروتکر دربارة تئوری گروههای گلوا کتابی در این باره انتشار داد که از لحاظ انتشار موضوع دارای اهمیت فوق‌العاده می‌باشد بطوری که تئوری گروهها همچون کلید سحرآمیزی به نظر می‌رسید که با نهایت استادی دستگاه دقیق و ظریف معادلات جبری را می‌گشود و در ساختمان آن آنقدر هنر به کار رفته بود که در عین حال در مسائل هندسی نیز مورد استفاده قرار می‌گرفت، و این کار در سال 1871 به کوشش ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین صورت گرفت.

پل پنلوه یکی دیگر از ریاضیدانان فرانسوی مسائل زیادی راجع به معادلات دیفرانسیل حل کرد و موارد استعمالی که بعدها در مکانیک برای آن یافت کاملاً جنبة کلاسیک پیدا کرد، و در همه جا تدریس می‌شود.

همچنین در نتیجه مساعی پنلوره و پیشقدمان او بود که مکانیک بصورت علمی کامل و جامع درآمد.

ویتوولترا ریاضیدان برجستة ایتالیائی درسال 1896 معادلات انتگرال را کشف کرد و وسیلة پژوهش جدیدی بدست صنعتگران فیزیک ریاضی داد و سپس درصدد برآمد موضوع را تعمیم دهد و آنالیز جدیدی اختراع کند که دیگر از مقادیر y و x و غیره بحث ننماید، بلکه بطور کلی توابع را در روابط وارد سازد. این اختراع جدید که «حساب توابع» نام داشت تاج سر علوم ریاضی از عهد عتیق تا زمان حال بود و در حقیقت نقطة انتهائی این تکامل محسوب می‌شد.

در اوایل قرن بیستم ماکس پلانک آلمانی و نیاز بوهر دانمارکی کوانتا را در اتم بکار بردند و طولی نکشید که نخستین فتح این تئوری ظهور کرد و آن تئوری مشهور آلبرت انیشتین آلمانی بود که معمولاً تئوری نسبیت خوانده می‌شود.

داوید هیلبرت آلمانی که از بزرگترین ریاضیدانان نیمة اول قرن بیستم و در عداد بزرگترین ریاضیدانان تمام تاریخ بشر محسوب می‌شود در سال 1899م کتابی به نام «اصول اساسی هندسی» انتشار داد که هدف آن مربوط کردن اصول موضوعة هندسه به اصول حساب برای جلوگیری از تناقضات بود.

ابداعات این مرد بزرگ در تمام شعب ریاضی اعم از جبر و هندسه و آنالیز و توپولوژی و حساب و غیره آنقدر اساسی و مهم است که شاید تا صدها سال دیگر نیز ریاضیدانان از گنجینه‌های آن بهره‌برداری کنند.

متأسفانه این دانشمند نامی که یهودی هم نبود در 81 سالگی بواسطه زجر و شکنجة عمال هیتلر در یکی از اردوگاههای اسیران جنگی درگذشت.

هنری لوبگ فرانسوی نیز یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ نمیه اول قرن بیستم است. وی درباره انتگرال مفهوم جدیدی بدست داد که از نظر عادی آنالیز را بکلی تغییر می‌داد. مسألة اندازه‌گیری «آنسامبل»‌ها و تئوری انتگرال لوبگ از اساسی‌ترین ترقیات دانش در نیمة اول قرن بیستم می‌باشد.

بطوری که می‌توان گفت بسیاری از ترقیات مهم آنالیز ریاضی و تئوری توابع و حساب احتمالات و آمار ریاضی و حتی دانش فیزیک مرهون این ابداع مهم می‌باشد.

موریس دوکانی ریاضیدان دیگر فرانسوی شعبه جدید هندسه به نام نوموگرافی را که ابتدا بوسیلة ریاضیدان ایتالیائی لوئیجی کره‌مونا ایجاد شده بود فوق‌العاده بسط داد.

این حکمت جدید که برای دانشمندان و مهندسین فواید بی‌شمار دارد نمودارهای ساده‌ای را که برای نمایش قوانین عادی بکار می‌رود تعمیم می‌دهد و استعمال آباک‌ها را جانشین محاسبات عددی طویل و پیچیده می‌نماید و امروزه در علم مساحی و فنون مهندسی و نقشه‌برداری و هواپیمایی و توپخانه مورد استعمال یافته است.

انتشار و ترویج تحصیلات جدید در نیمة اول قرن بیستم سبب آن شد که اتازونی از لحاظ پیشرفتهای علمی در رأس همة کشورها قرار گیرد و ترقیات شگرفی در زمینة علوم تجربی نصیب کشورهائی نظیر هند و ژاپن گردد.

با وجود این تمام تئوریهای بزرگ از قبیل کوانتا، نسبیت و مکانیکموجی از اروپای کهن یعنی کشورهای ایتالیا، انگلستان، فرانسه و آلمان سرچشمه می‌گیرد و در نتیجة رهبری ایشان بود که تجسسات علمی از حدود این کشورها تجاوز کرد و بین‌المللی گردید. لیکن بعد از جنگ جهانی دوم نهضت بزرگ برای پیشرفت مسائل نظری در ممالک متحدة آمریکای شمالی بوجود آمد و بخصوص در دانش ریاضی که مبنا و اساس تمام علوم نظری و عملی است فعالیت خارق‌العاده‌ای می‌شود، بطوری که این فعالیت در هیچیک از ممالک دیگر وجود ندارد و تنها کشوری که از این لحاظ با ممالک آمریکای شمالی رقابت فشرده‌ای داشت اتحاد جماهیر شوروی (سابق) بود که آن نیز کشوری جدید و غیر از اروپای کهن بود.
امروزه ریاضیات بیش از پیش و به نحو شگرفی در حریم سایر علوم نفوذ کرده است و نه فقط علوم نجوم و فیزیک و شیمی تحت انضباط آن درآمده‌اند بلکه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:47 AM
ریاضی - ریاضی
ستاره داوود ، اختصار نماي ايزومتريك يك مكعب است

ابتدا بايد بدانيم كه نماي ايزومتريك يك مكعب چيست ؟
اگر يك مكعب را در فضا دوران دهيم ، به‌ گونه‌اي كه دو راس متقابل به هم در امتداد خط ديد ما قرار بگيرند ، به اين منظره نماي ايزومتريك مكعب گفته ميشود . در واقع نمای ايزومتريك مكعب ، نمايی است كه در آن سه طرف بالا ، راست و چپ مكعب ديده شود ، به انيميشن زير توجه نماييد .


http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar/1.gif
همانطور كه مشخص است انيميشن فوق يك مكعب در حال دوران را نشان مي‌دهد كه تمامي قطرهاي سطحي ( وجه‌هاي ) آن ، همچنين يال‌هاي آن رسم شده است كه در نهايت در نماي ايزومتريك متوقف و ستاره داوود كاملا مشخص مي‌گردد ، البته اين در حالتي خواهد بود كه وجه‌هاي مكعب را از زاويه ديد پنهان نماييم تا خطوط مخفي حجم هويدا شوند ، لازم به توضيح است كه اين ستاره درون يك شش ضلعي منتظم ديده ميشود و چون براي درك بهتر موضوع ، انيميشن فوق در ديد پرسپكتيو تهيه شده است ، شايد اين شش ضلعي ، منتظم به‌نظر نرسد . براي واضح بودن رسم ، شكل زير ارايه ميشود .
http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar/2.gif
اين رسم هندسي ( ستاره داوود ) به همراه مكعب و شش ضلعي ، نقش بنيادي و كليدي در تمامي عرصه‌هاي علمي ايفا مي‌كنند . از اين رسم هندسي ستاره داوود با تلفيق و تركيبي از شش ضلعي ، در نقش و نگار مسجد كبود استفاده شده است ، كه دال بر اين موضوع است كه مسلمانان در قديم از اين رسم‌ها در معماري‌هاي خود استفاده مي‌كرده‌اند
http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar/1.jpg




http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar2/2.gif
http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar2/1.gif
لازم به توضيح است كه اضلاع دوازده ضلعي را رسم نكرده‌ايم ولي راس‌هاي دوازده ضلعي منتظم مشخص است . براي توسعه رسم فوق در فضاي سه بعدي ، ابتدا آن را حول محور يا قطر عمودي ، در محيط 360 درجه ، شش بار و هر بار 30 درجه دوران مي‌دهيم ( يعني رسم شماره 4 تصوير زير ) تا كل محيط به دوازده قسمت مساوي تقسيم شود ، سپس اين رسم را به نسبت اندازه خطوط افقي كوچك كرده و پنج بار روي هم مي‌چينيم ( يعني رسم شماره 1 تصوير زير )
http://www.ki2100.com/images/mat/davidstar2/3.gif
رسم شماره 5 تركيب دو رسم 4 و 1 را نشان ميدهد . رسم شماره 3 كمكي بوده و رسم شماره 2 ، نماي رسم كلي را از بالا نشان ميدهد .

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:47 AM
ریاضی - ریاضی
عمر دنيا و زمين و انبساط آن (بيگ بنگ) - سياه چاله ها و ستاره هاي نوتروني همگي گوشه اي از معجزات قرآن است!

نسبت عمر دنيا به عمر زمين:

سوره ي 50 (ق): آيه ي 38:

"ما آسمان ها و زمين و آنچه در ميان آنهاست در شش روز آفريديم و هيچ گونه رنج و سختي اي به ما نرسيد"

سوره ي 41 (فصلت): آيه ي 9:

"بگو: آيا شما به آن كس كه زمين را در دو روز آفريد كافر هستيد و براي او همانندهايي قرار مي دهيد؟ او پروردگار جهانيان است!"


امروزه دانشمندان با توجه به شواهد موجود عمر زمين را 4.5 ميليارد سال پيش بيني مي كنند.

اين در حالي است كه عمر دنيا 13.5 ميليارد سال برآورد شده است.

در قرآن آمده كه زمين در دو روز و دنيا در شش روز خلق شد. (عمر دنيا 3 برابر عمر زمين است).

اگر اين موضوع را با شواهد عيني امروز مقايسه كنيم هيچ كمبودي ديده نمي شود!

عمر دنيا (13.5 ميليارد سال) را بر عمر زمين (4.5 ميليارد سال) تقسيم كنيد.

جواب 3 بدست مي آيد.

اين بدان معناست كه علم امروز نيز به اين مسئله رسيده كه عمر دنيا 3 برابر عمر زمين است!

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:48 AM
ریاضی - ریاضی
دو گروه مستقل از دانشمندان امریکائی و آلمانی بطور همزمان موفق یه یافتن دو عدد شدند که گفته می‌شود بزرگ‌ترین اعداد اولی هستند که تاکنون بشر موفق به محاسبه آن گردیده است.

اهمیت یافتن این اعداد در کاربرد آنان و افزایش کارائی و اثربخشی بهتر سیستم‌‌های رمزنگاری (Cryptography) میباشد. کشف این دو عدد در جریان پروژه Great Internet Mersenne Prime Search که دوازده سال از عمر آن می‌گذرد اتفاق افتاد.

بزرگ‌ترین عدد اول که یک عدد 12978189 رقمی می‌باشد توسط تیمی از دانشگاه کالیفرنیا (UCLA) بدست آمد و عدد دوم که به دست یک کاربر آلمانی کشف گردید عددی 11185272 رقمی است.

جست‌وجو بدنبال اعداد اول بزرگ (که تنها بر عدد یک و خودشان قابل قسمت می‌باشند) از سوی Electronic Frontier Foundation (EFF) حمایت شده و این بنیاد نقش حامی مالی و اسپانسر این تحقیقات را ایفا می‌کند. هدف اصلی این تحقیقات دستیابی به روشی غیرقابل نفوذ و قابل اطمینان در سیستم‌های رمزنگاری می‌باشد. John Gilmore مؤسس EFF و رئیس پروژه جوایز این بنیاد می‌گوید: «جوایز EFF مشوق همکاری می‌باشند.»
«اعداد اول در بحث ریاضیات و رمزنگاری از اهمیت بسزائی برخوردار می‌باشند اما دستاورد مهم‌تر این است که دریابیم مسائل و مشکلات بزرگ‌تر را می‌توان با روش‌های مشابه حل کرد.»

تیم دانشگاه UCLA مبلغ یکصد هزار دلار را بعنوان جایزه بدست آوردن یک عدد اول بزرگتر از ده میلیون رقم از EFF دریافت نمود.
جوایز بزرگ‌تر شامل یکصد و پنجاه هزار دلار برای کشف عدد اول یکصد میلیون رقمی و مبلغ دویست و پنجاه هزار دلار برای محاسبه عدد اول یک میلیارد رقمی می‌باشند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:49 AM
ریاضی - ریاضی
هنگامی که از فیثاغورس پرسیده شد رفیق چیست؟ جواب داد: “کسی که من دیگریست بدان گونه که ۲۲۰ و ۲۸۴ هستند.”

مفهوم عبارات بالا از نظر ریاضی چنین است: مقسوم علیه های ۲۸۴ عبارتند از: ۱٬۲٬۴٬۷۱٬۱۴۲ که مجموعشان ۲۲۰ است و از طرف دیگر مقسوم علیه های ۲۲۰ عبارتند از: ۱٬۲٬۴٬۵٬۱۰٬۱۱٬۲۰٬۲۲٬۴۴٬۵۵ ٬۱۱۰ که مجموع اینها برابر ۲۸۴ است. فیثاغورسیان چنین اعدادی را اعداد متحابه (دوست دار هم) می نامیدند. با اینکه کشف چنین اعدادی برای یونانیان مشکلات زیادی را به همراه داشت اما کار مورد علاقه یونانیان بود. بهرحال کشف اینگونه اعداد پیشرفت زیادی نداشت و تا بحال سه زوج دیگر از این اعداد کشف شده اند که به قرار زیر می باشند:
۱۷۲۹۶ ٬ ۱۸۴۱۶ که در سال ۱۶۳۶ میلادی توسط فرما شناسایی شد.
۹۴۳۷۰۵۶ ٬ ۹۳۶۳۵۸۴ که توسط دکارت ارائه گردید.
۱۱۸۴ ٬ ۱۲۱۰ که توسط پاگانینی در سال ۱۸۶۷ میلادی معرفی شد.
سوالی که تاکنون ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده اینست که آیا بینهایت از این زوجها وجود دارد یا خیر؟
البته هندیها اعداد متحابه را قبل از فیثاغورس شناخته بودند. همچنین قسمتهایی از کتاب مقدس را میتوان یافت که نشان می دهد یهودیان چنین اعدادی را مبشر سعادت می دانستند. نکته جالب دیگر داستان مورد تردید یک شاهزاده دوره باستان است که نامش بنا به علم حروف برابر عدد ۲۸۴ بود. این شاهزاده سالهای سال دنبال دختری برای ازدواج میگشت که نامش برابر عدد ۲۲۰ باشد و معتقد بود که این عامل باعث خوشبختی در زندگی او می

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:49 AM
ریاضی - ریاضی
پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسائل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.

اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تئوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارائه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسائل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارائه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارائه گردید.
بسیاری از مسائل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسائل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کار

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:49 AM
ریاضی - ریاضی
در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی ------ افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسائل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسائل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسائل خود بودند که بر اثر وارد شدنتخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:50 AM
ریاضی - ریاضی
اگر شما به دقت فیلمهایی با مضامین شیطانی و مرگ و روح را مشاهده کرده باشید مطمئنا به کارگیری عدد ۶۶۶ در اینگونه فیلمها شما را متعجب میکند.
۶۶۶ را علامت ابلیس نامیده اند و این شهرت را از کتاب وحی(فصل ۱۳، شعر ۱۸، برای کامل بودن) به دست آورده است. مشخصات جالبش همواره مورد توجه ریاضیدانان بوده است. اکنون به طور خلاصه چند ویژگی ریاضیاتی عدد ۶۶۶ را بیان میکنیم.
عدد ۶۶۶ به سادگی از جمع و تفریق توانهای ششم سه عدد آغازین به دست می آید.

۶۶۶=۱۶-۲۶+۳۶
همچنین این عدد برابر است با مجموع ارقام خود باضافه جمع توانهای سوم ارقامش.

۶۶۶=۶+۶+۶+۶۳+۶۳+۶۳
تنها پنج عدد صحیح مثبت با چنین خاصیتی وجود دارند. آنها را پیدا کنید.
جمع توانهای دوم ۷ عدد اول برابر است با ۶۶۶.

۶۶۶=۲۲+۳۲+۵۲+۷۲+۱۱۲+۱۳۲+۱۷۲
جمع ۱۴۴ رقم ابتدایی عدد پی برابر ۶۶۶ است. نکته جالب اینجاست که

۱۴۴=(۶+۶)×(۶+۶)
۶۶۶ یکی از دو عدد صحیحی میباشد که برابر مجموع توانهای سوم از ارقام توان دوم خویش باضافه مجموع ارقام توان سومش است. یعنی:

۶۶۶۲=۴۴۳۵۵۶
۶۶۶۳=۲۹۵۴۰۸۲۹۶
۶۶۶=(۴۳+۴۳+۳۳+۵۳+۵۳+۶۳)+(۲+۹+۵+ +۰+۸+۲+۹+۶)
۲۵۸۳ عدد دیگریست که دارای این خاصیت میباشد.
مجموع ۶۶۶ عدد اول حاوی عدد ۶۶ میباشد.

۲+۳+۵+۷+۱۱+…+۴۹۶۹+۴۹۷۳=۱۵۳۳۱ ۷=۲۳×۶۶۶۵۹
دقیقا دو راه برای قرار دادن علامت “+” در رشته ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ داریم تا ۶۶۶ حاصل شود در صورتیکه تنها یک راه برای رشته ۹۸۷۶۵۴۳۲۱ وجود دارد.

۶۶۶=۱+۲+۳+۴+۵۶۷+۸۹
=۱۲۳+۴۵۶+۷۸+۹
۶۶۶=۹+۸۷+۶+۵۴۳+۲۱
۶۶۶ مقسوم علیه ۱۲۳۴۵۶۷۸۹+۹۸۷۶۵۴۳۲۱ میباشد.
عدد اسمیت عدد صحیحی است که مجموع ارقامش برابر است با مجموع ارقام عوامل اول خودش. ۶۶۶ یک عدد اسمیت است. زیرا:

۶۶۶=۲×۳×۳×۳۷
۶+۶+۶=۲+۳+۳+۳+۷
تابع (Phi(n در نظریه اعداد عبارت است از تعداد اعداد کوچکتر از n که نسبت به n اولند. قابل توجه است که:

Phi(۶۶۶)=۶×۶×۶

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:50 AM
ریاضی - ریاضی
روش نصف کردن اولین و ساده ترین روش برای پیدا کردن صفرهای تابع است ، که البته معایب و محدودیتهایی دارد.این روش برای توابعی قابل اجراست که حول ریشه خود اکیدا یکنوا باشند. به عبارت دیگر این روش تنها برای پیدا کردن ریشه های ساده قابل استفاده است ، و قادر به یافتن ریشه های مضاعف نیست. در ضمن سرعت همگرایی آن بسیار کند است و به همبن دلیل اغلب برای محاسبه صفرهای توابع چند جمله ای (معادلات ساده) استفاده می شود.
الگوریتم روش نصف کردن برای تابعی به نام f به صورت زیر است ، که در آن [a,b] به عنوان بازه حاوی ریشه و عدد e به عنوان میزان دقت به کار رفته است.
۰ - شروع
۱ - اعداد a ، b و e را بگیر.
۲ - (a+b)/2 را در m قرار بده.
۳ - اگر قدرمطلق f(m) کمتر از e بود برو به ۷
۴ - اگر f(a) * f(m) منفی بود m را در b قرار بده
۵ - وگرنه m را در a قرار بده
۶ - برو به ۲
۷ - مقدار m را به عنوان صفر تابع چاپ کن.
۸ - پایان
اکیدا یکنوا بودن تابع حول ریشه اش برای شرط عبارت ۴ الزامی است. این شرط مشخص می کند که ریشه در کدام نصفه بازه قرار دارد.
کد الگوریتم بالا به چهار زبان بیسیک ، سی ، ++C و پاسکال از اینجا قابل دانلود است. برای نتیجه دادن این برنامه ها مقادیر a و b باید به درستی وارد شود. انتخاب بازه ای که شامل ریشه نیست ، حلقه بی نهایت ایجاد می کند. در این برنامه ها از تابع با ضابطه f(x) = x² - ۲ استفاده شده که شما می توانید هر تابع دلخواه دیگری را جایگزین کنید.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:51 AM
ریاضی - ریاضی
تاریخچه:
ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بین سال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابعf(x) به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعه ایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یک تابع f(x) را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل sin(ax) و cos(ax) نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع و در نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند. با گذشت زمان ضعف پایه های فوریه نمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در مورد سیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند، بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود در تصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورد استفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ با استفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)

در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله متوجه شد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع در آزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک ها گردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد را کشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک و تبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمن فیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال ۱۹۷۶ میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند و مالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.
آشنایی
آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتا جدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است، امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیز موجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجک ها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان با استفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدست آورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی که در پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درون ریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) را در طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل فیلترهای آیینه ای متعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.
کاربردها
آنالیز موجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند، صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکار رفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که در تلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفاده شده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حد زیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب، ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی و سادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیار کارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانی پیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) و سی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکار خوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی (F MRI) اشاره نمود.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:51 AM
ریاضی - ریاضی
گاهی پیش می آید که هنگام انجام اعمال محاسباتی احساس می کنیم روابط خاصی بین برخی از اعداد برقرار است . به خاطر د ارم زمانی که دانش آموز سال اول دبیرستان بودم برادر کوچکم که معمولا در محیط اطراف خود اشکال جالبی کشف می کرد رابطه ای بین مجذور اعداد پیدا کرد البته خود رابطه را به خاطر نمی آورم اما وقتی موضوع را با دبیر ریاضی خود در میان گذاشتم بدون هیچ هیجانی به من پاسخ داد که این رابطه قبلا کشف و به اثبات رسیده است.
جالب است بدانید روابط بین اعداد از هزاران سال پیش همواره مورد توجه بشر بوده تا جایی که گاهی به آن نسبت سحر و جادو می دادند.در ادامه یک نمونه از این روابط را خدمت دوستان ارائه می کنم.
دو عدد را” متحابه” گوییم هرگاه مجموع مقسوم علیه های هر یک با دیگری برابر باشد. به عنوان مثال اعداد ۲۸۴ و ۲۲۰ را در نظر بگیرید مجموع مقسوم علیه های عدد ۲۸۴ برابر با عدد ۲۲۰ است و مجموع مقسوم علیه های عدد ۲۲۰ برابر با ۲۸۴ است. کشف این اعداد را به فیثاغورث نسبت داده اند. این زوج عددی در هاله ای از عرفان پوشیده شدند و بعد ها این عقیده ی خرافی پدید آمد که دو طلسم حاوی این اعداد دوستی تمام عیاری بین حاملین آن ها ایجاد خواهند کرد. این اعداد نقش مهمی در سحرو جادو واحکام نجوم و طالع بینی پیدا کردند .
زوج های عددی متحابه دیگری نیز وجود دارد ازجمله اعداد ۱۷۲۹۶ و ۱۸۴۱۶ که توسط پیر دو فرما (Pierre de Fermat) عددشناس بزرگ فرانسوی در سال ۱۶۳۶ ارائه گردید.البته اخیرا محققین دریافته اند که کشف فرما در واقع کشف مجددی بوده و این زوج عددی را قبلا ابن البنای مراکشی ( ۱۲۵۶-۱۲۳۱) در اواخر قرن سیزدهم یا اوایل قرن چهاردهم شاید با استفاده از فرمول ثابت بن قره کشف کرده بوده است. دو سال بعد ریاضی دان و فیلسوف فرانسوی رنه دکارت زوج سومی ارائه داد. ریاضی دان سوئدی لئونارد اولر جستجوی سازمان یافته ای برای یافتن اعداد متحابه به عمل آورد و در سال ۱۷۴۷ لیستی از ۳۰ زوج را عرضه کرد که بعدا به بیش از ۶۰ زوج گسترش یافت. مساله ی عجیب دیگر در تاریخ این اعداد کشف اعداد متحابه دور از نظر مانده و نسبتا کوچک ۱۱۸۴ و ۱۲۱۰ به وسیله ی نوجوان ۱۶ ساله ی ایتالیایی نیکولو پاگانینی در سال ۱۸۶۶ بود.امروزه بیش از ۱۰۰۰ زوج عدد متحابه به ثبت رسیده است اما جستجو برای یافتن زوج های دیگر همچنان ادامه دارد.شما هم می توانید در این جستجو سهمی داشته باشید.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:51 AM
ریاضی - ریاضی
نظریه ها و قاعده های ریاضی، با کشف خود «هستی» پیدا می کنند، آن ها تنها وجود دارند و اغلب بدون کاربردند. دیر یا زود، و گاهی بعد از صدها و هزارها سال، این موجودات ریاضی به «صفت» تبدیل می شوند و کاربرد خود را در زندگی و عمل، در سایر دانش ها، در صنعت و هنر پیدا می کنند.«اویلر»
شاید ۳۸۰ سال پیش کسی فکر نمی کرد لگاریتمی که در رابطه با نیاز محاسبات عملی کشف شد در آینده کاربردهای وسیعی پیدا کند.
شاید هیچوقت کپلر فکر نمی کرد که جدول هایی را که برای ساده کردن محاسبات طولانی در تعیین مدار مریخ و یا کارهای اخترشناسی دیگرش تنظیم کرد، جرقه ای این چنین را در ریاضیات ایجاد کند.
یا شاید لاپلاسی که گفت: “لگاریتم طول زندگی اخترشناسان را چند برابر کرد” نمی دانست که نه تنها طول زندگی اخترشناسان بلکه دریانوردان، بازرگانان، موسیقیدانان، شیمیدانان، ریاضیدانان، زمین شناسان و حتی همه ی انسان های کره ی زمین را چند برابر کرد.
بدیهی است که تا نیاز به چیزی احساس نشود آن چیز کشف و اختراع نمی گردد، در واقع هرکدام از علومی که با آن روبه رو هستیم هریک به مقتضای نیازی و با توجه به هدف خاصی پیکر بندی شده اند.
لگاریتم نیز با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری که دانشمندان سده های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و کار داشتند، بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می کرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند که چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در کمترین زمان ممکن به جواب مطلوب دست یابند. گفته می شود که حتی در قرن هشتم هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشتند اما این کلمه و مفهوم مربوط می شود به قرن شانزدهم .جدول هایی نیز در این زمینه بوجود آمد و شاید همین تلاش ها و نیازها بود که سر انجام به کشف لگاریتم انجامید تا آن جا که دو دانشمند به طور همزمان و بدون اینکه از کار یکدیگر آگاه باشند موفق به کسب چنین افتخاری گشتند اولی جان نپر و دیگری بورگی.
اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است که از واژه ی یونانی «لوگوس» به معنی نسبت و «ارتیوس» به معنی عدد گرفته شده است. او همچنین بجای لگاریتم از اصطلاح عدد ساختگی نیز استفاده می کرد. نپر چکیده ی کارهای خود را در کتابی با عنوان «شرح جدول های عجیب لگاریتمی» چاپ کرد و به دنیا نمایاند.
عدد e (مبنای لگاریتم طبیعی) نیز در چنین سال هایی چشم به جهان و جهانیان گشود. گفته می شود کاشف عددe آن گونه که برخی می پندارنداویلر نبوده است بلکه خود نپر بحث مربوط به لگاریتم طبیعی و عدد e را در یکی از نوشته هایش پیش کشیده است.
بعد از آشکار شدن لگاریتم به جهانیان ابزارهایی برای آسانتر کردن محاسبات لگاریتمی کشف شد که از آن جمله می توان به خط کش لگاریتمی ساخته ی گونتر انگلیسی اشاره نمود. امروزه نیز با استفاده از ماشین حساب و با فشردن یک کلید میتوان عمل لگاریتم گرفتن را به آسانی و سرعت انجام داد.
با ورود لگاریتم به دنیای ریاضیات و آشنا شدن مردم و دانشمندان با آن، این شاخه کاربردهای زیادی را در زندگی روزمره پیدا کرد. چنانکه امروزه لگاریتم در حسابداری و در تعیین بهره ی مرکب و نیز مسائل مالی کاربرد فراوانی یافته است. همان زمان که لگاریتم اختراع شده بود اویلر رابطه ی بین عدد e و بهره ی مرکب را دریافت و فهمید که حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) ، که همان عدد e است میل می کند. همچنین از لگاریتم در مدلسازی و بازار یابی سهمی استفاده می شود. مدلسازی ایجاد الگو و تمثیلی برای تجسم واقعیت های خارجی است که در مسائل مربوط به ریاضیات و حسابداری کاربرد دارد.
درادامه ی مبحث کاربردهای لگاریتم شاید جالب باشد که بدانیم لگاریتم درهنرنیزکاربرد پیدا می کند. میدانیم درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.
اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود.
بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.
کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود.
همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند. بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند.
از مهمترین کاربردهای لگاریتم میتوان به کاربرد آن در علم زلزله شناسی اشاره نمود. مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه ی گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری آن بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد، امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس آمریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش(ریشتر) معروف است. زلزله شناسان نیز انرژی آزاد شده بوسیله ی زلزله، دامنه و فاصله ی زلزله (کانون زلزله) را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند. البته بزرگی زلزله یک درجه ی قرار داری است اما می توان از طریق آن و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود.
اما باید گفت پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود شیمی تجزیه است. در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری PH ، توابعP ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود.
کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار، علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ، چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:52 AM
ریاضی - ریاضی
ما در بسیاری از اوقات نیاز به استفاده از روشهای عددی برای محاسبه انتگرال معین داریم. در کاربرد های واقعی عموما انتگرالهای معین در حالتی نیستند که بتوان به روش پادمشتق به محاسبه آنها پرداخت. در اینصورت باید به روشهای عددی متوسل بشویم. در اینجا با روش ذوزنقه ای برای محاسبه عددی انتگرال معین بیشتر آشنا می شویم:
فرض کنید قصد داریم انتگرال معین تابع f(x) را در بازه [a,b] پیدا کنیم. بدون اینکه در کلیت بحث خللی وارد شود فرض می کنیم در این بازه تابع همواره نامنفی است. بازه فوق را به n بخش مساوی افراز می کنیم. نقاط افراز به این ترتیب خواهند بود:

http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cnormal%20x_%7B0%7D=a,x_%7B1%7D,...x _%7Bn-1%7D,x_%7Bn%7D=b
توجه داشته باشید که برای راحتی کار فاصله بین این نقاط برابر در نظر گرفته شده است. یعنی، http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cnormal%20d=%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D=%5CDelta%20x_%7Bi%7D=x_%7Bi%7D-x_%7Bi-1%7D;0%3Ci%5Cleq%20n.
حالا به عبارت http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cnormal%20S%5Cleft%28%20i%5Cright%29 %20=%5Cfrac%7Bf%5Cleft%28%20x_%7Bi%7D%5Cright%29%2 0+f%28x_%7Bi-1%7D%29%7D%7B2%7D%5Ctimes%20d;0%3Ci%5Cleq%20n توجه کنید. اگر دقت کنید متوجه می شوید که مقدارhttp://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?S%5Cleft%28%20i%5Cright%29 برابر است با مساحت ذوزنقه ای که در شکل زیر با رنگ خاکستری روشن نمایش داده شده است:

http://www.riazilog.com/wp-content/uploads/2007/08/pic1.JPG
مجموع این http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cnormal%20S%5Cleft%28%20i%5Cright%29 ها مساحت زیر نمودار را با خطایی معادل قسمتهای خاکستری تیره شکل بالا به ما می دهد. به عبارت دیگر داریم:

http://www.riazilog.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cnormal%5Cint%5Climits_%7Ba%7D%5E%7B b%7Df%28x%29dx=%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty %20%7D%5Csum%5Climits_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7DS%28i%29= %5Clim_%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D%5Csum%5C limits_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7D%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bf %28x_%7Bi%7D%29+f%28x_%7Bi-1%7D%29%7D%7B2%7D%5Ctimes%20d%5Cright%29
هرچه مقدار n به عنوان تعداد تقسیمها بیشتر باشد خطای محاسبه (مساحت سطح خاکستری تیره) کمتر می شود. البته انتخاب مقدار مناسب n به موارد دیگری نیز بستگی دارد.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:52 AM
ریاضی - ریاضی
عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی پارسی و یونانی هفت دستگاه دارد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی)، هفت سین (س) روز نوروز و…

تاریخچه:
در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….
هفت و…
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:53 AM
ریاضی - مثلثات
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201.jpg


مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.

تاریخچه
اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.

کاربردها
علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود.

تابع مثلثاتی
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%281%29.jpg
مثلثات مطالعه اندازه گیری زاویه است. اما این سخن به معنی اندازه گیری مقدماتی زاویه در هندسه نیست که در آن مقدار زاویه مورد نظر هر یک نقاله خوانده می شود بلکه محاسبه با توابع خاصی است که بستگی به زوایا دارند و به علت کابردشان در مثلثات، توابع مثلثاتی نامیده می شوند.
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%282%29.jpg
تعریف روی مثلث قائم الزاویه
برای تعریف توابع مثلثاتی از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم به عنوان مثال می خواهیم این توابع را برای زاویه A در شکل روبرو تعریف کنیم
ما برای استفاده از این مثلث نامگذاری زیر را انجام می دهیم.
وتر ضلعی است که روبروی زاویه قائم قرار دار که بلندترین ضلع مثلث نیز می باشد و آن را با h نشان داده شده است.
ضلع مقابل زاویه A که آن را با a نشان می دهیم.
ضلع مجاور زاویه قائمه که درشکل با b نشان داده شده است.
حال توابع مثلثاتی را برای زاویه A روی مثلث ABC تعریف می کنیم.
sin: نسبت ضلع مقابل به وتر را سینوس می گویند یعنی:
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%283%29.jpg
cos: نسبت ضلع مجاور به وتر را گویند یعنی داریم:
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%284%29.jpg
tangent: نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور را گویند.
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%285%29.jpg
cosecant: نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه را گویند.
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%286%29.jpg
secant: نسبت وتر به ضلع مجاور است
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%287%29.jpg
cotangent: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را گویند.
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%288%29.jpg
تعریف روی دایره واحد
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%289%29.jpg
در یک صفحه دستگاه مختصات دکارتی، زاویه می تواند هر چهار ربع را طی کند، و مقدار آن می تواند به حسب درجه، گراد رادیان اندازه گیری شود.
ضلع متروک این زاویه، دایره با شعاع و مرکز در مبدا، دایره موسوم به دایره واحد یا یک را در نقطه قطع می کند.
زاویه در تقاطع محور ها با دایره، مقدار صفر را اختیار می کند این زاویه، طی یک دوران کامل ضلع متحرکش حول مبدا از صفحه شروع و پس از رسیدن به مکان اولیه، دارای زاویه 360 درجه می باشد.
روابط مثلثاتی که برای زوایای مختلف برقرار است. برای زوایای بزرگتر از 360 نیز، بر قرار می باشد. مثلا برای دو تابع سینوس و کسینوس خواهیم داشت:
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%2810%29.jpg
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/09/250201%20%2811%29.jpg

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:53 AM
مثلثات



ریاضی - مثلثات
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250253.jpg مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.
تاریخچه
اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.
کاربردها
علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود.
کاربرد مثلثات کروی
مثلثات کروی در نجوم در بخشها ی مختلف کاربرد وسیعی دارد از جمله از این کاربردها :
مختصات نجومی (سه دستگاه مختصات نجومی وجود دارد که با مثلثات کروی کار میکنند)
اندازه گیری زوایای میل ، سمت ، عرض جغرافیایی ، طول جغرافیایی و ... در این دستگاهها با ابزار مثاثات کروی ممکن هست.
انحراف محور خورشید (دایرةالبروج خورشید) را از روی مثلثات کروی میسنجند.
در اندازه گیری فواصل نجومی و تنظیم اوقات شرعی ، طلوع و غروب خورشید و رصدهای نجومی مثلثات کروی نقش بسزایی دارد.
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/2502531.jpg
مثلثات و علم جغرافی
شکل کره زمین، در واقع نامنظم است و شبه کره geoids نامیده می شود. اما انحرافهایی از یکی از اجسام تابع محاسبه ریاضی نسبت به اندازه آنها کوچک اند.
تحلیل مسیرهای ماهواره های زمینی مصنوعی نشان داده است که یک بیضی وار مناسب با سه محور بهترین شکل را برای شبه کره به دست می دهد. در واقع تفاوت بین دو محور واقع در صفحه استوایی(equatorial plane) آنقدر کوچک است که تاکنون برای اندازه گیریهای زمینی مشخص نشده است. بنابراین در ژئودرزی عالی، کره زمین به صورت کره وار spheroid در نظر گرفته می شود. در این مورد، اولین محاسبات دقیق توسط فردریش ویلهلم بسل انجام گرفت. در 1924 بیضوار محاسبه شده توسط "J.HAYFORD"از لحاظ بین المللی شناخته شد. جدیدترین مقادیر توسط "F.N.KRASOVSKIL" مشخص شده اند.این مقادیر برای کار در ژئودزی در روسیه به کار میروند.
نجوم کروی
مواضع کشتیها و هواپیماها، غیر از روش وضعیت، حتی امروزه نیز با استفاده از ستاره ها مشخص می شود. این روش زمانی تنها روش دریانوردی در دریاهای بزرگ بود و سیاحان سرزمینهای ناشناخته تنها به آنها اطمینان می کردند. در این مورد اندازه گیریهای لازم با قطب نما، تئودولیت، سکستانت آیینه ای یا ابزار زاویه- اندازه گیری مشابه و ساعتی دقیق انجام می گرفت.
بعدها از رادیو برای انتقال علامت زمانی برای جهت یابی تقریبی کفایت می کند. در تعیین دقیق موضع مورد نظر باید اطلاعات مربوط به وضعیت ستارگان بسادگی قرار گرفته و حرکت خورشید، سیارات، ماه و ماههای مشتری و دستگاههای مختصاتنجومی را که وضعیتهای واقع در افلاک درآنها داده شده اند بدانیم. اطلاعاتی از نجوم کروی که برای مقاصد دریانوردی دارای اهمیت اند در تقویمهای دریانوردی و نجومی آورده شده اند از دستگاههای افقی و استوایی. این دستگاهها مانند تمام دستگاههای مختصاتی نجومی، مبتنی بر این حقیقت اند که آسمان پرستاره در نظر رصدکننده به صورت قسمتی از کره ای عظیم موسوم به کره سماوی آشکار می شود. موضع هر نقطه واقع بر این کره را می توان با استفاده از دو مختص عددی مشخص کرد.
هر دایره عظیمه با قطبهایش به عنوان دستگاهی مرجع برای این دو مختص مناسب است. بر این دایره یک زاویه در جهت مشخص شده از نقطه ای معلوم اندازه گیری می شود و اندازه دومی بر اندازه عظیمه عمومی گذرنده از نقطه ای که می خواهیم موضعش را معین کنیم و قطب دایره مبنا معین می شود.
منبع: http://daneshnameh.roshd.ir

Bauokstoney
Tuesday 4 January 2011-1, 07:54 AM
ریاضی - مثلثات
http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/250215.jpg از دایره‌های مشهور دیگر دایره مثلثاتی است. دایره مثلثاتی دایره‌ای است با درجه‌بندی و جهت حرکت مشخص که به آن جهت مثلثاتی گویند و آن پادساعت گرد یا عکس ساعت گرد است. شعاع این دایره واحد است و حداکثر مقدار توابع مثلثاتی سینوس یا کوسینوس که در این دایره بدست می‌آید می‌تواند واحد شود. هارمونیها و هماهنگها ، چرخش ، حرکت دورانی ، حرکات پریودیک و دوره‌ای ، حرکات تناوبی ، حرکات رفت و برگشتی در یک مسیر مشخص را می‌توان توسط این دایره و کمیات مثلثاتی برای بیان مکان و زمان و توصیف این حرکات و موقعیت بکار برد.

خويشاوندي دايره و موج سينوسي

http://www.rasekhoon.net/_WebsiteData/Article/ArticleImages/1/1388/farvardin/08/2502151.jpg
توضيحات :
در سمت راست تصوير فوق ، دايره مثلثاتي را به 12 قسمت مساوي و هر كدام 30 درجه يا π/6 تقسيم كرده‌ايم . در سمت چپ تصوير فوق ، دستگاه مختصاتي رسم شده است كه محور افقي آن به طول 2πr يعني محيط دايره و محور عمودي آن ، محور سينوسها ميباشد . طول افقي به 12 قسمت مساوي تقسيم شده كه هر قسمت نشانگر طول كمان 30 درجه است . محور عمودي با خطوط قرمز از مبدا سينوسهاي 30 و 30- ، 60 و 60- ، 90 و 90- مدرج شده و منحني موج سينوسي نقطه‌يابي و رسم شده است . اين رابطه مابين دايره و موج سينوسي به دفعات در فيزيك مشاهده شده است و در رياضيات نيز توجيه پذير است به طور مثال با دوران ( سرعت زاويه‌اي ثابت ) رتور در ميدان مغناطيسي داخل يك دينام ، جرياني با ولتاژ متناوب و به صورت سينوسي پديدار و توليد ميشود . همانطور كه ميدانيم در مكانيك كوانتومي انرژي فوتون از رابطه معروف پلانك بدست مي‌آيد : E=hν
در واقع انرژي هر فركانس يا تواتر ( سيكل يا هرتز ) موج الكترومغناطيس برابر h ميباشد . به طور خلاصه انرژي يك سيكل طيف قرمز برابر انرژي يك سيكل طيف بنفش است و اين مقدار مستقل از انرژي كلي موج تعريف شده است و مقدار آن به ثابت پلانك معروف است . اينك اگر اين انرژي ( يك كوانتوم انرژي ) را بر محيط يك دايره به شعاع واحد يك ( مدار فرضي الكترون ) تقسيم كنيم خواهيم داشت : ћ=h/2πكه اين مقدار جديد ћ در مكانيك كوانتومي كاربرد دارد .

rohedin
Monday 14 March 2011-1, 11:02 PM
عملگرهای یکنوا ماکزیمال توسعه نا پذیر و تماما"توسعه پذیر در فضاهای باناخ

Bauokstoney
Saturday 22 October 2011-1, 06:23 PM
محاسبه رقم 10 تريليونيوم عدد پي

دو دانشمندان ژاپنی مشتاق عدد پی بیشترین ارقام ممکن را برای این عدد محاسبه کرده‌اند و به 10 تریلیون رقم دست یافته‌اند.

http://jamejamonline.ir/Media/images/1387/05/13/100945452418.jpg
به گزارش مهر، "الکساندر یی" مهندس رایانه و "شیگرو کوندو" مهندس سیستم‌های رایانه‌ای پس از غلبه بر اختلالات رایانه ای در میان زمین لرزه و سونامی ژاپن، توانستند رکورد سابق پنج تریلیون رقمی ادامه عدد پی را بشکنند.
در واقع محاسبه ادامه عدد پی هیچ حاصلی ندارد زیرا این رقم برای همیشه ادامه دارد و تنها 39 رقم از ادامه آن برای محاسبه مساحت یک دایره در ابعاد جهان قابل مشاهده با خطایی کوچکتر از شعاع اتم هیدروژن کافی خواهد بود.
"یی" محاسبات عدد پی را با کمک یک نرم افزار انجام داده است در حالی که کوندو این کار را با کمک رایانه‌ای که خود آن را طراحی کرده انجام داده است. این محاسبات از 16 اکتبر سال گذشته آغاز شد و در 9 دسامبر دیسک سخت رایانه دچار اختلال شد، سپس در 11 مارچ زمین لرزه بزرگ ژاپن رخ داد، یعنی درست در زمانی که 47 درصد از محاسبات انجام شده بود.
اما از آنجایی که رایانه کوندو به شبکه برقی آسیب ندیده ژاپن متصل بود، محاسبات آنها تحت تاثیر زمین لرزه قرار نگرفت. با این همه بروز دوباره نقص در دیسک سخت و جا به جایی‌های پی در پی روند محاسبات را به تاخیر انداخت تا در نهایت این محاسبات در 26 آگوست به پایان رسید. این محاسبات به اندازه‌ای طولانی و پیچیده بود که درجه حرارت اتاق رایانه کوندو به 40 درجه نیز می‌رسید.
پس از آن این دو باید ثابت می‌کردند که رقم‌های به دست آمده درست هستند زیرا تا کنون کسی نتوانسته تا رقم 10 تریلیون عدد پی را محاسبه کند. این دو دانشمند با استفاده از فرمول ویژه‌ای که برای این کار نوشته شده تمامی این ارقام را کنترل کرده و به اثبات رساندند.
مرحله نهایی این محاسبات تبدیل ارقام به دست آمده از مبناي 16 به 10 بود که در نهایت روز یکشنبه هفته گذشته این تغییرات نیز به پایان رسید و رکورد جدیدی در محاسبه ادامه عدد پی به ثبت رسید.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:13 PM
هندسه نااقليدسى و نسبيت عام انیشتين در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است.اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:13 PM
هندسه های نااقلیدسی/قسمت اول الف) مقدمه «هندسه بهترین و ساده ترین منطق ها و مناسب ترین طریق پایدار ساختن اندیشه هاست.» «دکتر فضل الله رضا».علم هندسه مانند همه ی علوم دیگر از مشاهده و تجربه ناشی شده و ارتباط جدی با احتیاجات اقتصادی بشر دارد. کلمه ی «هندسه» یک کلمه ی یونانی و به معنی مساحی(اندازه ی زمین) است. هندسه و مفاهیم آن از طرفی زاییده ی تجربه و احتیاج بشرند و از طرف دیگر درستی آن باز هم در صحنه ی علوم علمی مورد آزمایش و استفاده قرار می گیرد.
باور مردم از زمان یونانیان باستان تا قرن نوزدهم این بود که هندسه ی اقلیدسی، حقیقت محض و بی کاستی است که فضای مادی را بطور کامل توجیه می کند. حتی کانت اعتقاد داشت که هندسه ی اقلیدسی، ذاتی ساختار ذهن انسان است…اما هندسه دانهای قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه ی اقلیدسی تنها هندسه ی ممکن نیست، ثانیا این که هندسه فضای مادی اقلیدسی یا نا اقلیدسی است، امری تجربی است که خارج از حیطه ی ریاضیات محض می باشد و ثالثا هندسه ی اقلیدسی سازگارتر است، اگر و فقط اگر هندسه ی نااقلیدسی سازگار باشد یعنی این دو هندسه به بیانی نادقیق«به یک نسبت درستند.» ب) تاریخچه ی پیدایش هندسه ی نااقلیدسی
در حدود سیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ی تحریر در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه ی شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدس که بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدس این اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد:
«اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.»
که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارج یک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه ی مفروض میتوان رسم کرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرن انجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره ی آن آغاز گشت، این بحث ها از دو جهت بود:
۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت.
۲) بحث درباره ی اصل توازی.
اما با وجود اینکه دانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد، این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نااقلیدسی منجر شد.
می گویند اولین کسی که به استقلال اصل پنجم یا به گفته ی کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد، خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند.
بعد از آن شاهد اثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه ی مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندان ایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی، نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود.
خیام در مقاله ی اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»
به مساله ی اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباه دانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سخت طرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت میداند و بدان اشاره می کند.
دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهی کردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولاموساکری.
ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یک قضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری میدانست که به این دلیل ساده به تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یک قرن زودتر صورت می پذیرفت.
اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکری با استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضی نرسید و در رده ی اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که وی دریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود این دلایل از نوعی بودند که بایستی به یکباره از عرصه ی هندسه و نیز از میدان هر علمی بیرون رانده شود.
پژوهش های او درباره ی نظریه ی توازی بوسیله ی رساله ای از آدرین لژاندر طی سال ها کار روی اصل توازی، به مجموعه ای از اثبات های اشتباه دست یافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده میکرد اما دو گزاره ی مهم که لژاندر ثابت کرد پایه گذار «هندسه ی مطلق» (یعنی هندسه ی مبتنی بر چهار اصل اول) بود.
اصل توازی آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن ارج نمود.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:14 PM
هندسه های نااقلیدسی/قسمت دوم گئوس اولین شخصی بود که بطور کامل موفق به درک هندسه ی نااقلیدسی شد. یعنی همان چیزی که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پیش بینی کرده بود، ارستو مینویسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاویه های آن است این مجموع میتواند برابر با دو زاویه ی قائمه، بزرگتر و یا کوچکتر از آن باشد. و این در واقع، به زبان امروزی، مرزی است که سه گونه هندسه یعنی «هندسه ی اقلیدسی»، «هندسه ی لباچفسکی» و «هندسه ی ریمانی» را از هم جدا می کند. گئوس در نامه ای به یکی از دوستانش به نام فوکوش بویویی نوشت:«راه من، تو و امثال ما برای اثبات اصل توازی راهی بی پایان است و موفقیتی در این کار نصیبمان نخواهد شد، حتی مطالعات من باعث شک در مورد حقیقت خود هندسه شده است.»
در این زمان لباچفسکی شش ساله بود و فیلسوفانی مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند. از طرفی گئوس نیز به دلیل موقعیت اجتماعی خود از رو دررویی با صاحب نظران اجتناب میکرد، ظاهرا او میترسید که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند. خود او میگوید:«از آن می ترسم که هرکس که نشان داده است فکر ریاضی باوری دارد، آن چه را که من میگویم بد بفهمد بلکه آن را مانند یک القای خصوصی در نظر میگیریم که به هیچ روی به اطلاع مردم نرسد و برای عموم منتشر نشود.» عده ای نیز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقاید ماتریالیستی اش و دیگری کج فهمی های روسیه ی تزاری میدانند. به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتایج کارش سبب شد که سهمی از افتخاری که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصیب دیگران شود.
گئوس هندسه ی جدیدی را که بدان پی برده بود هندسه ی نااقلیدسی نامید و در نامه ای به دوست ریاضیدانش تاور بنوس نوشت:«همه ی تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا ناسازگاری از این هندسه ی نااقلیدسی به شگفت انجامیده است. من گاهی به شوخی آرزو می کنم که ای کاش هندسه ی اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره ی مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
یانوش بویویی پسر فوکوش نیز برای اثبات اصل پنجم تلاش می کرد و پدرش همواره به او میگفت:«تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم های این راه را از اول تا به آخر میشناسم. این شب بی پایان همه ی روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فروبرده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.» اما یانوش جوان از اخطار پدرش نهراسید چرا که اندیشه های دیگری را در این رابطه در ذهنش میپروراند. سال ها بعد در نامه ای به پدرش نوشت: « من چیزهای بسیار شگفت انگیزی کشف کرده ام که مرا متحیر ساخته است….من از هیچ دنیای عجیبی خلق کرده ام.» پدر یانوش او را به تسریع در اعلام کشفی که کرده بود وادار میکرد و به او میگفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ایی دست یافته ای در انتشار آن به دو دلیل شتاب کنی. نخست آنکه اندیشه هایت ممکن است به آسانی به دیگری القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دلیل این که بنظر می رسد که بسیاری چیزها در یک زمان، در چند جا با هم کشف شده اند.» عقیده ی پدر یانوش درست بود زیرا همین اتفاق نیز افتاد که تقریبا در یک زمان و مستقل از یکدیگر هندسه هایی که از جنبه منطقی سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسیله ی گائوس در آلمان، بویایی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه کشف شد. بعد از اینکه پدر یانوش با خوشحالی برای گائوس نتایج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ی او را چنین آغاز کرد:«اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم البته برای یک لحظه دچار شگفتی خواهید شد ولی کاری به جز این نمی توانم بکنم، تمجید از آن به منزله ی تمجید از خودم است.»
اما یانوش بویویی ۲۸ ساله نتیجه ی تحقیات خود را در همان سال ها در ضمیه ی ۲۶ صفحه ای کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد.
نیکلای لباچفسکی در همان زمان در دانشگاه غازان روسیه سخنرانی ایراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانیم از سایر اصول هندسی اصل توازی را اثبات کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم، اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند
که ضمن آن شالوده ی هندسه ی هذلولی را ارایه نمود ولی متن سخنرانی دزدیده شد. او در ۱۸۲۹ محتوی کامل هندسه هذلولی را در نشریه دانشگاهی ای که به زبان روسی بود، نوشت که یازده سال بعد به آلمانی ترجمه شد.
لباچفسکی بیان کرد که از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد. او هندسه اش را در آغاز «هندسه ی انگاری» و سپس «هندسه ی عام» نام گذارد ما نیز امروزه به هندسه او هندسه ی هذلولی می گوییم. هر چند پس از فرض این هندسه بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما توانست براساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچ گونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و عقاید کانت درباره ی فضا به مثابه شهود ذهنی به مبارزه پرداخت. در واقع لباچفسکی با متزلزل ساختن «خلل پذیری» اصول اقلیدس ضربه ی سنگینی به فلسفهی کانت وارد ساخت. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسه نتیجه ی تجربه ی انسان نیست بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظر خود از خلل پذیری اصول هندسه ی اقلیدسی بعنوان نقطه ی اتکای اساسی استفاده می کرد.
و بدین صورت بود که لباچفسکی و بویویی هر دو و بطور مستقل پایه گذار هندسه ی هذلولی شدند. هندسه ای که در آن نقیض اصل توازی را بجای اصل موضوع مفروض میگیریم. این امر هندسه ی حیرت انگیزی را منجر می شود که با هندسه ی اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گائوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند، ولی تفکر پی گیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آن نیست.
کشف هندسه ی نااقلیدسی درک هندسه دان ها را به کلی دگرگون کرد همین حقیقت که هندسه ی نااقلیدسی کامل و بدون تناقض است، اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر می رسد» را از بین برد، کلماتی که تکیه کلام های هندسه دان های قدیم بود. تحلیل اصل اقلیدس که قرن ها طول کشیده بود استحکام نتایج هندسه ی مقدماتی را به کلی متزلزل کرد، این تحلیل روشن کرد که بین آن حقایق هندسه که گمان میرفت ارتباطی با یکدیگر ندارند، چه ارتباط عمیقی وجود دارد. و در نتیجه روابط فضایی در جهان مادی به نحوی نمایان شد.
به این ترتیب، دستگاه اصول و تعاریف اقلیدس بعنوان پایه ای برای ساختمان هندسه غیر کافی بود. در دنیای افکار و ایده آل های جدید، دیگر این تعاریف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمی توانسنتد پیشرفت های علوم دقیقه(فیزیک، نجوم و…) را تامین نمایند.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:14 PM
هايپركيوب هایپرکیوب (Hyper Cube) چیست؟؟؟ در هندسه هایپرکیوب یک شی n بعدی از یک مربع (n=2 ) و یا یک مکعب (n=3) است. هایپرکیوب یک شکل برجسته، فشرده و بسته است که ساختمان آن شامل دسته ای از پاره خط های موازی مقابل هم است که در هر یک از ابعاد فضا ، در زوایای قائمی منظم شده اند. به هایپرکیوب n بعدی ، مکعب n نیز گفته می شود.
ریاضیدانان اغلب هنگام توصیف وضعیت های فیزیکی مختلف با مکعب کار می کنند .
یک جنبه جالب توجه مکعب اینست که ما می توانیم بعد چهارم را در آن مشاهده کنیم.
اگر بعد چهارم چیزی جز تصور ریاضیدانان نباشد احتمالا ما هرگز آن را نخواهیم شناخت. با این حال بررسی خواص بعد چهارم ، توصیف اثرات متقابل اشیا در جهان سه بعدی را برای دانشمندان آسان تر کرد.
زمانی که دانشمندان، جهان و عالمی که ما در آن زندگی می کنیم را توصیف می کنند، اغلب ناچارند که بعد چهارم فضایی را به حساب بیاورند. کسی قادر به مشاهده این بعد نیست. اما درست همانطور که شما می توانید یک کاغذ دوبعدی را با تا زدن به یک مکعب سه بعدی تبدیل کنید ، پس ریاضیدانان می توانند جهان سه بعدی ما را در یک جهان چهار بعدی که hyperword نامیده میشود محاسبه کنند.
تصور ریاضی ابعاد کاملا ساده است. یک نقطه هیچ بعدی ندارد چرا که شما بر آن قادر به حرکت در هیچ جهتی نیستید. یک خط مستقیم یک بعد دارد زیرا شما می تواندی در یک جهت مستقیم حرکت کنید. با گسترش خط راست در یک جهت ، یک صفحه ایجاد می شود. مانند یک کاغذ . در این حالت ما داراری 2 بعد خواهیم بود ( طول و عرض ) .
بنابراین ما می توانیم با امتداد و گسترش صفحه در جهت عمود بر سطح آن ، یک مکعب ایجاد کنیم. این مکعب دارای سه بعد خواهد بود .( طول ، عرض و ارتفاع).
حال اگر این مراحل را ادامه دهیم ، با گسترش مکعب در جهتی که بر تمام محورهای آن عمود باشد ، ما وارد فضایی می شویم که داراری 4 بعد خواهد بود. اجازه بدهید تا ببینیم که ابعاد چگونه تغییر شکل مکعب سه بعدی را کنترل می کنند . ما سایه یک مکعب 4 بعدی را چگونه مشاهده می کنیم. و هنگامی که یک مکعب 4 بعدی در جهان سه بعدی ما باز یا رها می شود چگونه بنظر می رسد.
یک نقطه ، یک نقطه انتهایی دارد.( بر اساس تعریف )با حرکت یک نقطه در یک جهت مستقیم یک خط با دو نقطه پایانی ایجاد می شود. (زوایا)با حرکت یک خط در یک مسیر مستقیم یک مربع با 4 زاویه بوجود می آید.در تصاعد هندسی عدد بعد از اعداد 1،2،4، عدد 8 می باشد.
و در واقع با حرکت مربع در یک جهت مستقیم یک مکعب با 8 گوشه یا زاویه ایجاد می شود.پس فرض منطقی اینست که با حرکت مکعب در امتداد یک جهت مستقیم یک هایپرکیوب با 16 گوشه بوجود آید ، که همینگونه است.
همانطورکه تصویر یک مکعب بر روی یک صفحه دوبعدی دو مربع خواهد بود که چهارگوشههای آنها به یکدیگر وصل شدهاند، تصویر یک هایپرکیوب بر روی فضای سه بعدی دومکعب خواهد بود که هشت گوشههای آنها به یکدیگر وصل شدهاند.
وقتی یک مکعب در فضای سه بعدی میچرخد تصویر این چرخش بر روی صفحه کاغذ خود رابصورت تغییر اندازه خطوط متصل کننده دو مربع و زاویه متصل کننده با دو مربع نشانخواهد داد. در مورد هایپرکیوب باید چنین تصور کنید که وقتی هایپرکیوب در فضای چهاربعدی میچرخد، تصویر آن در فضای سه بعدی خود را بصورت چرخش و تغییر اندازه دو مکعبنسبت به یکدیگر نشان میدهد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:15 PM
هندسه پویا/ بخش اول - معرفی در این نوشتار که نخستین مقاله از مجموعه مقالات هندسه پویا است قصد دارم تا به معرفی هندسه پویا و بیان اهمیت آن در آموزش ریاضی بپردازم. «dynamic geometry» که از آن با عنوان «هندسه پویا» تعبیر می شود به دستاوردی از دنیای کامپیوترها برای آموزش ریاضی می گویند که در آن قضایای هندسه (مسطح یا فضایی) قابلیت به تصویر کشیدن و بررسی کردن در طیفی پیوسته را پیدا می کنند.
ابتدایی ترین ارمغان دنیای ترانزیستورها و پردازنده ها برای آموزش ریاضیات، فراهم کردن زمینه ای برای کشف الگوهای نهفته در یک تکرار است. این مهم با کمک قابلیت «تکرار پذیری کم زحمت» که از خواص نرم افزارهای رایانه ای است، بخوبی ممکن شده است. چنانکه در تعمیم و بررسی صحت قضایای هندسه (قبل از اقدام به اثبات استنتاجی آنها) نقش موثری را بازی می کند.
بحث را با یک مثال پی می گیرم:
فرض کنید قرارست با روش تدریس فعال، قضیه زیر را در کلاس تدریس کنید:
«هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط تا دو سر آن پاره خط به یک فاصله است.»
در ابتدایی ترین حالت تدریس فعال، از بچه ها می خواهید تا پاره خطی را کشیده و عمود منصف آن را رسم کنند. سپس نقطه ای روی عمود منصف بیابند و فاصله آن را تا دو سر پاره خط اندازه گیری کنند و نتیجه را یادداشت کنند.
آنگاه این کار را برای چند نقطه دیگر روی عمود منصف تکرار کرده و نتیجه قسمتهای مختلف را با هم مقایسه کنند و برداشت خود را بنویسند.
قطعا جملاتی مشابه این خواهید داشت که: هر نقطه روی عمود منصف تا دو سر پاره خط به یک فاصله است.



شاید تصور شما این باشد که نتیجه لازم حاصل شد و روش فعال، به سرانجام مورد انتظار رسید. اما در واقع چنین نیست و هنوز نکات دیگری باقی مانده است!
همانطور که می دانیم سن راهنمایی، در میانه سن دبستان و دبیرستان قرار گرفته است و دانش آموز در اطراف این بازه تحصیلی با دو نوع طرز تفکر روبروست. یکی تفکر دبستانی که هر حکم کوچک را با مشاهده حتی ۱ مورد به تمام امور تسری می دهد و دیگری تفکر دبیرستانی که تا با استنتاج کامل و اثبات ریاضی وار و منطقی مطلبی روبرو نشود، ولو با مشاهده ۱۰۰ مثال، از پذیرش احکام جدید سرباز می زند و دائم این سوال در گوشه ذهنش باقیست که آیا می شود مثال ۱۰۱-مین، مورد نقضی باشد بر این حکم؟
در این میان معلم دوره راهنمایی که اتصال دهنده این دو نوع طرز تفکر به یکدیگر است باید با شیبی ملایم، ذهن دانش آموز دوره راهنمایی را (که با مشاهده حداکثر ۱۰ مثال حکم کلی را صادر می کند) به سوی ذهن استنتاجی و بررسی کامل مثالها در یک طیف پیوسته سوق دهد و دقیقا همینجاست که تدریس ها به روش فعال، سطح بندی شده و دو تدریس مختلف از یک مطلب، دارای کیفیت های گوناگون و سطوح متفاوت می شوند.
هندسه پویا با پا نهادن در همین لحظه، راه را برای تدریس فعال در سطحی بالاتر می گشاید و دسترسی به سطح ۳ در تدریس ریاضی به روش فعال با کمک ICT (مطابق استانداردهای یونسکو برای استفاده از ICT در روش فعال - آموزش در قرن ۲۱) را میسر می سازد.
دانش آموزی که به جای بررسی فاصله ۸ نقطه روی عمود منصف تا دو سر پاره خط، به بررسی یک طیف پیوسته و کاملی از نقاط می پردازد، آمادگی بیشتری برای برخورد با هندسه استنتاجی و شکل گیری ذهن جستجوگر و در پی استدلال خواهد داشت. وظیفه ای که هندسه دینامیکی آن را بخوبی بر عهده گرفته و اجرا می کند.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:15 PM
هندسه پویا/ بخش دوم - دستاوردهای ict، مشکلات،ضرورت ها بهره گیری از ICT در برنامه درسی همواره یکی از دغدغه های رایج دست اندرکاران آموزشی بوده است. زیرا : اولاً: کسانی به تولید محتوای آموزشی و نرم افزارهای کمک درسی می پرداختند، از سواد موضوعی کافی در زمینه روانشناختی تربیتی در آموزش ریاضی و مباحث فراشناخت بی اطلاع بوده و نرم افزارهای تولید شده، همان سبک و سیاق انتقال دانش را ادامه می داد.
ثانیاً: آموزشگران ریاضی و
کارشناسان مباحث تربیتی و آموزشی نیز از سواد نرم افزاری کافی جهت طراحی بهینه نرم افزاری منطبق با استانداردهای رایج برخوردار نبودند. لذا در کنار هم قرار گرفتن این دو طیف و انجام یک کار تیمی موفق همواره آرزوی هر دوقشر بهره مند از موضوع بوده است.
اما قبل از هر کنکاشی در این موضوع، لازمست تا ۳ بحث عمده مطرح و مورد بررسی قرار گیرد:
۱- دستاوردهای ICT برای آموزش ریاضی چیست؟ و چرا ما به دنبال بهره گیری از ICT در کلاس های درس ریاضی هستیم؟
۲- مشکلات موجود بر سر راه استفاده از ICT در آموزش ریاضی چیست؟
۳- ویژگی های عمده ی یک نرم افزاری آموزشی مناسب و موفق چیست؟ و آیا در این زمینه کاری انجام شده است؟
پاسخ سوال اول:
۱- یادگیری از طریق بازخورد سریع: دریافت بازخورد سریع از رایانه و مشاهده بلافاصله اثر تغییرات اعمال شده بر خروجی نمایش داده شده در نمایشگر، فرصت فرضیه سازی و بررسی فرضیه های ساخته شده را برای دانش آموزان فراهم می کند. ضمن آنکه صحت پاسخ های بدست آمده برای یک مساله، توسط رایانه براحتی آشکار خواهد شد.
در بررسی درستی فرضیه های ساخته شده توسط دانش آموزان، در محاسبات مربوط به مسائل ترکیبیاتی با مقادیر بالا، پیمایش گراف ها، بهینه سازی ها با توجه به تمام جواب های ممکن مساله و غیره، تفاوت های استفاده از ICT و عدم استفاده از آن به خوبی قابل درک است.
۲- مشاهده الگوها: تغییرات متوالی، منظم و کنترل شده بر روابط ریاضی از قبیل معادله یک تابع و مشاهده رفتار آن در صفحه، جایگذاری مقادیر مختلف عددی در یک فرمول و بررسی نتایج حاصله از آن و غیره می تواند الگوی نهفته در اشیا و اشکال ریاضی را آشکار سازد و دانش آموزان را به سمت تعمیم دادن ِ صحیح احکام ریاضی، هدایت کند. الگوهای عددی بدست آمده توسط ماشین حساب و کشف روابط حاکم بر اعداد از ابتدایی ترین این موارد است.
رایانه با تاثیر دادن بلافاصله تغییرات بر خروجی نمایش داده شده و یا با در کنار هم قرار دادن نتایج متعدد حاصل شده از تغییرات، درک و کشف الگوهای ریاضی را میسر و آسان می سازد. بطوریکه ذهنیت استقرایی بوجود آمده از بکارگیری ICT، بطور محسوسی، قابل اعتمادتر از انواع مشابه خود می باشد.
۳- کار با تصاویر پویا: به تصویر کشیدن ایده ها و تصورات ذهنی دانش آموزان جهت بررسی صحت آنها و یا داشتن درک درست تر و بهتر نسبت به موضوع، بخصوص در هندسه، با کمک رایانه ها به راحتی در دسترس است. حجم ها، تقارن ها، معادلات خطوط و سهمی ها، انتقال ها و بردارها به راحتی شبیه سازی شده و رایانه با انجام محاسبات لازم برای هر مرحله، به حذف حاشیه های غیر ضرور پرداخته و دانش آموز را متوجه هدف اصلی موضوع درسی می کند.
ضمن آنکه مواردی از قبیل دوران یک شکل مسطح حول یکی از اضلاعش و ساختن اجسام حجم دار، تقاطع مخروط و صفحه با زوایای مختلف و بررسی مقاطع مخروطی و غیره، بدون استفاده از رایانه، با دشواری بسیاری روبرو بوده و بعضاً غیرممکن است و لذا می توان یاری رساندن به تصویر سازی ریاضی در ذهن دانش آموز را نیز از دستاوردهای ICT دانست.
پاسخ سوال دوم:
۱- عدم فرهنگ سازی و بستر سازی های لازم: نقش معلم، هنگام استفاده از ابزارهای IT و ICT تعریف نشده و در پرده ابهام است. ابهامی که بیشتر به سمت تفکر «کمرنگ شدن نقش معلم در سیستم آموزشی و از دست دادن جایگاه وی» متمایل است و تبیین نقش معلم به عنوان «هدایت کننده دانش» که جایگاهی برتر از جایگاه فعلی است، حداقل ِ فرهنگ سازی لازم برای رواج IT و ICT در جامعه آموزشی کشور است.
دقیق و روشن نبودن نحوه بکارگیری ICT در تدریس نیز از موارد فرهنگ سازی نشده است. کما آنکه “فاصله موجود بین کشورها در استفاده از ICT، فاصله دیدگاه های معلمانشان در نحوه استفاده از ICT و چگونگی تلفیق آن با برنامه درسی است
۲- نقائص موجود در آموزش های ICDL : آموزش های ضمن خدمت ICDL معلمان، در محتوای تدریس و ارزشیابی پایانی دارای نقائص متعددی است. آموزش Microsoft Access با توجه به کاربردی و ضروری نبودن آن برای معلم کلاس درس، از موارد سوال برانگیز است. در حالیکه همین فرصت می تواند صرف فراگیری مهارت های ضروری تر همانند آموزش جامع تر Microsoft Word و یا کسب مهارت بیشتر در استفاده از اینترنت، انجام جستجوهای هدف دار در محیط وب و بهره گیری از منابع تحت شبکه شود.
همچنین در دسترس نبودن محیطی، برای تمرین آموخته ها، نهادینه شدن این مفاهیم در ذهن یادگیرنده را با چالش های متعددی روبرو ساخته است.
۳- مواجهه با رفتارگرایان و تدریس سنتی: شاید به جرات بتوان گفت که به کارگیری روش فعال در تدریس ریاضی، هنوز عمومیت لازم را نیافته است و رفتارگرایی و تدریس به روش سنتی، بخصوص از سوی معلمانی که به دلایل مختلف از قبیل عادت کردن به شیوه امتحان شده ی گذشته، ترس از انجام ریسک در تدریس، مشکلات کمبود وقت، میدان ناوابسته (FI) بودن معلم و ترجیح موقعیت معلم-محوری و سخنرانی یک طرفه بر روش فعال و … پذیرای روش فعال نیستند، مورد استقبال بیشتری است.
در این میان تشویق و ترویج بهره گیری از ICT در آموزش به روش فعالِ مبتنی بر IT و ICT به معنای قرار دادن بار پروژه ی نیمه تمامِ قبلی، بر دوش پروژه ی نوپایِ اکنون است
۴- کمبود وسایل و نرم افزارهای لازم: کمبود منابع و نرم افزارهای مفید و نداشتن استانداردهای لازم در اکثر نمونه های موجود در بازار محتوای الکترونیکی، از جمله ی مشکلاتی است که گریبانگیر سیستم آموزشی فعلی است. تولید بی رویه CD ها و نرم افزارهای آموزش ریاضیات، از سوی شرکت های نرم افزاری و گروه های بدون صلاحیت، به آشفتگی بازار ICT انجامیده است و در اکثر موارد مروج روش های سنتی تدریس هستند.
چرا که تولیدکنندگان نرم افزارهای آموزشی باید “علاوه بر دارا بودن سواد موضوعی ریاضی و سواد لازم در زمینه ICT، از مهارت کافی در تلفیق این دو نیز بهره مند باشند .”
نمونه هایی از نرم افزارهای آموزشی با سطح قابل قبولی از استانداردها، برای دروس مختلف، توسط دفتر تکنولوژی آموزشی، تهیه شد. ریاضی ۱ و ۲ و ۳ آن برای دوره راهنمایی با بهره گیری از روش فعال در آموزش، نمونه ای از انجام موفق تولید نرم افزار آموزشی با اهداف جدید است که متاسفانه با عدم تبلیغات لازم از سوی دفتر و دسترسی دشوار به این نرم افزارها از سوی معلمین، روبروست.
همچنانکه در تدریس یک موضوع درسی، بعضاً فعالیت های گنجانده شده در کتاب، پاسخگوی نیاز کلاس نبوده و به فعالیت های تکمیلی، جایگزین و یا توسعه ای نیاز است، در انتخاب محتوای آموزش های بهره مند از ICT نیز نیازمند تنوع هستیم و متاسفانه عدم تنوع لازم در نمونه های موجود، دست معلم را برای انتخاب نرم افزار متناسب با سطح کلاس خویش، بسته است.
در چنین وضعیتی، تصویر سردرگمیِ معلمی که قصد بهره گیری از ICT را دارد، دور از ذهن نیست.
پاسخ سوال سوم:
۱- سادگی محیط نرم افزار: محیط نرم افزار باید تا حد ممکن ساده و ویژگی های عمومی نرم افزارها از قبیل محل دکمه ها، ارتباط ساده با کاربر (user friend)، داشتن توضیحات لازم و دستیار کاربردی (Help) و غیره را داشته باشد تا کار با آن برای معلم و دانش آموزی که به تازگی کار با رایانه را آغاز کرده است، آسان باشد.
۲- بسته نبودن و بستر بودن: در روش فعال، معلم گاهی نیازمند جایگزین کردن یا توسعه دادن و یا تکمیل فعالیت کتاب است. یقیناً همین ویژگی باید در نرم افزار مورد نظر گنجانده شود. بدین معنا که برنامه مزبور محدود به محتوا و مثال های ارائه شده در CD نباشد و قابلیت ساخت مثال های بیشتر را برای معلم فراهم کند.
۳- جامعیت لازم: هرچه نرم افزاری موضوعات بیشتری از کتاب درسی را پوشانده و از جامعیت لازم برخوردار باشد، بیشتر مورد استفاده قرار خواهد گرفت. بدین سبب لازمست طراحی آن طوری صورت گیرد که معلم در طی حداقل یک سال تحصیلی، مجبور به یادگیری و یاددهی نرم افزارهای متعدد نباشد
تشویق به استفاده از ICT در تدریس، باید با ارائه سخت افزارها و نرم افزارهای مربوطه همراه باشد. همچنین باید نحوه به کارگیری تکنولوژی در جریان تدریس برای معلم، تعریف شده و دقیق باشد. بدین معنا که معلم بداند چگونه و از چه مجرایی ICT را به کلاس خود وارد کند.
برای این منظور، پیشنهادی عملی و در عین حال بسیار مفید که متناسب با آموزه های سنین قبل از دانشگاهی ما می باشد، «هندسه پویا» یا «هندسه دینامیکی» است.
هندسه پویا، راه را برای تدریس آسان تر مفاهیم ریاضی در محیطی اکتشافی و تعاملی میان معلم و دانش آموز گشوده و به اجرای هرچه موفق تر روش فعال در تدریس ریاضی منجر خواهد شد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:16 PM
آناليز موجك الف) تاریخچه:
ایده ی نمایش یک تابع برحسب مجموعه ی کاملی از توابع اولین بار توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان بین سال های ۱۸۰۶-۱۸۰۲ طی رساله ای در آکادمی علوم راجع به انتشار حرارت، برای نمایش توابع بکار گرفته شد. در واقع برای آنکه یک تابعf(x) به شیوه ای ساده و فشرده نمایش داده شود فوریه اساسا ثابت کرد که می توان از محور هایی استفاده کرد که بکمک مجموعه ایی نامتناهی از توابع سینوس وار ساخته می شوند. بعبارت دیگر فوریه نشان داد که یک تابع f(x) را می توان بوسیله ی حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی به شکل sin(ax) و cos(ax) نمایش داد. پایه های فوریه بصورت ابزار هایی اساسی، با کاربردهای فوق العاده متواتر در علوم، در آمده اند، زیرا برای نمایش انواع متعددی از توابع و در نتیجه کمین های فیزیکی فراوان بکار می روند. با گذشت زمان ضعف پایه های فوریه نمایان شد مثلا دانشمندان پی بردند پایه های فوریه و نمایش توابع سینوس وار در مورد سیگنال های پیچیده نظری تصاویر، نه تنها ایده آل نیستند بلکه از شرایط مطلوب دورند، بعنوان مثال به شکل کارآمدی قادر به نمایش ساختارهای گذرا نظیر مرزهای موجود در تصاویر نیستند. همچین آنها متوجه شدند تبدیل فوریه فقط برای توابع پایه مورد استفاده قرار می گیرد و برای توابع غیر پایه کار آمد نیست.(البته در سال ۱۹۴۶ با استفاده از توابع پنجره ای، که منجر به تبدیل فوریه ی پنجره ای شداین مشکل حل شد.)
در سال ۱۹۰۹ هار اولین کسی بود که به موجک ها اشاره کرد. در سال های ۱۹۳۰ ریاضیدانان به قصد تحلیل ساختارهای تکین موضوعی به فکر اصلاح پایه های فوریه افتادند. و بعد از آن در سال ۱۹۷۰ یک ژئوفیزیکدان فرانسوی به نام ژان مورله متوجه شد که پایه های فوریه بهترین ابزار ممکن در اکتشافات زیر زمین نیستند، این موضوع در آزمایشگاهی متعلق به الف آکیلن منجر به یکی از اکتشافات تبدیل به موجک ها گردید.
در سال ۱۹۸۰ ایومیر ریاضیدان فرانسوی، نخستین پایه های موجکی متعامد را کشف کرد(تعامد نوعی از ویژگی ها را بیان می کند که موجب تسهیلات فراوانی در استدلال و محاسبه می شود، پایه های فوریه نیز متعامدند.) در همین سال ها مورله مفهوم موجک و تبدیل موجک را بعنوان یک ابزار برای آنالیز سیگنال زمین لزره وارد کرد و گراسمن فیزیکدان نظری فرانسه نیز فرمول وارونی را برای تبدیل موجک بدست آورد.
در سال ۱۹۷۶ میرو و مالت از پایه های موجک متعامد توانسنتد آنالیز چند تفکیکی را بسازند و مالت تجزیه موجک ها و الگوریتم های بازسازی را با بکار بردن آنالیز چند تفکیکی بوجود آورد. در سال ۱۹۹۰ مورنزی همراه با آنتوان موجک ها را به دو بعد و سپس به فضاهایی با ابعد دیگر گسترش دادند و بدین ترتیب بود که آنالیز موجکی پایه گذاری گردید.
ب) آشنایی
آنالیز موجک (Wavelet Analysis) یکی از دستاوردهای نسبتا جدید و هیجان انگیز ریاضیات محض که مبتنی بر چندین دهه پژوهش در آنالیز همساز است، امروزه کاربردهای مهمی در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی یافته و امکانات جدیدی برای درک جنبه های ریاضی آن و نیز افزایش کاربردهایش فراهم شده است.
در آنالیز موجک هم مانند آنالیز فوریه با بسط تابع ها سروکار داریم ولی این بسط برحسب «موجک ها» انجام می شود.
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام می گیرد، بر خلاف چند جمله ای های مثلثاتی، موجک ها در فضا بصورت موضعی بررسی می شوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع و ضرایب آن ها امکان پذیر می شود و پایداری عددی بیشتری در باز سازی و محاسبات فراهم می گردد. هر کاربردی را که مبتنی بر تبدیل سریع فوریه است می توان با استفاده از موجک ها فومول بندی کرد و اطلاعات فضایی (یا زمانی) موضعی بیشتری بدست آورد. بطور کلی، این موضوع بر پردازش سیگنال و تصویر و الگوریتم های عددی سریع برای محاسبه ی عملگرهای انتگرالی اثر می گذارد.
آنالیز موجک حاصل ۵۰ سال کار ریاضی (نظریه ی لیتلوود – پیلی و کالدرون – زیگموند) است که طی آن، با توجه به مشکلاتی که در پاسخ دادن به ساده ترین پرسش های مربوط به تبدیل فوریه وجود داشت، جانشینهای انعطاف پذیر ساده تری از طریق آنالیز همساز ارائه شدند. مستقل از این نظریه که درون ریاضیات محض جای دارد، صورتهای مختلفی از این رهیافت چند مقیاسی (multi Scale) را در طی دهه ی گذشته در پردازش تصویر، آکوستیک، کدگذاری(به شکل فیلترهای آیینه ای متعامد و الگوریتمهای هرمی)، و استخراج نفت دیده ایم.
ج) کاربردها
آنالیز موجک همراه با تبدیل سریع فوریه در تحلیل سیگنالهای گذرایی که سریعا تغییر می کنند، صدا و سیگنالهای صوتی، جریان های الکتریکی در مغز، صداهای زیر آبی ضربه ای و داده های طیف نمایی NMR، و در کنترل نیروگاههای برق از طریق صفحه ی نمایش کامپیوتر بکار رفته است. و نیز بعنوان ابزاری علمی، برای روشن ساختن ساختارهای پیچیده ای که در تلاطم ظاهر می شوند، جریان های جوی، و در بررسی ساختارهای ستاره ای از آن استفاده شده است. این آنالیز به عنوان یک ابزار عددی می تواند مانند تبدیل سریع فوریه تا حد زیادی از پیچیدگی محاسبات بزرگ مقیاس بکاهد، بدین ترتیب که با تغییر هموار ضریب، ماتریس های متراکم را به شکل تنکی که به سرعت قابل محاسبه باشد در آورد. راحتی و سادگی این آنالیز باعث ساختن تراشه هایی شده است که قادر به کدگذاری به نحوی بسیار کارا، و فشرده سازی سیگنالها و تصاویرند.
آنالیز موجک امروزه کاربردهای فراوانی پیدا کرده است که از آن جمله می توان به کاربرد آن در تصویر برداری پزشکی (MRI) و سی تی اسکن (CAT)، جداسازی بافت های مغزی از تصاویر تشدید مغناطیس، تشخیص خودکار خوشه های میکروکلسیفیکاسیون، تحلیل تصاویر طیفی تشدید مغناطیسی (MR Spectrorscopy) و عملکردهای تشدید مغناطیسی (F MRI) اشاره نمود.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:16 PM
تقسيم دايره nنقطه روي دايرهاي در نظر بگيريد ، سپس تمامي وترهاي حاصل از به هم وصل كردن اين نقاط را رسم كنيد. در رسم وترها يك شرط قرار ميدهيم : سه وتر در داخل دايره از يك نقطه نميگذرند.
سوال : تعداد نواحي توليد شده در داخل دايره چند تا است؟
به عنوان مثال، 2 نقطه، دايره را به 2 ناحيه تقسيم ميكند. 3 نقطه، آن را به 4 ناحيه و 4 نقطه آن را به 8 ناحيه تقسيم ميكند. مانند شكلهاي زير:
http://anjoman.ir/Images/Public/200766161737_ci1.gif
اگر http://anjoman.ir/Images/Public/20076784757_ci104.JPGتعداد نقاط تقاطع وترها(با يكديگر و با دايره) باشد آن گاه با توجه به شكل هاي فوق داريم : 2=(2) V و 3=(3)V و 5=(4)V .

اما http://anjoman.ir/Images/Public/20076784757_ci104.JPG را چگونه محاسبه كنيم؟
ابتدا نقاط را شماره گذاري مي كنيم . براي اين منظور نقطه ي دلخواهي را با 1 نمايش داده و بقيه را در جهت حركت عقربه هاي ساعت به ترتيب با 2 ،3،...،n مانند شكل زير شماره گذاري مي كنيم . اكنون به ترتيب زير عمل مي كنيم :

http://anjoman.ir/Images/Public/200766164343_ci2.gif

ابتدا نقطهي 1 را به همهي نقاط ديگر وصل ميكنيم.در اين مرحله تعداد نقاط تقاطع برابر n است . (همان n نقطه ي روي دايره ) .
نقطهي 2 را به نقاط 2<j وصل ميكنيم ، زماني كه از 2 به 4 وصل ميكنيم، يك نقطهي تقاطع به دست ميآيد(وتر 24 وتر 13 را قطع مي كند ) و زماني كه از 2 به 5 وصل ميكنيم، دو نقطهي تقاطع به دست ميآيد(وتر 25 وترهاي 13و 14 را قطع مي كند) اگر اين روند را ادامه دهيم تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابر است با:http://anjoman.ir/Images/Public/2007679027_ci101.JPG .
اكنون نقطهي 3 را به نقاط 3<j وصل مي كنيم، زماني كه از 3 به 5 وصل مي كنيم ،دو نقطه ي تقاطع به دست مي آيد (وتر 35 وترهاي 14 و 24 را قطع مي كند ) و زماني كه از 3 به 6 وصل مي كنيم ، چهار نقطه ي تقاطع به دست مي آيد (وتر 36 وترهاي 14و 15 و 24 و 25 را قطع مي كند ) اگر اين روند را ادامه دهيم تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابر است با:http://anjoman.ir/Images/Public/2007679726_ci102.JPG
در حالت كلي اگر نقطهي i ام را به نقاط j>i وصل كنيم، تعداد نقاط تقاطع به دست آمده برابراست با :http://anjoman.ir/Images/Public/20076791329_ci103.JPG
بنابراين خواهيم داشت :

http://anjoman.ir/Images/Public/2007679592_ci10a.JPG
http://anjoman.ir/Images/Public/20076710933_c3.gif
با توجه به اين كه :

http://anjoman.ir/Images/Public/200767102256_c4.gif
آن گاه خواهيم داشت :http://anjoman.ir/Images/Public/20076710330_c5.gif .
براي ادامه ي كار به دو تعريف نياز داريم :
تعريف گراف مسطح: گراف G را مسطح مينامند هرگاه بتوان آن را در صفحه چنان رسم كرد كه يال هايش فقط در رأسهاي G يكديگر را قطع كنند.
تعريف گراف همبند : گراف G را همبند مي نامند هرگاه بين هردو راس متمايز آن مسيري وجود داشته باشد .
چون شكلي كه از رسم وترها به دست مي آيد ، يك گراف مسطح و همبند باhttp://anjoman.ir/Images/Public/20076784757_ci104.JPGرأس است ،با توجه به فرمول اويلر خواهيم داشت :http://anjoman.ir/Images/Public/20076994433_ci10b.JPGكه در آن،http://anjoman.ir/Images/Public/2007691013_ci1b2.JPGتعداد يال هاي اين گراف و http://anjoman.ir/Images/Public/200769101256_ci1b3.JPG تعداد نواحي در صفحه است كه گراف فوق به وجود ميآورد.
نكته :در گراف مسطح و همبند : http://anjoman.ir/Images/Public/200769102426_c7.gif كه در آن http://anjoman.ir/Images/Public/200769103819_c8.gifمجموع درجات رئوس گراف با E يال است.
هر كدام از n راس روي دايره از درجهي 1+n و بقيه ي رئوس كه محل تقاطع وترها هستند، از درجه ي 4 مي باشند .(چون هر رأس درون دايره، محل تقاطع 2 وتر است) به عنوان مثال براي 4=n ، درجه ي هر كدام از رأسهاي روي دايره برابر با 5 و راس درون دايره از درجه ي 4 است .

http://anjoman.ir/Images/Public/200769105919_c9.gif

چون تعداد راس هاي درون دايره برابر :http://anjoman.ir/Images/Public/20076911751_c10.gif است ، بنابراين با استفاده از نكته داريم:

http://anjoman.ir/Images/Public/20076911175_c11.gif
http://anjoman.ir/Images/Public/200769112946_c12.gif
در فرمول اويلر، http://anjoman.ir/Images/Public/200769101256_ci1b3.JPGتعداد نواحي صفحه است كه توسط گراف G به وجود ميآيد پس در محاسبه ي خود براي تعيين تعداد نواحي داخل دايره كه با http://anjoman.ir/Images/Public/200769113726_ci1a5.JPG نمايش مي دهيم ، بايستي ناحيهي بي كران خارج از دايره را از http://anjoman.ir/Images/Public/200769101256_ci1b3.JPGكم كنيم ولذا خواهيم داشت :http://anjoman.ir/Images/Public/200761091136_ci1b4.JPG.
بنابراين با استفاده از روابط فوق داريم:

http://anjoman.ir/Images/Public/200761092031_ci20.JPG
http://anjoman.ir/Images/Public/200761092713_c14.gif
بنابراين توانستيم فرمولي براي تعداد نواحي در داخل دايره به دست آوريم.

حال فرمول بالا را امتحان ميكنيم:


http://anjoman.ir/Images/Public/200761613502_c21a.jpg

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:17 PM
تاریخچه تئوری اعداد بعد از دوران یونان باستان ، تئوری اعداد در قرن شانزدهم و هفدهم با زحمات ویتViete ، باشه دو مزیریاکBachet de Meziriac ، و بخصوص فرما Fermat دوباره مورد توجه قرار گرفت . در قرن هجدهم اولرEuler و لاگرانژ Lagrangeبه قضیه پرداختند و در همین مواقع لژاندر Legendre و گاوسGauss به آن تعبیر علمی بخشیدند . در 1801 گاوس در مقاله ی Disquisitiones Arithmeticæ حساب تئوری اعداد مدرن را پایه گذاری کرد .چبیشفChebyshev کران هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد . ریمان Riemann اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی کند . (قضیه ی عدد اول prime number theory. ) و آنالیز مختلط complex analysis را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta function گنجاند و فرمول صریح تئوری اعداد اول explicit formulae of prime number theory را از صفر های آن نتیجه گرفت .تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد . او علامت گذاری زیر را پیشنهاد کرد :

(mod(c
چبیشف در سال 1847 به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومی کرد . بجای خلاصه کردن کارهای قبلی ، لوژاندر قانون تقابل درجه ی دوم law of quadratic reciprocity را گذاشت .http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/b/b4/number-theory2.jpg این قانون از استقراء induction کشف شد و قبلاً اولر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در تئوری اعداد Théorie des Nombres برای حالت های خاص آن را ثابت کرد . جدا از کارهای اولر و لوژاندر ، گاوس این قانون را در سال 1795 کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد . کوشی Cauchy ؛ دیریکله Dirichlet ( که مقاله ی Vorlesungen über Zahlentheorie او یک مقاله ی کلاسیک است) ؛ ژاکوبی Jacobi که علامت ژاکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد ؛ لیوویلLiouville ؛ زلرZeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده اند . این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می شود. نمایش اعداد با صورت درجه ی دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است . کوشی ، پوانسو Poinsot ، لبگ Lebesgue و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده اند . آیزنشتاین Eisenstein در تئوری صورت های سه گانه پیشتاز است ، و تئوری فرمها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت های درجه ی دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود . جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع 4، 5 ،6 ، 7 ، 8 ، مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:18 PM
پیدایش مثلثات
تاريخ علم به آدمى يارى مى رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخيص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در ميان تاريخ علم، تاريخ رياضيات و سرگذشت آن در بين اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهميت زياد، از آن غافل مانده اند. در نظر داريم در اين فضاى اندك و در حد وسعمان برخى از حقايق تاريخى( به خصوص در مورد رشته رياضيات) را برايتان روشن و اهميت زياد رياضى و تاريخ آن را

در زندگى روزمره بيان كنيم.
براى بسيارى از افراد پرسش هايى پيش مى آيد كه پاسخى براى آن ندارند: چه شده است كه محيط دايره يا زاويه را با درجه و دقيقه و ثانيه و بخش هاى شصت شصتى اندازه مى گيرند؟ چرا رياضيات با كميت هاى ثابت ادامه نيافت و به رياضيات با كميت هاى متغير روى آوردند؟ مفهوم تغيير مبناها در عدد نويسى و عدد شمارى از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ يا چرا در سراسر جهان عدد نويسى در مبناى ۱۰ را پذيرفته اند، با اينكه براى نمونه عدد نويسى در مبناى ۱۲ مى تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ رياضيات از چه بحران هايى گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشين حساب شد، چه ضرورت هايى موجب پيدايش چندجمله اى هاى جبرى و معادله شد؟ و… براى يافتن پاسخ هاى اين سئوالات و هزاران سئوال مشابه ديگر در كليه رشته ها، تلاش مى كنيم راه را نشان دهيم، پيمودن آن با شماست…

• پيدايش مثلثات
از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست. منه لائوس رياضيدان و بطلميوس اخترشناس (هر دو در سده دوم ميلادى) نيز در اين زمينه نوشته هايى از خود باقى گذاشته اند. ولى همه كارهاى رياضيدانان و اخترشناسان يونانى در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم هاى اصلى مثلثات نرسيدند. نخستين گام اصلى به وسيله آريابهاتا، رياضيدان هندى سده پنجم ميلادى برداشته شد كه در واقع تعريفى براى نيم وتر يك كمان _يعنى همان سينوس- داد. از اين به بعد به تقريب همه كارهاى مربوط به شكل گيرى مثلثات (چه در روى صفحه و چه در روى كره) به وسيله دانشمندان ايرانى انجام گرفت. خوارزمى نخستين جدول هاى سينوسى را تنظيم كرد و پس از او همه رياضيدانان ايرانى گام هايى در جهت تكميل اين جدول ها و گسترش مفهوم هاى مثلثاتى برداشتند. مروزى جدول سينوس ها را تقريبا ۳۰ درجه به ۳۰ درجه تنظيم كرد و براى نخستين بار به دليل نيازهاى اخترشناسى مفهوم تانژانت را تعريف كرد. جدى ترين تلاش ها به وسيله ابوريحان بيرونى و ابوالوفاى بوزجانى انجام گرفت كه توانستند پيچيده ترين دستورهاى مثلثاتى را پيدا كنند و جدول هاى سينوسى و تانژانتى را با دقت بيشترى تنظيم كنند. ابوالوفا با روش جالبى به يارى نابرابرى ها توانست مقدار سينوس كمان ۳۰ دقيقه را پيدا كند و سرانجام خواجه نصيرالدين طوسى با جمع بندى كارهاى دانشمندان ايرانى پيش از خود نخستين كتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسى، جمشيد كاشانى رياضيدان ايرانى زمان تيموريان با استفاده از روش زيبايى كه براى حل معادله درجه سوم پيدا كرده بود، توانست راهى براى محاسبه سينوس كمان يك درجه با هر دقت دلخواه پيدا كند. پيشرفت بعدى دانش مثلثات از سده پانزدهم ميلادى و در اروپاى غربى انجام گرفت. يك نمونه از مواردى كه ايرانى بودن اين دانش را تا حدودى نشان مى دهد از اين قرار است: رياضيدانان ايرانى از واژه «جيب» (واژه عربى به معنى «گريبان») براى سينوس و از واژه «جيب تمام» براى كسينوس استفاده مى كردند. وقتى نوشته هاى رياضيدانان ايرانى به ويژه خوارزمى به زبان لاتين و زبان هاى اروپايى ترجمه شد، معناى واژه «جيب» را در زبان خود به جاى آن گذاشتند: سينوس. اين واژه در زبان فرانسوى همان معناى جيب عربى را دارد. نخستين ترجمه از نوشته هاى رياضيدانان ايرانى كه در آن صحبت از نسبت هاى مثلثاتى شده است، ترجمه اى بود كه در سده دوازدهم ميلادى به وسيله «گرادوس كره مونه سيس» ايتاليايى از عربى به لاتينى انجام گرفت و در آن واژه سينوس را به كار برد. اما درباره ريشه واژه «جيب» دو ديدگاه وجود دارد: «جيا» در زبان سانسكريت به معناى وتر و گاهى «نيم وتر» است. نخستين كتابى كه به وسيله فزازى (يك رياضيدان ايرانى) به دستور منصور خليفه عباسى به زبان عربى ترجمه شد، كتابى از نوشته هاى دانشمندان هندى درباره اخترشناسى بود. مترجم براى حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب، «جيا» را تغيير نمى دهد و تنها براى اينكه در عربى بى معنا نباشد، آن را به صورت «جيب» در مى آورد. ديدگاه دوم كه منطقى تر به نظر مى آيد اين است كه در ترجمه از واژه فارسى «جيپ»- بر وزن سيب- استفاده شد كه به معنى «تكه چوب عمود» يا «ديرك» است. نسخه نويسان بعدى كه فارسى را فراموش كرده بودند و معناى «جيپ» را نمى دانستند، آن را «جيب» خواندند كه در عربى معنايى داشته باشد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:18 PM
تحقيقي پيرامون عدد پي π يكي از معروف ترين ثابت هاي رياضي π ( از حروف يوناني ) مي باشد. اين ثابت در بسياري از روابط مشهور رياضي به كار مي رود مانند محيط و مساحت دايره و حجم كره .
نخستين و قديمي ترين تعريف درباره π عبارت بود از « نسبت محيط دايره به قطرش » اما اين ثابت بسيار پيچيده تر از آن است كه تعريفش نشان مي دهد. مشكل مي توان π را محاسبه كرد زيرا غير ممكن است كه بتوان هم قطر و هم محيط دايره را به صورت عدد صحيح يا كسر محاسبه كرد. بنابراين π را نمي توان به صورت عدد صحيح يا كسر بيان كرد. از اين رو π را جزو اعداد گنگ مي خوانند.
درباره وجه نامگذاري اين عدد بايد گفت كه نماد π براي نسبت محيط دايره به قطر آن از اوايل قرن هيجدهم به كار رفته است و به اين مناسبت است كه واژه محيط در زبان يوناني با π شروع مي شود. قديمي ترين سابقه ي تاريخي در مورد عدد π پاپيروسي است كه اكنون در مسكو نگهداري مي شود. در اين سند محاسبه محيط دايره به وسيله مصريان ارائه شده است. به موجب اين سند اين عدد برابر با 3 مي باشد. در محاسبات بابليان نيز اين مقدار مساوي با 3 فرض شده است. احتمالاّ مردمان آن زمان اين نسبت را از كوشش هاي تجربي نتيجه گرفته اند و مبناي دقيق علمي نداشته است.
بر روي پاپيروس ديگري كه متعلق به 1700 سال پيش از ميلاد است مصريان مساحت دايره را اين چنين محاسبه كرده اند:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/1.gif


كه در آن s مساحت وd قطر دايره است. اگر به جاي d ، 2r را قرار دهيم خواهيم داشت:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/2.gif


بنابراين مصريان باستان π را برابر با http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/3.gifمي دانستند كه مساوي است با http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/4.gif كه با مقدار صحيح آن http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/5.gifاختلاف دارد.
رياضي دان و دانشمند باستان ارشميدس به كمك شكل هاي هندسي ، π را بين http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/6.gifو http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/7.gif به دست آورد.
در چين باستان ، π را چوانگ هونگ به سال 125 ميلادي چنين محاسبه كرد:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/8.gif


سپس ونگ فن در سال 265 ، π را چنين بر آورد كرد:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/9.gif


و چونگ چيك به سال 470 كسر ديگري را براي محاسبه π معرفي كرد:

http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/10.gif

كه شش رقم اعشار آن درست است.
چنين كوشش هايي براي پيدا كردن عدد π نمايانگر اين مطلب بود كه π كاملاّ ناشناخته مانده است. غياث الدين جمشيد كاشاني رياضي دان بزرگ ايراني و كاشف نمادهاي اعشاري براي نخستين بار در كتاب « رساله محيطيه » مقدار π را تا هفده رقم اعشار چنين به دست آورد:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/11.gif

كه تنها رقم هفدهم اعشار آن نادرست مي باشد.
در سال 1585 « تيكو براهه » منجم معروف دانماركي در محاسبات خود به عدد http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/12.gif رسيد.
مقارن همين اوقاف « فرانسوا ويت » رياضي دان معروف فرانسوي به كمك 393216 ضلعي منتظم مقدار π را تا 9 رقم اعشار حساب كرد. در سال1592 رياضي دان فرانسوي « ويتا » π را چنين برآورد كرد:

http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/13.gif

به سال 1655 «جان واليس » رياضي دان انگليسي شكل ساده تري براي π ارائه داد ، بدين شكل:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/14.gif



ولي قبل از او ، « آندرياس رومانوس » به سال 1597 به كمك كثيرالاضلاع منتظم http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/15.gif ضلعي مقدار π را تا 15 رقم اعشار تقريب به دست آورد. همچنين « لودلف » دانشمند آلماني در سال هاي 1615 و 1621 با استفاده از http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/16.gif ضلعي و http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/17.gif ضلعي منتظم مقدار π را در دفعه اول تا 20 رقم ودر نوبت ديگر تا 35 رقم محاسبه نمود و. . .
ساده ترين عبارت براي π را « لايب نيتز » رياضي دان آلماني در سال 1708 ارائه داد:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/18.gif



در سال 1717 ، « آبراهام شارپ » رياضي دان انگليسي ، رشته زير را براي محاسبه π تا 72 رقم اعشار به كار برد:
http://www.riaziha.com/images/posts/tahghigh_pi/19.gif



به سال 1873، ويليام شانكز انگليسي مقدار π را تا707 رقم اعشار محاسبه كرد. اين عدد در قصر اكتشافات پاريس در غرفه مربوط به علوم رياضي به صورت نواري دور تا دور تالار نوشته شده است. سپس به سال 1948 « جان فرنچ » از آمريكا و « فرگوسن » از انگلستان به اتفّاق مقدار π را تا 808 رقم اعشار محاسبه كردند. آنها خطاهاي چندي را در محاسبه شانكز يافتند. اين خطاها از رقم 528 اعشار شروع مي شد. در ژانويه سال 1950 مقدار π را تا 2000 رقم اعشار محاسبه كردند ، اين كار توسط كامپيوتر انجام شد و در سال 1954 با استفاده از حسابگرهاي الكترونيكي بيش از 3000 رقم اعشار π را تعيين كردند.
در زبان هاي مختلف شعرها و متن هايي گفته اند كه با شمارش كلمات و حروف آن رقم هايي از π مشخص مي شود و براي به خاطر سپردن اين عدد بسيار مفيد است. قديمي ترين شعر موجود در اين زمينه به زبان فرانسوي است كه شمارش ارقام آن ، π را تا سي رقم اعشار نمايش مي دهد. در زبان فارسي نيز اشعاري در اين زمينه سروده شده است ، من جمله شعر زير كه π را تا ده رقم اعشار نمايان مي كند:
گر كسي از تو بپرسد ره آموختن π پاسخي ده كه خردمند ترا آموزد:
« خرد و بينش و آگاهي دانشمندان ره سرمنزل توفيق بما آموزد . »
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

و نمونه ساده تري كه بين دا نش آموزان مرسوم است اين است: « 3 و1 مي شود 4 و 1 مي شود 5. »

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:19 PM
منطق فازی، منطق بكارگرفته شده در بیشتر آیات قرآن گزيده اي از منطق قرآن كريم تالبف دکتر علی وحیدیان کامیاد از اساتید دانشگاه فردوسی مشهد
ابتدا به چند تعریف زیر توجه کنید.
منطق کلاسیک: منطقی ست که در آن گزاره ها فقط ارزش راست یا دروغ دارند که آنرا منطق ۰ و ۱ می نامند.
منطق چند مقداره: منطقی که علاوه بر ۰ و ۱ چند مقدار دیگر را نیز اختیار می کند.
منطق بینهایت مقداره: در این منطق ارزش گزاره ها می تواند هر عدد حقیقی بین ۰ تا ۱ باشد.
منطق فازی: نوعی از منطق بینهایت مقداره و در حقیقت یک ابتکار برای بیان رفتار مطلوب سیستم ها با استفاده از زبان روزمره. در واقه منطق فازی یک منطق پیوسته است که از استدلال تقریبی بشر الگوبرداری کرده است.
جایگاه منطق در برداشت از قرآن کریم
منطق صحیح و مناسب به عنوان مبنا و زیربنای فکری در علوم و بویژه در علوم اسلامی نقش اساسی دارد. از این رو تفسیر برخی آیات قرآن بدلیل عدم استفاده از منطق مناسب امکان پذیر نیست. آیات بسیاری در قرآن از مخاطب برهان و دلیل تقاضا کرده است که نشان از حاکم بودن منطق در قرآن است. زیرا بدون منطق نمی توان برهان آورد و استدلال استنتاج نمود. برای نمونه می توانید به آیات ۱۱۱ بقره - ۱۰۴ و ۱۰۵ اعراف - ۲۴ انبیا - ۱۷۴ نسا و …. مراجعه کنید. پس تقریبا جایگاه منطق قرآن برایمان روشن است.
منطق قرآن نمی تواند دو ارزشی باشد. به مثال زیر توجه کنید:
در آیه ۴۵ سوره عنکبوت آمده است: … ان الصلوه تنهی عن الفحشا و المنکر … - یعنی همانا نماز است که اهل نماز را از هر کار زشت و منکر باز می دارد. اگر به صورت جمله منطقی این مطلب را بیان کنیم داریم: اگر فردی نماز بجای می آورد آنگاه آن فرد از هر کار زشت و منکر باز داشته می شود. حال سوال اینست که اغلب افراد نماز بجا می اورند ولی بعضی اعمال که خود فحشا و منکرند نیز مرتکب می شوند. توجیه این عمل چیست؟ پاسخ این است که نماز خواندن یک مفهوم بینهایت ارزشیست. یعنی ارزش نماز اغلب نمازگزاران بین صفر و یک است. از طرف دیگر دوری از فحشا و منکر نیز می تواند بینهایت ارزشی باشد. یعنی ممکن است یک فرد مرتکب فحشا کوچک و یا متوسط و یا بزرگ و یا خیلی بزرگ شود. به عبارت دیگر اعمال منکر یا فحشا درجات بسیار زیاد دارند. لذا براساس یک منطق فازی می توان نتیجه گرفت که اگر درجه قبولی نماز یک فرد فرضا ۵۰٪ باشد این فرد حداقل به اندازه ۵۰٪ از فحشا و منکر به دور است و هر چقدر درجه قبولی نماز افزایش یابد حداقل به همان اندازه از فحشا و منکر دور می شود. تا جاییکه اگر درجه قبولی ۱۰۰٪ باشد این فرد ۱۰۰٪ از فحشا و منکر به دور است.برای اثبات این حرف به زندگی امامان و معصومین توجه کنید.
برای مثال هایی دیگر از این دست می توان به آیه الا بذکر الله تطمئن القلوب نیز اشاره کرد. گزاره شرطی این آیه را می توان به صورت “اگر انسان خداوند را یاد کند آنگاه به آرامش می رسد” بیان کرد. از شما می خوام که تحلیلی فازی برای این آیه بیان کنید….

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:19 PM
لطفي زاده و منطق فازي تئوري فازي در سال ۱۹۶۵ توسط دكتر لطفي زاده در مقاله اي با عنوان ” مجموعه هاي فازي ” معرفي گرديد. البته زاده قبل از كار بر روي تئوري فازي شخصيت برجسته اي در تئوري كنترل بود و مفهوم ” حالت ” كه اساس تئوري كنترل مدرن را شكل مي دهد توسعه داد. در اوايل دهه ي ۶۰ او به اين نتيجه رسيد كه تئوري كنترل كلاسيك بيش از حد بر روي دقت تاكيد داشته و از اين رو با سيستم هاي پيچيده نمي تواند كار كند. در سال ۱۹۶۲ مطلبي را با اين مضمون براي سيستم هاي بيولوژيك نوشت : ” ما اساسا به نوع جديدي از رياضيات نيازمنديم، رياضيات مقادير مبهم يا فازي كه توسط توزيع هاي احتمال قابل توصيف نيستند. ” پس از آن وي ايده اش را در قالب مقاله ي “مجموعه هاي فازي ” تجسم بخشيد. در اين مقاله از منطق چند مقداري لوكاسيه ويچ براي مجموعه ها و گروه هاي اشيا استفاده شده بود. لطفي زاده برچسب يا نام فازي را روي اين مجموعه هاي گنگ يا چند ارزشي قرار داد. مجموعه هايي كه اجزايشان به درجات مختلف به آنها تعلق دارند. نظير مجموعه هايي از مردم كه از كار خود راضي هستند. علت اين نامگذاري اين بود كه مفهوم فازي را از منطق دودويي كه در زمان او مطرح بود دورسازد. او مي ديد كه دانشمندان روز به روز رياضيات را بيشتر در مسايل خود وارد مي كنند و سعي دارند تجارب علمي خود يا مشغله ي علمي خود را با استدلال سياه و سفيد و با استفاده از رايانه ها و ماشين هاي محاسب پيش ببرند. او لغت فازي را انتخاب كرد تا همچون خاري در چشم علم مدرن فرو رود.
اصطلاح فازي خشم شديد علوم را عليه خود برانگيخت. بزرگترين چالش از جانب رياضي داناني بود كه معتقد بودند تئوري احتمالات براي حل مسايلي كه تئوري فازي ادعاي حل بهتر آن را دارد كفايت مي كند. از آنجا كه كاربرد هاي علمي تئوري فازي در ابتداي پيدايش آن مشخص نبود تفهيم آن از جهت فلسفي كار مشكلي بود و تقريبا هيچ يك از مراكز تحقيقاتي تئوري فازي را به عنوان يك زمينه ي تحقيق جدي نگرفتند. سازمان هاي دولتي هيچگونه اعتباري براي تحقيقات در مورد فازي اختصاص ندادند. مجلات يا كنفرانس هاي معدودي مقالات فازي را پذيرفتند. دپارتمان هاي آكادميك اعضاي هيات علمي را كه صرفا تحقيقات فازي داشتند ارتقا نمي دادند .اين امر باعث شد اين رشته ي جديد علمي با تمام مشكلات يك فرزند خوانده كه در مظان اتهام قرار داشت رشد كند.
حركت فازي در آن روز ها به صورت يك فرقه ي كوچك بود و شكلي زير زميني به خود گرفت. اين نظريه بدون اينكه از ياري ها و حمايت هاي علمي متداول آن زمان برخوردار باشد رشد كرده و بالغ شد. اين امر باعث شد كه نظريه ي فازي حتي قوي تر شود. منطق فازي در دانشگاه ها به اين رشد نرسيد بلكه در بازار تجاري رشد كرد و متناوبا اعتراضات فلسفي دانشمندان غربي را رد كرد و خود اعتراضاتي را مطرح ساخت.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:20 PM
توضیح منطق فازی ریاضیات فازی یک فرا مجموعه از منطق بولی است که بر مفهوم درستی نسبی، دلالت می کند. منطق کلاسیک هر چیزی را بر اساس یک سیستم دوتائی نشان می دهد ( درست یا غلط، ۰ یا ۱، سیاه یا سفید) ولی منطق فازی درستی هر چیزی را با یک عدد که مقدار آن بین صفر و یک است نشان می دهد. مثلاً اگر رنگ سیاه را عدد صفر و رنگ سفید را عدد ۱ نشان دهیم، آن گاه رنگ خاکستری عددی نزدیک به صفر خواهد بود.
در سال ۱۹۶۵، دکتر لطفیزاده نظریه سیستمهای فازی را معرفی کرد. در فضایی که دانشمندان علوم مهندسی به دنبال روشهای ریاضی برای شکست دادن مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونهای دیگر از مدلسازی، اقدام کرد.
منطق فازی معتقد است که ابهام در ماهیت علم است. بر خلاف دیگران که معتقدند که باید تقریبها را دقیقتر کرد تا بهرهوری افزایش یابد، لطفیزاده معتقد است که باید به دنبال ساختن مدلهایی بود که ابهام را به عنوان بخشی از سیستم مدل کند. در منطق ارسطویی، یک دستهبندی درست و نادرست وجود دارد. تمام گزارهها درست یا نادرست هستند. بنابراین جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطویی اساساً یک گزاره نمیباشد، چرا که مقدار سرد بودن برای افراد مختلف متفاوت است و این جمله اساساً همیشه درست یا همیشه نادرست نیست. در منطق فازی، جملاتی هستند که مقداری درست و مقداری نادرست هستند. برای مثال، جمله “هوا سرد است” یک گزاره منطقی فازی میباشد که درستی آن گاهی کم و گاهی زیاد است.
گاهی همیشه درست و گاهی همیشه نادرست و گاهی تا حدودی درست است. منطق فازی میتواند پایهریز بنیانی برای فنآوری جدیدی باشد که تا کنون هم دستآوردهای فراوانی داشته است.
● کاربردها:
از منطق فازی برای ساخت کنترل کننده های لوازم خانگی از قبیل ماشین رختشویی (برای تشخیص حداکثر ظرفیت ماشین، مقدار مواد شوینده، تنظیم چرخهای شوینده) و یخچال استفاده می شود. کاربرد اساسی آن تشخیص حوزه متغیرهای پیوسته است. برای مثال یک وسیله اندازه گیری دما برای جلوگیری از قفل شدن یک عایق ممکن است چندین عضو مجزا تابعی داشته باشد تا بتواند حوزه دماهایی را که نیاز به کنترل دارد به طور صحیح تعریف نماید. هر تابع، یک ارزش دمایی مشابه که حوزه آن بین ۰ و ۱ است را اختیار می کند. از این ارزشهای داده شده برای تعیین چگونگی کنترل یک عایق استفاده می شود.
در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، توابعی برای مقایسه درجه حرارت هستند و هر نقطه ای روی این خطوط می تواند دارای یکی از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال برای یک درجه حرارت خاص که در شکل با یک خط نشان داده شده است، می توان گفت: «مقداری سرد است»،«اندکی گرم است» یا «اصلاً داغ نیست».
حال با مثال دیگری اهمیت این علم را بیشتر درک مینمائیم:
یک انسان در نور کافی قادر به درک میلیونها رنگ میباشد.ولی یک روبوت چگونه میتواند این تعداد رنگ را تشخیص دهد؟ حال اگر بخواهیم روباتی طراحی کنیم که قادر به تشخیص رنگها باشد از منطق فازی کمک میگیریم و با اختصاص اعدادی به هر رنگ آن را برای روبوت طراحی شده تعریف میکنیم.
از کاربردهای دیگر منطق فازی میتوان به کاربرد این علم در صنعت اتومبیل سازی(در طراحی سیستم ترمز abs و کنترل موتور برای بدست آوردن بالاترین راندمان قدرت)،در طراحی بعضی از ریزپردازنده ها و طراحی دوربینهای دیجیتال اشاره کرد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:21 PM
شبکه عصبی فازی انعطاف پذیر برای شناسایی اثرانگشت شناسایی عبارت است از هنر تشخیص یک شیء به کلاسی از الگوها که به آن تعلق دارد که به زبان ریاضی یعنی تشخیص الگوهای ورودی به یکی از طبقاتی که فضای چند بعدی اقلیدسی برای تصمیم گیری به تعداد متناهی از آن ها تقسیم شده است. [1]
با توجه به این که هر شخص الگوی اثرانگشت منحصر به فرد خود را داراست و کثرت این الگوها به تعداد افراد بشر، پیچیدگی و انعطاف پذیری بی بدیل این الگو آشکار می گردد(تغییرات و دگرگونی های مختلف حتی تصویر یک انگشت بسته به ابزار اخذ تصویر، میزان آلودگی و رطوبت انگشت و حتی میزان فشار وارده بر صفحه اخذ تصویر اثر و نحوه قرار دادن آن روی این صفحه، تصاویر مختلف و متفاوتی از آن انگشت بدست می دهد.)
طبق موارد ذکر شده سیستم تشخیص الگو علاوه بر جبران چرخش، دگرگونی و تغییر اندازه این الگو، بایستی قابلیت تصمیم گیری در مورد جابه جایی، حذف و اضافه شدن مشخصه های الگو را نیز دارا باشد.بنابراین ما در اینجا با تصاویر و الگوهای کاملا پویا و غیر قطعی سروکار داریم و لذا مسئله اثرانگشت هنری است که وابستگی زیادی به تجربه و معرفت افراد خبره و مهارت های تجربی دارد.
شبکه عصبی (Neural Network)NN یک ساختار عظیم موازی، متشکل از تعداد زیادی عناصر پردازشگر است که از طریق وزنها با یکدیگر در ارتباطند. [1] شبکه عصبی دارای قابلیت پردازش موازی، توانایی یادگیری و اخذ تصمیم می باشد که به صورت مدل پردازش موازی توسعه یافته PDP (Parallel Distributed Processing) بیان می شود. [3] [2]
شبکه های عصبی NN در مسائل تشخیص الگو بویژه در سیستم های مستقل از انتقال و تغییر اندازه الگو مورد بررسی قرار گرفته و کاربرد دارند؛ مانند کارهای Fukumi و Lisoba برای تشخیص الگوهای مستقل از چرخش و دگرگونی [4]، اما در شبکه های اینچنینی تعداد وزن ها با مرتبه ی شبکه بالاتر رفته و ساختار شبکه پیچیده تر می شود.
از طرف دیگر عقیده بر این است که یادگیری مغز انسان نه تنها از ادراک دقیق بوده، بلکه از تصاویر کلی و پیچیده نامفهوم نیز تا ثیر می پذیرد لذا مسئله گروه بندی و تشخیص با عدم اطمینان مسئله مهمی در تشخیص الگو بوده و بنابراین تئوری شبکه فازی خود را به عنوان یک اهمیت ارزشمند در مسائل تشخیص الگو مطرح نموده است.[5],[6]
ترکیب مشخصه های سیستم های فازی (توانایی پردازش اطلاعات فازی با استفاده از الگوریتم های فازی) و خصوصیات شبکه های عصبی (قابلیت یادگیری و ساختار موازی سرعت بالا) هدف ما برای تشکیل یک شبکه عصبی فازی با قابلیت یادگیری از محیط است. یکی از روش های نوین ترکیب این دو سیستم استفاده از نرون های فازی در شبکه های عصبی است که بسته به قابلیت ها و انعطاف پذیری فوق العاده ی عملگرهای فازی کاربرد آن در حال توسعه است. از جمله این فعالیت ها معرفی یک مدل نرون فازی ساده توسط Yamakava و استفاده از آن در یک شبکه عصبی برای تشخیص کاراکترها منتهی بدون ذکر الگوریتم یادگیری این شبکه بوده است.[7]
Cai و Kwan نیز یک شبکه عصبی – فازی متشکل از نرون های فازی برای تشخیص حروف و اعداد معرفی نموده اند.[8] این شبکه با وجود انعطاف پذیری خوبی که دارد منتهی کار خوشه بندی (Clustering) را به جای کلاس بندی (Classifying) دقیق با استفاده از الگوریتم یادگیری بدون ناظر به انجام می رساند.
نیخیل (Nikhil) و گوتام (Gautam) در سال 1999 طی بررسی مجدد این شبکه برای بهینه سازی عملکرد آن با استفاده از (Soft Computing) تعریف برخی از نرون های فازی را تغییر داده و یک رابطه برای تعیین پارامترهای شبکه با استفاده از بردارهای برچسب کلاس (Class label vectors) ذکر کرده اند.[9]
ما در این مقاله از تعدادی از نرون های فازی معرفی شده در مرجع [8] استفاده کرده و قسمتی از ساختار شبکه ی معرفی شده توسط Cai و Kwan را در شبکه پیشنهادی خود به کار برده ایم، منتهی با تعریف نرون های جدید و افزودن یک لایه مکمل ساختار شبکه را تا حد زیادی بهبود داده ایم به گونه ای که شبکه کاملا به یک شبکه ی کلاسه بندی کننده تبدیل شده است و دقت تشخیص شبکه برای کاراکترهای حرفی و عددی نسبت به شبکه ابداعی Cai و Kwan افزایش قابل ملاحظه ای یافته و به 100% تشخیص درست رسیده است.
در بخش اول ما پس از تعریف نرون فازی، به معرفی نرون های فازی مورد استفاده در شبکه می پردازیم و در بخش های بعدی با ذکر ساختار ابتدایی شبکه ی Cai و Kwan که متشکل از 4 لایه رو به جلو است، به بررسی مشکلات و کاستی های شبکه پرداخته و راه بهبود آن را با افزودن یک طبقه ی پیشنهادی به شبکه قبل و طرح شبکه جدید 5 لایه ی روبه جلوی کلاسه بندی کننده همراه با تعریف نرون های جدید بیان می داریم.
درک ساختار و عملکرد این FNN ساده و قابل فهم و سرعت یادگیری و شناسایی آن زیاد است و طبقات سوم، چهارم و پنجم آن طی فرآیند یادگیری سازماندهی می شوند. در قسمت آخر به بررسی عملکرد و ذکر نتایج بدست آمده از آن در هنگام اعمال الگوهای اثرانگشت می پردازیم. نرون های فازی (Fuzzy Neurons, FNs)
الف- تعریف نرون فازی:
یک نرون فازی N ورودی وزن دار (wi , xi , i=1 to N) و M خروجی
(j=1 to M) را داراست تمام ورودی ها و وزن ها مقادیر حقیقی بوده و خروجی ها نیز مقادیر حقیقی مثبتی در بازه [0,1] می باشند، که در حقیقت بیانگر یک مقدار عضویت در مفهوم فازی هستند. یعنی خروجی ها بینگر این واقعیتند که یک الگوی ورودی با آرایه {x1 , x2 ,…, xN} تا چه حد به یک مجموعه فازی در نظرگرفته شده تعلق دارد.
شکل (1) نرون فازی را که در این تحقیق مورد استفاده قرار گرفته است نشان داده و روابط آن نیز در ذیل آن بیان شده است.[13]


http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/scan1.gif


روابطی که بر عملکرد این نرون حاکم است عبارتند از:
(h a تابع اجتماع (Aggregation Function) : در اینجا z ورودی خالص (Net Input) نرون فازی می باشد.

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/1.gif
(f b تابع فعالیت:

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/2.gif

(gj[ ] c تابع خروجی (Output Function) شبکه FN است.
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/3.gif

که توابع عضویت الگوهای ورودی به شکل آرايه http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/4.gif را در تمام M مجموعه فازي بيان خواهد كرد. در نتيجه نرون هاي فازي مي توانند اطلاعات فازي را توضيح داده و پردازش نمايند.
در حالت كلي، وزن ها، آستانه فعاليت و توابع خروجي كه بيانگر روابط داخلي نرون هاي فازي و تعامل آن ها با يكديگر مي باشند، مي توانند در طي فرايند يادگيري تنظيم شوند بنابراين نرون هاي فازي تطبيق پذيرند (Adaptive) و يك شبكه عصبي_فازي تشكيل شده از نرون هاي فازي، قابليت آموزش و يادگيري از محيط را با الگوهاي مختلف داراست.
توابع اجتماع و فعاليت از خصوصيات ذاتي يك نرون فازي مي باشند و اگر توابع متفاوتي از http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/h%5B%5D.gif و http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/f%5B%5D.gif در نرون ها استفاده شوند، اين نرون ها خصوصيات و ويژگي هاي متفاوتي خواهند داشت و مشخصات آن ها تغيير خواهد كرد لذا انواع زيادي از نرون هاي فازي را مي توان با انتخاب http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/h%5B%5D.gif و http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/f%5B%5D.gif تعريف نمود.
در ابتدا پنج نوع نرون فازي مورد استفاده در شبكه را به صورت زير تعريف مي كنيم.
1- نرون فازي ورودي (Input-FN)
هنگامي كه از يك FN در لايه ورودي يك FNN به گونه اي استفاده شود كه داشته باشيم

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/5.gif

2- نرون فازي بيشينه (Maximum-FN (Max-FN))
هنگامي كه تابع به كار رفته به عنوان تابع اجتماع يك نرون فازي، تابع بيشينه ياب باشد

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/6.gif

3- نرون فازي كمينه (Minimum-FN (Min-FN))
هنگامي كه تابع اجتماع نرون فازي به صورت كمينه ياب عمل كند.
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/7.gif

4- نرون فازي رقابتي (Competitive-FN (Comp-FN))
در صورتي كه FN داراي يك آستانه متغيير T و فقط يك خروجي به فرم زير داشته باشد.
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/8.gif

جايي كه s وضعيت FN بوده، تابع http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/t%5B%5D.gif يك تابع آستانه مي باشد و http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/9.gif به صورت تابع http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/10.gif مبدل متغييرهاي مقايسه اي FN مي باشد.
5- نرون فازي جمع كننده (SUM-FN)

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/11.gif
كه اين نرون مجموع ورودي ها را محاسبه مي نمايد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:21 PM
ب- ساختار ابتدايي شبكه عصبي_فازي مورد استفاده:[8]
شبكه مورد استفاده در حقيقت داراي چهار لايه پيش رو متشكل از نرون هاي فازي تعريف شده مي باشد كه ساختار آن در شكل (2) نمايش داده شده است.


http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/scan2.gif


1-لايه نخست
هر نرون ورودي در اين لايه مطابق با يك پيكسل (Pixel) الگوي ورودي است كه مي تواند هم مستقيما مقدار واقعي پيكسل هاي تشكيل دهنده ي تصوير ورودي ما باشد (چنانكه در مورد الگوهاي حروف الفبا مورد استفاده قرار گرفته) و هم مي تواند حاوي مقدار كدگذاري شده (Encoded) مشخصه هاي مورد نظر طراح از تصوير ورودي باشد. (همان كاري كه در اين تحقيق براي تطبيق اثرانگشت انجام داده ايم). در اين لايه از نرون هاي ورودي (Input-FN) استفاده شده است.
بسته به تصاوير دو بعدي مورد استفاده ، FNهاي ورودي اين لايه به صورت دو بعدي نمايش داده شده و شماره گذاري شده اند. اگر الگوهاي ورودي ما يك ماتريس http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/16.gif باشد آنگاه تعداد نرون هاي فازي در اين لايه برابربا http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/16.gif نرون خواهد بود كه روابط حاكم بر نرون فازي (i,j)ام در لايه نخست به صورت زير بيان مي گردد.
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/12.gif
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/13.gif
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/xij.gif مقدار ورودي (i,j)ام از آرايه ورودي بوده و مقدار آن http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/14.gif مي تواند باشد. با اين كار تمامي خروجي هاي http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/15.gif اين لايه نرماليزه مي شوند.
2- لايه دوم
اين لايه به صورت دو بعدي و شامل http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/16.gif نرون فازي بيشينه (Max-FN) با وظيفه فازيسازي الگوهاي ورودي به واسطه يك تابع وزني http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/17.gif است. حالت نرون http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/pq.gif ام در اين لايه به صورت:

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/18.gif
جايي كه http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/19.gif وزن ارتباطي http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/ij.gif نرون ورودي در نخستين لايه به http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/pq.gif امين نرون بيشينه در لايه دوم مي باشد كه به فرم زير نيز تعريف مي گردد.

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/20.gif
تابع وزن http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/17.gif ، در حقيقت تابع فازي ساز در اين شبكه مي باشد، كه طرحي از آن براي http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/22.gif در شكل(3) نشان داده شده است.


http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/scan3.gif

با استفاده از اين تابع، وزن ارتباطي هر FN براي لايه دوم مانند يك لنز عمل مي نمايد كه توسط آن هر FN روي يك پيكسل مركزي از الگوي ورودي متمركز(Focus) مي شود و بسته به مقدار ضريب علاوه بر آن نقطه،نقاط پيرامون آن را نيز مي بيند كه توسط الگوريتم يادگيري بر روي آن تصميمگيري ميشود. هر نرون فازي بيشينه در اين لايه به تعداد M خروجي متفاوت يكي به ازاي هر FN در سومين لايه خواهد داشت، كه به فرم زير محاسبه ميگردد.

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/23.gif
جايي كه http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/24.gif ، mامين خروجي http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/pq.gif امين Max-FN در لايه دوم است كه به امين نرون فزي كمينه (Min-FN) در لايه سوم متصل شده است.
تابع خروجي http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/25.gif توسط الگوريتم يادگيري تعيين مي گردد كه بستگي به نظر طراح و رويه اي كه براي تطبيق در نظر گرفته است دارد. در حقيقت اين تابع بيانگر شكل و نحوه تصميمگيري ما بوده و تابع اساسي براي تصميمگيري و نتايج آتي مقايسه ميباشد. مي توان اين تابع را به گونهاي طراحي كرد كه خروجي آن بيانگر عدم شباهت بوده و بر اساس ميزان عدم شباهت تصميمگيري نمايد [10] شكل (5)، يا طبق روش مورد استفاده ما تابع را بر اساس ميزان شباهت طرح نموده و بر اساس آن نتايج آتي را پايهگذاري نمايد.
براي سادگي ما مثلثهاي متساويالساقين با ارتفاع برابر با يك و قاعده برابر http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/alpha.gif

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:22 PM
3- لايه سوم
نرونهاي فازي كمينه در لايه سوم يك الگوي يادگرفته شده را معرفي نموده لذا تعداد آنها در سومين لايه پس از پايان پروسهي يادگيري مشخص خواهد گرديد.
خروجي mامين، نرون كمينه در لايه سوم عبارتست از

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/29.gif

4- لايه چهارم
با استفاده از نرونهاي رقابتي (Comp-FN) در لايه چهارم هر الگوي مجزاي آموزش يافته يك نرون فازي مقايسهاي را به خود اختصاص خواهد داد، بنابراين در اين لايه M نرون مجزا، با نتيجهي خروجي غيرفازي خواهيم داشت.
اگر يك آرايه ورودي، خيلي شبيه به mامين الگوي يادگرفته شده باشد آنگاه خروجي mامين نرون مقايسهاي طبق روابط حاكم بر اين نرون در لايهي چهارم يك مي شود، در حالي كه خروجيهاي ديگر صفر خواهد بود.

http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/30.gif


تغيير وبهينهسازي شبكه
اين شبكه داراي قابليتهاي بالقوهي بسياري است كه مي تواند الگوهاي مختلف با ويژگيها و شاخصههاي متنوع را تطبيق نمايد. اين شبكه با همين ساختار و تعداد 4 لايه براي تشخيص حروف الفبا و الگوهايي كه داراي تغييرات محدود مي باشند (مثل شيفت به طرفين به اندازه يك يا دو پيكسل، يا چرخش محدود) البته با تنظيم مناسب پارامترهاي آن مثل http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/alpha.gif و http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/beta.gif به خوبي عمل ميكند اما اگر تغيير و دگرگوني تصوير به حدي باشد كه ميزان شباهت تشخيص داده شده توسط شبكه از يك حد آستانه، بسته به نظر طراح، كمتر شود آن را به عنوان يك الگوي جديد قلمداد كرده و يك كلاس مجزا براي آن در نظر مي گيرد و لذا تعداد نرونهاي فازي ما در لايههاي سوم و چهارم شبكه يكي افزايش مييابد.
در اين شبكه دچار اين نقطه ضعف ميباشيم كه اگر دو تصوير از يك الگوي واحد، منتهي با قدري جابجايي، چرخش، اعوجاج، تاثير نويز و حتي پاك شدن برخي قسمتها به شبكه اعمال كنيم، ديگر قادر به تشخيص شباهت آن با الگوي اصلي آموزش ديده، نشده (البته ميزان توانايي شبكه در تشخيص و تطبيق به پارامترهاي شبكه نيز وابستگي زيادي دارد) و به صورت يك الگوي جديد تحت يك كلاس جديد شناخته مي شود. مخصوصا در مورد تصاوير اثرانگشت كه يكي از متغييرترين و انعطافپذيرترين الگوهاي تصويري ميباشند. همانگونه كه ذكر شد، ايجاد يك تصوير اثرانگشت مناسب به عوامل بسيار زيادي وابسته است و با كوچكترين تغيير در هنگام اخذ تصوير اثر، مشخصهها به شدت تغيير مييابند.
بنابراين در اعمال اين آرايههاي ورودي كه از يك انگشت بدست آمده به شبكه ما به جاي يك كلاس كه مشخصكنندهي اثرانگشت يك شخص باشد چندين كلاس مختلف (بسته به توانايي شبكه در تشخيص الگوهاي مشابه) خواهيم داشت بنايراين تصميمگيري و شناخت ما دچار مشكل ميشود.
ما در اينجا راه حلي پيشنهاد كرده و به كار بستهايم كه تنها مختص اثرانگشت نبوده و بهطور كل قابليت شبكه را ارتقاء ميدهد و بهويژه در مسئله شناخت و تشخيص حروف كه در ابتدا اين شبكه يراي همين كاربرد توسط Cai و Kwan ابداع گرديد، نتايج بسيار عالي و بهينه ايجاد ميكند.
افزودن طبقه پيشنهادي و طرح شبكه جديد 5لايه
در اين شيوه ما براي هر الگو و تصوير كه مدنظر داريم و در مورد اثرانگشت، براي هر شخص، يك كلاس مجزي و منفرد در نظر مي گيريم. سپس در اين كلاس تصاوير اثرانگشت شخص را ذخيره مينماييم اين تصاوير تشكيل ميشود از حالتهاي مختلف ولي متعارفي كه شخص انگشت خود را بر روي صفحهي حساس اخذ تصوير قرار ميدهد و به اين طريق ما تصوير تمام حالات ممكن و متعارفي را كه شخص ممكن است انگشت خود را قرار دهد بدست آوردهايم.
آنگاه پس از مراحل مختلف بازيافت و پردازش، مشخصات و پيكسلهاي هر اثر را به صورت آرايه مناسب تبديل كرده و به شبكه اعمال مينماييم. شبكه شروع به يادگيري نموده و طي فرآيند يادگيري خود، تصاوير و آرايههاي مشابه هم را تشخيص داده و همه را به صورت يك زير كلاس (Sub class) در يك مجموعه واحد ذخيره مينمايد.
تصاويري را نيز كه قادر به تشخيص تشابه آنها با ديگر تصاوير گروه نباشد در يك زير كلاس مجزاي ديگر ذخيره ميكند و براي آن يك نرون فازي مجزا در لايه سوم و چهارم در نظر ميگيرد ما طبق شكل (6) تمام كلاسهايي را كه در لايه چهارم ايجاد ميشوند به عنوان زير كلاس در نظر ميگيريم آنگاه تمام اين زير كلاسها را بسته به تعداد كلاسهاي اصلي طبقهبندي كرده و بررسي ميكنيم هر كلاس (شخص) مجزي داراي چند زير كلاس ميباشد و آنگاه خروجيهاي همه زيركلاسهاي مربوط به آن را به يك نرون واحد در طبقه پنجم وصل مينماييم كه اين نرون بيانگر كلاس يا شخص منفرد اصلي ماست. تعريف لايه پنجم وقتي بخواهيم بدانيم الگو يا اثرانگشت ورودي به كدام كلاس اصلي وابسته است:



http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/scan7.gif
http://www.riaziha.com/images/posts/fuzzy_asare_angosht/scan8.gif
نتايج و جمعبندي
با افزودن لايه پنجم به شبكه قابليت تشخيص شبكه افزايش چشمگيري مييابد چرا كه تمام حالات متعارف يك الگو به شبكه آموزش داده شده و الگوي ورودي مثلأ متعلق به اولين كلاس وقتي به شبكه اعمال ميشود حداقل با يكي از زيركلاسهاي الگوي اصلي تشابه داشته و لذا خروجي مربوط به كلاس اصلي آن فعال ميگردد.
امتياز بسيار خوب ديگري كه به اين شبكه با اين لايه اضافه شده اين است كه شبكه ابتدايي (4 لايه نرون فازي) يك شبكه در حقيقت دستهبندي كننده بود كه از ابتدا ما نميتوانستيم بر تعداد كلاسهاي نهايي خروجي اشراف داشته باشيم و بدانيم كه سر آخر چند كلاس خواهيم داشت وشبكه بسته به تنظيم پارامترهاي آن كلاسهاي خروجي را بدون كنترل ناظر ايجاد ميكرد كه ميتوانست بيشتر از تعداد كلاسهاي مد نظر باشد. اما با اضافه كردن اين لايه ما دقيقا تعداد كلاسهاي خروجي را از ابتدا ميدانيم و شبكه را نيز با اشراف كامل آموزش ميدهيم بنابراين شبكه دستهبنديكننده تبديل به شبكه كلاسهبندي كننده ميشود آموزش آن نيز يادگيري با سرپرست ميباشد. يعني ما هم الگوهاي ورودي را داريم و هم ميدانيم كه اين الگوها بايستي چه نتيجهاي را در خروجي ايجاد نمايند. تست اين شبكه با يك بانك آثارانگشت مشتمل بر حدود صد اثرانگشت كه از انگشت ده نفر متفاوت با حالتهاي مختلف اخذ شده بود انجام گرديد.
شبكه بسته به مقدار پارامترهاي تنظيمي خود بين 3 تا 7 زيركلاس براي هر اثرانگشت در بين ده كلاس اصلي نمايندهي ده نفر ايجاد نمود. جدول يك، يكي از جداولي است كه با تنظيم پارامترهاي مورد نظر، تشابهات يافته شده توسط شبكه را در هنگام اعمال الگوهاي اثرانگشت نشان ميدهد.
آرايه ورودي پس از عبور از سه لايه اول با الگوهاي ذخيره شده در شبكه (كه طي فرآيند يادگيري آموخته شدهاند) مقايسه شده و به هر كدام كه شبيهتر بود جزء آن طبقه قلمداد خواهد گرديد و يا در صورت عدم شباهت به هيچكدام، خود يك شبكه جديد را ايجاد ميكند يعني در اينجا ما در مرحله تست و بررسي، باز هم مرحله يادگيري را خواهيم داشت و هر دو عمل در اين شبكه توأمان قابل اجرايند. همچنين از آنجا كه خروجي لايه سوم بيانگر ميزان شباهت به الگوهاي آموزش يافته است ما ميتوانيم علاوه بر طبقهبندي الگوها درصد شباهت الگوي ورودي به الگوهاي كلاسمان را نيز به اين صورت به دست آوريم.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:23 PM
1.Hadfeild *- افراد ميدان وابسته (Field – dependent) کساني هستند که در مسائل داراي رويکرد کلي هستند و در جداسازي عناصر و اجرا محيط و بافت اصلي خود ( تجزيه و تحليل ساختارها ) دچار مشکل اند ؛ در حالي که افراد ميدان ناوابسته داراي رويکرد تحليلي بوده و قابليت بيشتري در جداسازي و شناخت عناصر سازنده يک سامانه دارند ؛ در نتيجه بهتر مي توانند اطلاعات و اجزاي مزاحم را از عناصر مربوط و علامت دهنده تشخيص دهند

2.Fennema & Sherman برخي از پژوهشگران مانند برتون و راسل 1 دريافتند که فقدان زمينه کافي در رياضيات براي انجام فعاليت هاي رياضي و کمبود عزت نفس در رياضي موجب تقويت اضطراب رياضي خواهند شد. بنابر اين احساس فقدان يا ترديد در توانايي نسبت به انجام فعايت هاي مناسب رياضي در موقعيت هاي مختلف ، فرد را در معرض بروز تقويت اضطراب رياضي قرار خواهد داد و هرگاه اين احساس در يادگيرنده نهادينه شود علاوه بر ابتلاي به اضطراب رياضي نوعين طرز تقلي منفي نيز نسبت به رياضيات در کل در او ايجاد خواهد شد. گاه مشاهده مي شود که حتي دانشجويان نسبتاً خوب رياضي به دليل فقدان احساس اطمينان رياضي مناسب ، با اندک تغييري در شرايط دچار هراس واضطراب مي شوند.

به عنوان نمونه دانشجويي در مراجعه به نگارنده اظهار مي داشت. حتي تأخير در شروع جلسه امتحان رياضي او را مضطرب مي کند و يا دانشجوي نسبتاً مستعدي از گروه رياضي تقاضا داشت که به جاي شرکت درجلسه رسمي و اضطراب آور امتحان هاي رياضي ، استاد از او به طور جداگانه و يا زماني که خود دانشجو در طول ترم تعيين مي کند ، امتحان بگيرد. اينها و ده ها نمونه ديگر در ميان فراگيران رياضي گوياي اين واقعيت است که چگونه نهادينه شدن ترديد در قابليت هاي رياضي با ابتلاي فرد به اضطراب رياضي ، رفتار رياضي او را دچار مشکلات جدي مي کند.

اضطراب رياضي و شيوه هاي آموزشي اتخاذ شيوه آموزشي مناسب به مثابه عاملي بروني مي تواند به گونه اي مؤثر در شکل دهي رفتار رياضي دانش آموزان و دانشجويان عمل نمايد. از آنجايي که رفتار رياضي رشد يابنده و پويا محصول تعامل و تقابل مؤثر عوامل بروني و دروني است ، بنابر اين شيوه آموزشي مفاهيم ومهارت هاي رياضي بدون توجه به عوامل دروني ، به ويژه تفاوت هاي فردي يادگيرنده ها امري غير علمي است و طبعاً بهره وري مطلوب را در يادگيري رياضيات به همراه نخواهد داشت .

در اين ميان بينش معلمان و مربيان رياضي نسبت به حالات هيجاني و روحي شاگردان در خور اهميت است تا با انتخاب روش مناسب آموزشي و فعاليت هاب کلاسي شايسته ، زمينه مشارکت بيشتر و مطلوبتر فراگيران خود را فراهم آورند. پس بدون ترديد اقتدار علمي معلمان و شيوه آموزشي آنان در تدريس و هدايت فعاليت هاي رياضي مي تواند موجب تشديد اضطراب رياضي درافراد و يا تنش زدايي آن بشود. ___________ 1.Burton & Russell کلوت (1984) در پژوهشي پي برد که تعامل و ارتباط معناداري بين (p<0/01) اضطراب رياضي و اتخاذ شيوه آموزشي وجود دارد ؛ به طوري که دانشجويان با سطح اضطراب بالاي رياضي از شيوه توصيفي در آموزش سود بيشتري مي برند ، در حالي که دانشجويان با اضطراب پايين شيوه اکتشافي را مفيد تر يافته اند.

درواقع افراد مضطرب نيازمند آرامش بيشتر و تکيه بر مباحث خوب سازمان يافته و با طراحي شفاف تر براي ياد گيري رياضي هستند. از اين رو ، نگرش توصيفي به آموزش وتدريس با ساختارهاي روشن در محيطي با نشاط و آرام در کاهش اضطراب آنها سودمند است. برعکس ، همان طوري که قبلاً بحث شد غالب فراگيران با اضطراب اندک با برخورداري از اطمينان رياضي بالاتر تمايل زيادتري به مناقشه هاي علمي و بحث و جدل با معلمان خود دارند ، در حالي که فراگيران فاقد اطمينان رياضي از درگير شدن با چنين کشمکش هايي که طبعاً اضطراب زا هستند بيزارند ( ري ز3، 1980) .

بنابر اين منطقي به نظر مي رسد که شيوه آموزش اکتشافي ، که موجب ايجاد بسط شرايط محيطي دلهره آور خواهد شد ، براي فراگيراني مناسب تر است که از اطمينان رياضي بالاتر و در نتيجه اضطراب رياضي کمتري برخورداند. ضمناً تشکيل گروه هاي کوچک کاري براي انجام فعاليت هاي رياضي در ميان فراگيران ميدان بحث و اظهار نظر را در بين آنان گشوده و با هدايت آگاهانه معلم ، گروه مي تواند فرصت مناسبي را براي يادگيري هاي مشارکتي در ميان هم شاگردان ايجاد کند و موجب رشد طرحواره مفهومي و آمادگي هاي ذهني افراد شود. در نتيجه دانش رياضي يادگيرنده ها گسترده تر مي شود .

بدين ترتيب در محيطي نسبتاً بي دغدغه شايد خود اتکايي و اطمينان رياضي فراگيران افزايش يابد و درگروهي متجانس از افراد با اضطراب بالاتر اين باور ايجاد شود که توانايي و قابليت نسبي فهم رياضي وکار رياضي را دارند. دانش ، تجربه و هنر معلمي اقتضا مي کند که با توجه به قابليت ها و وضعيت رواني کلاس تلفيقي متعادل ومتناسب از شيوه هاي آموزشي شامل روش توصيفي ، اکتشافي ، کارگروهي و انجام پروژه هاي کوچک علمي در حوصله درس ، موجبات لذت بخشي رفتار رياضي فراهم آيد.

بديهي است که لذت ناشي از مسرت بخش شدن کار رياضي در کنترل و تخفيف اضطراب رياضي به نحو قابل ملاحظه اي مؤثر است. اضطراب رياضي و جنس تفاوت و ويژگي هاي رفتار رياضي در دو جنس امري است که مورد علاقه پژوهشگران آموزشي رياضي است.

واقعاً زن بودن يا مرد بودن چگونه ممکن است بر عملکرد افراد در دروس مختلف رياضي مؤثر افتد ؟ آيا اصولاً پسران به لحاظ طبيعت و فرصت هاي اجتماعي در انجام فعاليت هاي رياضي بر دختران برتري دارند ؟

آيا جنبه هاي مختلف زيستي ، روان شناختي و حالات مختلف هيجاني از جمله اضطراب و اطمينان رياضي هيچگونه تفاوتي را در رفتار رياضي زنان و مردان نشان نمي دهد ؟

در اين خصوص دستاوردها و مناقشات علمي فراوان است اما در مورد اضطراب رياضي مي توان گفت که برخي از پژوهش ها از جمله پژوهش بروش 1(1978) نشان داده شده است که از نظر آماري به طور معناداري زنان ، در مقايسه با مردان ، نمره بالاتري را در مقياس درجه بندي اضطراب رياضي موسوم به MARS کسب کرده اند. به علاوه ، طبق گزارش بنسون 3( 1987) زنان در مقايسه با همکلاسي ها ي مرد خود در دانشگاه نمرات بالاتري را در آزمون هاي اضطراب کلي و اضطراب آمار و رياضي به دست آورده اند. در عين حال لئون (1992) پي برد که ميزان اضطراب رياضي در دانشجويان و معلمان ضمن خدمت علوم اجتماعي ، ارتباطي با جنس افراد نداشته است ؛ بلکه بايد عوامل ديگري را به منظور تبيين تفاوت عملکرد رياضي ميان زنان ومردان جستجو کرد.

1.Brush 2.Mathematics Anxiety 3.Benson در هر حال، اگر توانايي ها و قابليت هاي متفاوت ذهني و رواني و فرصت هاي مختلف اجتماعي فرهنگي مردان و زنان در عرصه ء کار رياضيات مورد تأمل قرار گيرد ، طبيعي است که ابتلاي زود هنگام تر زنان به اضطراب رياضي و ترديد شان نسبت به اطمينان رياضي را در مقايسه با مردان بپذيريم. هر چند که اين امر نيازمند مطالعات بيشتري است تا معلوم شود که چگونه پيشرفت در رياضيات تحت تأثير اضطراب رياضي و جنس قرار مي گيرد.

بديهي است که دستاوردهاي ناشي از چنين پژوهش هايي نتايج ارزشمندي را براي يادگيرندگان ، معلمان و برنامه ريزان آموزشي در رياضيات فراهم خواهد آورد. آزمون هاي اندازه گيري اضطراب رياضي چگونه مي توان ميزان اضطراب رياضي را در افراد تعيين کرد تا از گمان هاي غير علمي جلوگيري شود؟ سويين 1(1970) براي سنجش سطح اضطراب رياضي آزمون را MARS طراحي و اجرا کرد. اين آزمون شامل 98 پرسش است که بر انگيختگي هاي اضطراب آور را در فعاليت هاي رياضي افراد اندازه مي گيرد .

در اين آزمون اضطراب اشخاص بر حسب ميزان ابتلاي آنان به پنج درجه تقسيم مي شود. آزمون هاي تغيير يافته ديگري بر اساس MARS تحت عنوان RMARS توسط پژوهشگران ديگر از جمله فرگاسون2( 1986) طراحي و اجرا شده است . آزمون فرگاسون شامل 30 پرسش است که 20 پرسش آن از MARS اقتباس شده است. به اعتقاد فرگاسون ده پرسش جديد ، به گونه اي است که مي تواند عامل ديگري را در اضطراب رياضي تحت عنوان اضطراب تجريد 3 اندازه گيري کند. در واقع به کمک اين ده پرسش جديد مي توان اضطراب ناشي از کارکردن و برخورد با مقولات مجرد و نمادهاي رياضي را در افراد به ويژه در مقاطع متوسطه ، مورد سنجش قرار داد.

او با انجام پژوهش نشان داده است که اضطراب تجريد نيز عاملي است که بايد در اندازه گيري اضطراب يا رياضي اشخاص به حساب آيد. مثلاً کار کردن با مجموعه ها متغيير ها و … x,y و پارامترها m,n,a,… به جاي اعداد در مقاطع ابتدايي و راهنمايي و حتي بالاتر يا نمادهايي مانند [IxI] و [x] يا کار کردن با انتگرال هاي دو گانه يا چند گانه و… مي توانند اضطراب آور باشند. شيوه هاي علمي کنترل و کاهش اضطراب رياضي به منظور بهره وري بيشتر و رشد رفتار رياضي افراد بديهي است پس از شناخت واقعيت هاي مربوط به حالات عاطفي و هيجاني و عمدتاً اضطراب رياضي و تأثيرشان بر عملکرد رياضي دانش اندوزان بايد راه کارهاي علمي مهار و کاهش آنها را شناسايي کرده و به طور مؤثر به کار گيريم. بديهي است که در اين ميان نقش سه گروه معلمان ؛ دانش آموزان و دانشجويان ؛ خانواده ها از جايگاه ويژه اي برخورداراست. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين جايگاه ويژه اي برخوردار است. البته سهم هر يک ونقشي که گروه هاي سه گانه در اين مهم مي توانند ايفا کنند ، در مقطع هاي مختلف تحصيلي متقاوت است ، مثلاً در رياضيات مدرسه اي ، به ويژه سال هاي نخست فراگيري مفاهيم و مهارت رياضي ، معلمان و خانواده ها در مقايسه با دانش آموزان سهم عمده تري را در شناخت و کاهش تأثيرهاي هيجاني و تنش زا بر عهده دارند ؛ در حالي که در رياضيات دانشگاهي دانشجو اولويت و سهم بيشتري دارد. در هر صورت همکاري هاي مؤثر ومتقابل سه عنصر معلم ، دانش آموز و خانواده در قالب يک نگرش نظام دار مي تواند سازو کارهاي لازم را براي حذف موقعيت هاي هراس آور و اضطراب زا در انجام فعاليت هاي رياضي فراهم آورد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:24 PM
1- شناخت پديده هاي هيجاني و فشارهاي رواني ، به ويژه مقوله اضطراب ، در عرصه فعاليت هاي رياضي و تلاش براي مسلط شدن بر اين حالت ها به کمک راهکارهاي علمي . راسل در کتاب اميدهاي نو مي نويسد : بر خورد علمي با بلا و مصيبت دو حسن دارد ، يکي اينکه باعث مي شود شخص با ميل و اراده خودش آن را بپذيرد ؛ ديگر اينکه سبب خواهد شد عقل انسان در جستجوي وسايل تسکين آن بر آيد . بنابر اين برخورد علمي با پديده اضطراب رياضي از سوي همه گروه هاي ذينفع به ويژه شاگردان و انديشيدن و باور به امکان حل آن نيمي از موفقيت است.

2- توجه و برخورد علمي با تفاوت هاي فردي در ابعاد گوناگون ، به ويژه از سوي معلمان و والدين اين تفاوت ها مي تواند شامل سبک هاي مختلف شماختي " يادگيري " ظرفيت حافظه فعال ، فرايندهاي ذهني و پردازش اطلاعات ، دانش قبلي ، رجحان ها و انگيزش ها ، جنبه هاي عاطفي و رواني ، مؤلفه هاي فرهنگي – اقتصادي ، خانوادگي و جنس و… باشد.

3- تلاش براي ايجاد اعتماد متقابل بين معلمان و دانش اندوزان . نگارنده در طي نشست و گفتگويي که با جمعي از دانشجويان رياضي در يکي از دانشگاه هاي ايران داشت ؛ به ضرورت اعتماد متقابل ميان معلم و شاگرد ، به ويژه در ميان دختران دانشجو و در سال هاي اوليه ورود به دانشگاه ، به عنوان عاملي در کاهش افسردگي ها و نگراني ها پي برد.

4- تلاش براي ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات ، تقويت اطمينان رياضي در افراد ، لذت بخش ساختن فعاليت هاي رياضي و آشناسازي فراگيران با منافع و کاربرد هاي علوم رياضي در جامعه و ساير علوم بشري. متأسفانه تلقين هاي اجتماعي در همه جا از جمله جامعه خودمان به گونه اي است که افراد حتي از نخستين روزهاي آغاز رياضيات مدرسه با نوعي هراس مواجه هستند که اين هراس طبعاً اضطراب آور است. بنابر اين وحشت زدايي و مبارزه با پيشداوري هاي منفي و يأس آور همواره بايد مورد عنايت مربيان رياضي و والدين باشد. ايجاد جو ارعاب و وحشت نسبت به رياضيات نه تنها فراگيران را به تلاش هاي جدي تر وادار نمي کند ، بلکه با بر انگيختگي هاي نابهنجار ، آنان را دچار مشکلات جدي ونفرت از کار رياضي مي کند. از سوي ديگر ، تقويت باورهاي دانش آموز نسبت به قابليت ها و ظرفيت هايش واينکه هر فردي با هوش و توانايي هاي متعارف قادر به انجام نسبي کار رياضي است ، در ايجاد نگرش مثبت نسبت به رياضيات و مسرت بخش ساختن کلاس درس رياضي تأثيري جدي دارد.

5- شناخت دانش قبلي دانش آموز و رفع و ترميم کمبودهاي و مشکلات علمي فرد ، به ويژه به هنگام وارد شدن در عناوين جديد رياضي . اين عمل به نحو قابل ملاحظه اي موجب مي شود که فهم و يادگيري معنادار مفاهيم و مهارت هاي رياضي اتفاق افتد و از آموزش هاي غير معنادار و طوطي وار جلوگيري شود. به گفته اسکمپ (1989) يادگيري معنادار و احساس رضايت ناشي از آن بهترين پاداش براي فراگيران در فعاليت هاي رياضي است. آزوبل 1 معتقد است که براي آموزش بايد از محتواي دانش قبلي فرد آغاز کنيم با اين باور که واقعاً همه دانش آموزان ما يکسان نمي انديشند.

6- اصلاح شيوه هاي سنتي و متعارف سنجش رفتار رياضي ( امتحان ). شيوه کاغذ مدادي ، معمول ما براي اندازه گيري دانش آموزان و دانشجويان ، آن هم گاه با يک بار امتحان ، شايد نه عادلانه باشد و نه علمي . بلکه بيم و هراس ناشي از شرکت و توفيق در امتحان هاي رياضي همواره از آغاز سال تحصيلي ذهن و انديشه فرد را به خود مشغول مي کند و طبعاً بسياري از فراگيران را به سمتي سوق مي دهد که تنها موفقيت آنان را در اين امتحان هاي رسمي و خشک فراهم آورد. انجمن رياضي معلمان آمريکا در سال 1995 بولتني را تحت عنوان معيارهاي سنجش براي رياضيات مدرسه 2 منتشر کرده است که مطالعه و توجه به آنها براي معلمان رياضي خالي از فايده نخواهد بود.

7- اتخاذ شيوه آموزشي مناسب که اجمالاً مورد بحث قرار گرفت.

8-انتخاب آزاد دسته اي از مسائل و تکليف هاي رياضي براي درگير شدن فراگيران و هدايت آنان براي انتخاب مسائلي که هم جذاب باشد و هم چالش انگيز. اين کار براي فراگيران اين فرصت را ايجاد خواهد کرد که خود برگزينند و مسئوليت هاي انتخاب خويش را نيز برعهده گيرند ، با اين شرط که اين انتخاب ها نهايي نيستند و آنان خود بايد موجب رشد احساس قدرت و اطمينان رياضي شان بشوند. واگذاري امور پژوهش متناسب با توانايي هاي فراگيران و همسو با برنامه هاي درسي نيز از جايگاه بالايي در تعليم و تربيت رياضيات برخوردار بوده و افزايش مشارکت فعال فراگيران را به همراه خواهد داشت و از نگراني هايشان مي کاهد.

9- استفاده مناسب و بهينه از زمان درطول دوره تحصيل واراده براي کار و تلاش بيشتر. عدم تنظيم درست اوقات درسي وانباشته شدن مطالب براي روزهاي پاياني ترم بدون ترديد موجب افزايش نگراني واضطراب فراگيران خواهد شد. متأسفانه انباشتگي کتاب هاي درسي رياضي و غير رياضي در نظام آموزشي جديد ايران و زمان ناکافي و متناسب با حجم مطالب – در مقايسه با زمان نسبتاً فراخ نظام قبلي – براي آموزش و يادگيري ، هم معلمان و هم دانش آموزان را دچار نوعي اضطراب کرده است که طبعاً نقصان در عملکرد رياضي دانش آموزان را به همراه خواهد داشت.

10- تحسين و قدر شناسي همواره يکي از مشخصه هاي فعاليت هاي هنري است ، به طوري که همواره هنرمندان هر چند در ارائه ايده ها و کارهاي خود دچار نقصان و اشتباه باشند باز هم از سوي جمعي مورد حمايت وتحسين قرار مي گيرند ؛در حالي که معمولاً تلاش هاي دانشمندان و شايد فعاليت هاي خستگي ناپذير رياضي دانان کمتر مورد ستايش عمومي واقع مي شود ، زيرا طبيعتاً زيبايي و عظمت کار آنان معمولاً نامريي است . مطمئناً مي توانيم به عنوان يک مربي رياضي با ارائه زيبايي هاي نامرئي کار برخي از رياضي دانان و نيز کار خود دانش آموزان ، آنان را به انگيزش براي تلاش بيشتر و انديشيدن بهتر وادار نماييم و بسيارند دانش آموزاني که در انجام تکاليف رياضي خود از شيوه هاي ابتکاري و زيبا بهره مي گيرند. مورد تحسين قرارد دادن اين شيوه ها و بيان زيبايي هاي آنها بدون ترديد موجب تقويت اطمينان رياضي افراد مي شود و رضايت بخشي حاصل از اين ارزش گذاري بهترين انگيزش براي کار و تلاش بي دغدغه و هراس آور خواهد بود . به علاوه ، دانش آموزان درس هاي ارزشمندي را از نحوه کار و زندگي و تلاش رياضي دانان حرفه اي خواهند آموخت. رياضي دانان ازاين مزيت انتخاب برخوردارند که چگونه و با چه کساني کار کنند ، درک اين امر براي فراگيران حائز اهميت است که اين اجازه را بيابند که خودشان کار کنند و يا با دوست و دوستاني همکاري هاي مفيد علمي داشته باشند.

11- اصلاح و رفع اشتباهات درسي و علمي دانش آموزان در کلاس درس به کمک خود آنان و باطرح پرسش و پاسخ هاي مناسب وادار ساختن آنان به نوشتن بيشتر. واگذاري مسئوليت پيشرفت رياضي خوانها به خودشان امري است که امروزه بيش از پيش محققان آموزشي رياضي بر آن واقفند . در اين ميان آگاهي درست فراگيران از اشتباهات و بدفهمي هاي علمي در موقعيت هاي يادگيري و حل مسئله مي تواند به مثابه عاملي تعيين کننده در احساس مسئوليت براي رشد عملکرد رياضي آنان به حساب آيد. ضمن اينکه به خوداتکايي ، خودباوري واطمينان رياضي افراد نيزکمک سودمندي خواهد کرد. به علاوه محترم بودن فراگير در نزد هم کلاس ها و احساس ايمني و امنيت در کلاس ، خود عواملي کار آمد در اضطراب زدايي است.

12- انجام مصاحبه و مشاوره هاي علمي با يادگيرنده گاني که به نوعي در معرض ابتلا به اضطراب شديد رياضي و عدم اطمينان رياضي هستند. شايد بتوان مدعي شد که معلمان مجرب وکار آمد بهترين کساني هستند که مي توانند مورد اعتماد دانش آموزان و دانشجويان قرار گيرند و با شناخت مشکلات هيجاني و رواني آنان ، راه کارها اجرايي غلبه بر اين حالات را به کمک خود فراگيران بيابند و در تنش زدايي درسي آنان مؤثر افتند.

مآخذ

Reference Backhiuse T J,; Haggarty , h ; pirie,s.and Stratton ,J.(1992),London : Cassell. Benson , J. (1987). Causal components of test of anxiety in adelts : an exploratory study paper presented at the annual meeting of the society for Test Anxiety. Brush , L. R. (1978) .A validation study of the mathematics anxiety rating scale (MARS) .Elemantary and Psychigcal Measurment , 38, 485-490. Bueton , G .M ., and Russell , D.(1979) . Getting Cimfirtable with mathematics . Epemtaey school journal, 79, 129- 135. Buxton, L. (1981) . Do you panic about maths ? ( coping with maths anxiety ). Heinemann Educational. Clute , P.S.(1984) .Mathematiccs anxity , Intructional Mathod , and achivevement in a survey ciurse in college mathecatics . Joutmal for Research in Mathematics Education vol . 15. No. l , 50-58. Cornu , B. (1991).Limit .in advanced mathematical thinking .edited by tell. D., The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Darcs , S.(1988) Anxiety and working memory capacity . cognition and Emotion , 2,145-154. Ellis,H,C.and Hunt , R.R. (1993). Fundementals of Cognitive psychology . fifth edition ; V. S. : Brown & Benchmark (WCB)Publishers. Fennema, E.and Shorman , J.(1976). Fennema – Sherman Mathemationicc Attitude scales .JSAS: Catalog of selected Doocuments in Psychology , 6, 31. (MS.NO. 421). Ferguson , R.D.(1986). Abstracion Anxiety: A factor of mathematics anxiety. Journal For Research in Mathematics Education , 17,145-150. Hadfiel, d,O.D. (1986). Cognitive styles and mathematics anxiety among high school students (field- dependence / independence). Ed. D. Dissertation, Northern Arizona University (DAl 47/05A, P. 1590, Publication No: AAC 861739) Johnstone .A.H&El- Banna, H. (1986). Capacities , demands and processes . Education in Chemistry, May. Leon , B .C (1992).A study of prevalence and intensity of mathematics anxiety in college students and preservice and preservice teachers at Large Southern University .ph.D Thesis , The University of Tennessee (DAl- A 52/12, p.4253. Order No: AAC 9212735. Reyes, L.H. (1980). Attiudes and mathematics. In M .M. Lindquist (Ed.) , selected issues in mothematics education , p. 161-1824, Berkely, CA: McCutchan . Skemp. R.R.(1989).Mathematics in the primoary school . London : Routhedge. Statt, D.A. (1990). The Concicis dictionary of psychology . London : Routledge. Suinn,R,M.(1970).Anxiety, in sight and appreciation Mathematics Teaching 147.P.8-11.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:24 PM
رياضيات چيست؟ در اين دنياي شگفت انگيز علائم و فرمول ها چه مي گذرد ؟ عده اي رياضيات را زير بناي تمام علوم مي دانند، از ديدگاه علماي منطق رياضيات بخشي از فلسفه است و از ديدگاه طالبان مسائل نظري ، دانش رياضي فن و هنر است. بعضي دانش رياضي را يك دانش غير پويا مي دانند. به گمان اينان كل رياضيات متشكل از مكتشفات بابليان ، هنديان ، يونانيان ، اعراب و ايرانيان است... و هر چه كه هست به پيشينيان تعلق دارد و پيشرفت اين علم اختتام پذيرفته است. در نتيجه از ديدگاه اينان يك رياضي دان كسي است كه اعمال حساب مقدماتي ، هيات قديمي ، و مختصري از هندسه اقليدسي را بداند.
بدون شك اين نوع تلقي شبيه به آن است كه بگوييم اگر كسي حركت و سكون را تشخيص دهد يك فيزيك دان است و اگر نتواند دو خط از رساله ابن سينا را بخواند آدم منطقي است.
متاسفانه نوعي از اين طرز تلقي در بعضي از محصلين و دانشجويان نيز وجود دارد ، يعني آنها كل رياضيات را دانشي اكتسابي مي دانند و بر قدرت خلاقيت و ابتكار و تفكر در اين رشته معتقد نيستند.
آيا اين تلقي درست است ؟ ابتدا به چند نكته تاريخي اشاره مي كنيم.
جهان علم هزار سال در دست يونانيان بود ، داشمندان بزرگي در اين دوره مانند افلاطون ، ارسطو ، فيثاغورث ، اقليدس و ارشميدس ظهور كردند. بعد از اين دوران ، دوران طلايي اسلامي_ ايراني است كه پانصد سال به طول انجاميده است. اين دوران از اواخر سده دوم هجري شروع شده و اولين كتاب در اين دوران كتاب جبر و مقابله خوارزمي است. در اين دوران آثار ارزنده اي نوشته شده است و به جرأت مي توان اذعان كرد كه در اين دوران مسلمانان بر عالم علم تسلط داشتند واين دوران ، دوران برتري اسلامي است.
موريتز كانتور تاريخ رياضيات را تا اواخر قرن هيجدهم در چهار مجلد به رشته تحرير آورده و پيشرفت هاي رياضيات را بر شمرده است. كتاب هاي متنوع تاريخي از جمله بويير ، اويز و
. . . پيشرفت هاي رياضيات را ضبط كرده اند. حتي كتاب هايي در زمينه تاريخ بعضي از رشته ها و تخصص هاي رياضي نوشته شده اند. مثلأ كتاب نفيس ديكسون در زمينه پيشرفت نظريه اعداد است. با توجه به رشد سريع دانش به جرأت مي توان ادعا كرد كه اگر كسي بخواهد ابداعات رياضي را به طور كامل تا زمان حال تدوين كند ده ها جلد لازم است. گفته شده است كه سالانه ده ها هزار قضيه جديد در زمينه هاي مختلف رياضي به اين دانش افزوده مي شود. قلمرو اين دانش در قرن اخير به قدري گسترش يافته است كه تقريبأ هيچ رياضي داني قادر نيست در بيش از يك شاخه تخصصي صاحب نظر شود. رياضيات به منزله يكي از تجليات ذهن انسان ، منعكس كننده اراده فعال ، عقل تأمل گر و علاقه وافر او به كمال زيبايي شناختي است. عناصر بنيادي آن منطق و شهود ، تحليل و ساختن ، و عموميت و فرديت است.
هر چند سنت ها و مكتب هاي گوناگون رياضي به جنبه هاي متفاوتي از آن توجه دارند ، سرزندگي ، سودمندي و ارزش رياضيات تنها از تأثير متقابل اين نيرو هاي متضاد و تلاش بر نلفيق و تركيب آنها ناشي مي شود.
اكنون سخنان بعضي از بزرگان رياضي در مورد رياضيات را مرور مي كنيم كه نه تنها ديدگاه خوانندگان را نسبت به دانش رياضي وسيع تر مي كند ، بلكه هم در آموزش رياضي مؤثر اند و هم از اين نظر قابل توجه اند كه علي رغم اين كه اين جملات توسط مردان بزرگ بيان شده اند چه قدر با پيشرفت هاي سرسام آور فعلي فاصله دارند:
دكارت : تمام دانش هايي كه در بررس نهايي نياز به ترتيب ئ اندازه دارند ، به نحوي با دانش رياضي در ارتباط هستند. چندان مهم نيست كه اين اندازه گيري ابتدايي يا پيشرفته باشند ، به هر حال يك قاعده كلي راطلب مي كند كه آن را رياضيات مي نامند.
دكارت تنها رياضيات را دانش كامل مي داند.
فرانسيس بيكن : دانش رياضي يا به صورت محض و يا به صورت مركب است. رياضيات محض عبارت از دانشي است كه كمياتي را كه از اصول فلسفه طبيعي نشأت مي گيرد مورد بررسي قرار مي دهد كه عبارت است از حساب و هندسه كه كميات متصل و منفصل را مورد بحث قرار مي دهد. رياضيات مركب قسمتي از فلسفه طبيعي است كه منظور علم فيزيك است.
وايتهد : رياضيات به معني عام ، ابداع انواع استدلال هاي صوري و استنتاجي است و در واقع عبارت است از يك سري از روش ها براي درك مراحل استدلال. رياضيات ، دانش ايده آل ، عبارت است از وسيله بررسي ، درك و شناخت جهان واقعيت ها. لهذا ، پيچيدگي ها به وسيله رياضيات آسانتر مي شود. از يك نظر مي توان دانش رياضي را جايگزيني هاي متوالي مفاهيم ساده به جاي مفاهيم پيچيده دانست.
يعني مي توان ادعا كرد كه دانش رياضي ديسيپليني است كه به وسيله آن مي توان پديده هاي طبيعي جهان را تحت كنترل كميت درآورد.
كانتور : جوهر رياضي در آزادي آن نهفته است. دانش رياضي در مسير گسترش خود كاملأ آزاد است و در مسير اين گسترش بايد از نظر داخلي خالي از تناقض باشد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:25 PM
ضعف در درك رياضيات به علت اختلالات مغزي است‏ تحقيقات جديد نشان مي‏دهد بخشي از مغز افرادي كه در درس رياضي ضعيف هستند، داراي ساختاري غير طبيعي است.به گزارش خبرگزاري رويترز از منچستر، مشكل يادگيري درس رياضي يإپ؛ ديسكلكيوليا كه پنج در صد از مردم به آن مبتلا هستند احتمالا به دليل وجود اختلالاتي در بخشي از مغز است كه در درك اعداد نقش دارد. افراد مبتلا به اين عارضه معمولا در يادگيري مهارت‏هاي مرتبط با رياضي از قبيل جمع و تفريق اعداد و همچنين محاسبات ذهني دچار مشكل مي‏شوند.دكتر استانيسلاس ديهان از موسسه تحقيقات پزشكي خود براي شناسايي روش رمز گذاري مغز به منظور درك ارزش اعداد، از مغز افراد مختلف تصوير برداري كرد. اين مطالعات علت اختلال در ياد گيري رياضيات را براي محققان مشخص ساخت.تحقيقات قبلي نشان داد بود مغز برخي حيوانات قادر است ارزش اعداد را تا رقم پنج درك كند و تحقيقات ديهان نشان مي‏دهد كه مغز انسان نيز از سامانه رمز نگاري‏مشابهي براي درك اعداد استفاده مي‏كند.ديهان و همكارانش در اين مطالعه افرادي را كه به يك بيماري ژنتيكي موسوم به سندرم ترنر مبتلا بودند، بررسي كردند. اين بيماري تنها زنان را مبتلا مي‏سازد و هنگام عدم حضور يكي از دو كروموزوم ايكس حاصل مي‏شود. دانشمندان نشان دادند سنرم ترنر با اختلال در درك رياضيات مرتبط است و مغز افراد مبتلا به اين بيماري در بخش ويژه رمزگذادي اعداد، داراي ساختاري غير عادي است. نتايج اين تحقيقات روشن ساخت وجود ساختار غير طبيعي در بخشي از مغز كه درك اعداد را به عهده دارد و احتمالا يك مشكل ژنتيكي است، سبب به وجود آمدن بيماري ديسكلكيوليا يا ناتواني درك رياضيات مي‏شود.به گفته محققان، كودكان مبتلا به اين عارضه در زندگي خود دچار مشكلات زيادي مي‏شوند و به همين علت آزمايش ساده‏اي مورد نياز است كه به كمك آن بتوان اين گونه كودكان را شناسايي كرد تا والدين و معلمان بتوانند كمك بيشتري به آنها بكنند. پروفسور ريان باتروورث از دانشگاه لندن كه سرگرم طراحي آزمايشي به منظور شناسايي مبتلايان به عارضه اختلال در درك رياضي است، ابراز اميدواري كرد تا در آينده نزديك بتوان كودكان مبتلا به اين عارضه را به راحتي شناسايي كرد تا از تحقير آنها در اثر عدم يادگيري رياضيات جلوگيري شود. تحقيقات جديد نشان مي‏دهد بخشي از مغز افرادي كه در درس رياضي ضعيف هستند، داراي ساختاري غير طبيعي است.به گزارش خبرگزاري رويترز از منچستر، مشكل يادگيري درس رياضي يإپ؛ ديسكلكيوليا كه پنج در صد از مردم به آن مبتلا هستند احتمالا به دليل وجود اختلالاتي در بخشي از مغز است كه در درك اعداد نقش دارد. افراد مبتلا به اين عارضه معمولا در يادگيري مهارت‏هاي مرتبط با رياضي از قبيل جمع و تفريق اعداد و همچنين محاسبات ذهني دچار مشكل مي‏شوند.دكتر استانيسلاس ديهان از موسسه تحقيقات پزشكي خود براي شناسايي روش رمز گذاري مغز به منظور درك ارزش اعداد، از مغز افراد مختلف تصوير برداري كرد. اين مطالعات علت اختلال در ياد گيري رياضيات را براي محققان مشخص ساخت.تحقيقات قبلي نشان داد بود مغز برخي حيوانات قادر است ارزش اعداد را تا رقم پنج درك كند و تحقيقات ديهان نشان مي‏دهد كه مغز انسان نيز از سامانه رمز نگاري‏مشابهي براي درك اعداد استفاده مي‏كند.ديهان و همكارانش در اين مطالعه افرادي را كه به يك بيماري ژنتيكي موسوم به سندرم ترنر مبتلا بودند، بررسي كردند. اين بيماري تنها زنان را مبتلا مي‏سازد و هنگام عدم حضور يكي از دو كروموزوم ايكس حاصل مي‏شود. دانشمندان نشان دادند سنرم ترنر با اختلال در درك رياضيات مرتبط است و مغز افراد مبتلا به اين بيماري در بخش ويژه رمزگذادي اعداد، داراي ساختاري غير عادي است. نتايج اين تحقيقات روشن ساخت وجود ساختار غير طبيعي در بخشي از مغز كه درك اعداد را به عهده دارد و احتمالا يك مشكل ژنتيكي است، سبب به وجود آمدن بيماري ديسكلكيوليا يا ناتواني درك رياضيات مي‏شود.به گفته محققان، كودكان مبتلا به اين عارضه در زندگي خود دچار مشكلات زيادي مي‏شوند و به همين علت آزمايش ساده‏اي مورد نياز است كه به كمك آن بتوان اين گونه كودكان را شناسايي كرد تا والدين و معلمان بتوانند كمك بيشتري به آنها بكنند. پروفسور ريان باتروورث از دانشگاه لندن كه سرگرم طراحي آزمايشي به منظور شناسايي مبتلايان به عارضه اختلال در درك رياضي است، ابراز اميدواري كرد تا در آينده نزديك بتوان كودكان مبتلا به اين عارضه را به راحتي شناسايي كرد تا از تحقير آنها در اثر عدم يادگيري رياضيات جلوگيري شود.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:25 PM
روش وتري روش وتر رو می شه به نوعی ترکیبی از روش نصف کردن و نیوتن دونست. این روش مشابه روش نصف کردن از قطعه بندی بازه برای رسیدن به ریشه استفاده می کنه، و مثل روش نیوتن از محل تقاطع خطوط با محور طولها برای قطعه بندی بازه ها!
فرض کنید تابع (y = f(x در بازه [a , b] تعریف شده باشه و
۱- در این بازه پیوسته باشه. 2- حاصلضرب (f(a و (f(b منفی باشه.


۳- بازای هیچ نقطه ای از بازه مشتق اول صفر نباشه.
در این صورت برای محاسبه ریشه معادله f(x)=۰ با روش وتر به این ترتیب عمل می شه:
معادله خط واصل دو نقطه ((a,f(a) و ((b,f(b) رو می نویسیم و محل برخوردش با محور طولها رو c نامگذاری می کنیم. اگه f(c)=۰ که به ریشه رسیدیم. وگرنه یکی از بازه های [a , c] یا [c , b] حاوی ریشه معادلست (فرض گرفتیم ریشه منحصربفرد در این بازه داریم). برای تشخیص بازه مورد نظر از شروط سه گانه فوق فقط شرط ۲ رو برای هر بازه بررسی می کنیم. دو شرط دیگه مطمئنا در هر زیر بازه ای از [a , b] صادق هستن.
عملیات بالا رو برای بدست آوردن زیر بازه های کوچکتر تا جایی ادامه می دیم که یا به خود ریشه برسیم و یا به تقریب مناسبی از اون.
با توجه به اطلاعات دوران شیرین راهنمایی مقدار c از رابطه زیر به دست می یاد:

(((c = a - (f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a
با نتیجه به توضیحات فوق الگوریتم محاسبه تقریبی ریشه به روش وتر به این صورته:
۰- شروع
۱- مقدار a و b و e را بگیر.
۲- مقدار (((a - (f(a)* (b-a)/(f(b)-f(a را در c قرار بده.
۳- اگر مقدار قدرمطلق (f(a کوچکتر از e بود برو به ۷.
۴- اگر حاصلضرب (f(a و (f(c منفی بود مقدار c را در b قرار بده.
۵- وگرنه مقدار c را در a قرار بده.
۶- برو به ۲.
۷- مقدار c را به عنوان ریشه تقریبی چاپ کن.
۸- پایان.
مقدار e هم مقدار تقریبیه که برای محاسبه ریشه در نظر گرفته شده. این تقریب رو می شه به روشهای مختلفی اعمال کرد که ما اینجا به عنوان قدرمطلق مقدار تابع در نظر گرفتیم. توجه داشته باشید که هرچقدر مقادیر a و b دقیقتر و نزدیکتر به هم انتخاب بشن به جواب تقریبی زودتر می رسیم.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:26 PM
آشوب،یا آنچه در انگلیسی chaos خوانده می شود چیست؟
در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟!

نظریه آشوب، به شاخهای از ریاضیات و فیزیک گفته میشود که مرتبط با سيستمهايي است که دینامیک آنها در برابر تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسيار حساسی نشان می دهد؛ به طوری که رفتارهای آینده آنها دیگر قابل پیشبینی نمیباشد. به این سیستمها، سیستمهای آشوبی گفته میشود که از نوع سیستمهای غیرخطی دینامیک هستند و بهترین مثال برای آنها اثر پروانهای، جریانات هوایی و دوره اقتصادی میباشد...



این نظریه، گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فایگنباوم میباشد. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد، مساله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مسالهای آشوبی و غیر قابل حل است. شاخه دیگر از نظریه آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار میرود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته میشود که پیر لاپلاس یا عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مشکل و پدیده پی برده بودند.طی 20 سال گذشته، در حوزه ریاضیات و فیزیک مدرن، روش علمی و تئوری جدید و بسیار جالبی به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور گذاشته است. تئوری آشوب، سیستمهای دینامیکی بسیار پیچیده ای مانند اتمسفر زمین، جمعیت حیوانات، جریان مایعات، تپش قلب انسان، فرآیندهای زمین شناسی و ... را مورد بررسی قرار می دهد. انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی ، نظمی نهفته است. به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد؛ پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا پایا (Stationary) و قابل پیش بینی باشد.

نقاط تشابهی بین تئوری آشوب و علم آمار و احتمالات وجود دارد. آمار نیز به دنبال کشف نظم در بی نظمی است. نتیجه پرتاب یک سکه در هر بار ،تصادفی و نامعلوم است، زیرا دامنه محلی دارد. اما پیامدهای مورد انتظار این پدیده ، هنگامی که به تعداد زیادی تکرار شود، پایا و قابل پیش بینی است. وجود چنین نظمی است که باعث زنده ماندن صنعت قمار است، و گرنه هیچ سرمایه گذاری حاضر نبود که در چنین صنعتی سرمایه گذاری کند. در واقع، قمار برای کسی که قمار می کند پدیده ای تصادفی و شانسی است(چون در مقیاس محلی قرار دارد) و برای صاحب قمارخانه، پدیده ای قابل پیش بینی و پایا است (چون در مقیاس بزرگتر (global)، این پدیده دارای نظم است).



همین جا می توان به مصادیقی از این تئوری در حوزه علوم انسانی اشاره کرد. بسیاری از وقایع تاریخی که در مقیاس 20 ساله ممکن است کاملا تصادفی و بی نظم به نظر برسند، ممکن است که در مقیاس 200 ساله، 2000 ساله یا 20000 ساله دارای دوره تناوب مشخص و یا نوعی نظم در علتها باشند(و البته نه لزوما به گونه ای که مارکس معتقد است!!!). در نگرش رفتارگرایی در حوزه روانشناسی، در واقع با نوعی تغییر مقیاس، به نظم رفتاری و قوانین آن دست می یابند و امکان پیش بینی و یا اصلاح اختلالات رفتاری فراهم می گردد، و الا اگر رفتارهای منفرد افراد مد نظر باشد چیزی جز چند رفتار تصادفی و غیرقابل پیش بینی نخواهد بود. روش علمی (متدولوژی) که این تئوری در اختیار ما قرار می دهد، تغییر مقیاس در نگاه به وقایع است به گونه ای که بتوان نظم ساختاری آن را کشف کرد. صد البته، نگاه جدید این منطق به نظم، بسیاری از جدالهای سنتی در مورد برهان نظم و ... در فلسفه را نیز مورد چالش قرار می دهد.

موضوع جالب دیگری که در تئوری آشوب وجود دارد، تاکید آن بر وابستگی (یا حساسیت) به شرایط اولیه است. بدین معنی که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند می تواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود. مثال ساده زیر شاید جالب باشد :

اگر مسافری 10 ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمی تواند سوار اتوبوسی شود که هر 10 دقیقه یک بار از این ایستگاه می گذرد و به سمت مترویی می رود که از آن هر ساعت یک بار قطاری به سوی فرودگاه حرکت می کند. برای مقصد مورد نظر این مسافر، فقط روزی یک پرواز انجام می شود و لذا تاخیر 10 ثانیه ای این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل می شود. بسیاری از پدیده های طبیعی دارای چنین حساسیتی به شرایط اولیه هستند. قلوه سنگی که در خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکی تمایل به سمت چپ یا راست، به دره شمالی یا جنوبی بلغزد، در حالی که چند میلیون سال بعد، که توسط فرآیندهای زمین شناسی و تحت نیروهای باد و آب و ... چند هزار کیلومتر انتقال می یابد، می توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه میزان در سرنوشت این قلوه سنگ تاثیرگذار بوده است. مثال بسیار آشنای دیگر، وابستگیهای جسمی و روانی انسانها به شرایط لقاح و مسائل ژنتیکی است.

اگر چه چنین وابستگی آشوبناک (Chaotic) به شرایط اولیه را می توان در بسیاری از وقایع جامعه شناسی (از جمله انقلابها) و روانشناسی و .. پیجویی کرد، لکن به جز یک حوزه(که پایینتر به آن اشاره خواهد شد)، تاکنون توجه خاصی بدین مسئله صورت نگرفته است. به این معنا که اغلب برای تمام طول حیات یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شود، در حالی که تئوری آشوب، نقش کلیدی را در شرایط و المانهای مرزی اولیه می داند. ادوارد لورنز، دانشمند مشهور هواشناسی، سالها پیش جمله مشهور خود را که بعدها به " اثر پروانه" (Butterfly Effect) مشهور شد، چنین عنوان کرده است: " در یک سیستم دینامیکی مانند اتمسفر زمین، آشفتگی بسیار کوچک ناشی از به هم خوردن بالهای یک پروانه می تواند منجر به توفانهایی در مقیاس یک قاره بشود". در بسیاری از وقایع جامعه شناختی و سیاسی نیز می توان به جای پیجویی عوامل بسیار پیچیده و نادیده گرفتن عوامل به ظاهر ساده، با جدی گرفتن عوامل به ظاهر بی ارزش به تحلیل صحیحی نسبت به آن واقعه رسید.

پیشتر اشاره کردم که در این مورد ، در یک حوزه کار وسیعی صورت گرفته است. این حوزه ، روانشناسی است و تئوری عظیم نابغه دنیای روانشناسی، فروید، دارای چنین رویکردی است. فروید ریشه تمامی رفتارهای انسانها در طول زندگی را متاثر از دوران کودکی (شرایط اولیه به زبان تئوری آشوب) می داند و با پیجویی این رفتارها تا دوران کودکی، به تحلیل این رفتارها می پردازد.

علاوه بر مطالبی که ذکر شد ،تئوری آشوب ، با ارائه نظریه فرکتالها (Fractals) و ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی (Dimension) و مفاهیمی مانند "خود تشابهی" و " خود تمایلی" ، دروازه جدیدی در کشف نظم در پدیده ها گشود که در جای خود می تواند به طور جدی ، مورد استفاده علوم انسانی قرار گیرد.

طی 20 سال گذشته، در حوزه ریاضیات و فیزیک مدرن، روش علمی و تئوری جدید و بسیار جالبی به نام "آشوب" پا به عرصه ظهور گذاشته است. تئوری آشوب، سیستمهای دینامیکی بسیار پیچیده ای مانند اتمسفر زمین، جمعیت حیوانات، جریان مایعات، تپش قلب انسان، فرآیندهای زمین شناسی و ... را مورد بررسی قرار می دهد. انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب این است که در هر بی نظمی ، نظمی نهفته است. به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد؛ پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا پایا (Stationary) و قابل پیش بینی باشد

نقاط تشابهی بین تئوری آشوب و علم آمار و احتمالات وجود دارد. آمار نیز به دنبال کشف نظم در بی نظمی است. نتیجه پرتاب یک سکه در هر بار ،تصادفی و نامعلوم است، زیرا دامنه محلی دارد. اما پیامدهای مورد انتظار این پدیده ، هنگامی که به تعداد زیادی تکرار شود، پایا و قابل پیش بینی است. وجود چنین نظمی است که باعث زنده ماندن صنعت قمار است، و گرنه هیچ سرمایه گذاری حاضر نبود که در چنین صنعتی سرمایه گذاری کند. در واقع، قمار برای کسی که قمار می کند پدیده ای تصادفی و شانسی است(چون در مقیاس محلی قرار دارد) و برای صاحب قمارخانه، پدیده ای قابل پیش بینی و پایا است (چون در مقیاس بزرگتر (global)، این پدیده دارای نظم است).

همین جا می توان به مصادیقی از این تئوری در حوزه علوم انسانی اشاره کرد. بسیاری از وقایع تاریخی که در مقیاس 20 ساله ممکن است کاملا تصادفی و بی نظم به نظر برسند، ممکن است که در مقیاس 200 ساله، 2000 ساله یا 20000 ساله دارای دوره تناوب مشخص و یا نوعی نظم در علتها باشند(و البته نه لزوما به گونه ای که مارکس معتقد است!!!). در نگرش رفتارگرایی در حوزه روانشناسی، در واقع با نوعی تغییر مقیاس، به نظم رفتاری و قوانین آن دست می یابند و امکان پیش بینی و یا اصلاح اختلالات رفتاری فراهم می گردد، و الا اگر رفتارهای منفرد افراد مد نظر باشد چیزی جز چند رفتار تصادفی و غیرقابل پیش بینی نخواهد بود. روش علمی (متدولوژی) که این تئوری در اختیار ما قرار می دهد، تغییر مقیاس در نگاه به وقایع است به گونه ای که بتوان نظم ساختاری آن را کشف کرد. صد البته، نگاه جدید این منطق به نظم، بسیاری از جدالهای سنتی در مورد برهان نظم و ... در فلسفه را نیز مورد چالش قرار می دهد.

موضوع جالب دیگری که در تئوری آشوب وجود دارد، تاکید آن بر وابستگی (یا حساسیت) به شرایط اولیه است. بدین معنی که تغییرات بسیار جزیی در مقادیر اولیه یک فرآیند می تواند منجر به اختلافات چشمگیری در سرنوشت فرآیند شود. مثال ساده زیر شاید جالب باشد :

اگر مسافری 10 ثانیه دیر به ایستگاه اتوبوس برسد نمی تواند سوار اتوبوسی شود که هر 10 دقیقه یک بار از این ایستگاه می گذرد و به سمت مترویی می رود که از آن هر ساعت یک بار قطاری به سوی فرودگاه حرکت می کند. برای مقصد مورد نظر این مسافر، فقط روزی یک پرواز انجام می شود و لذا تاخیر 10 ثانیه ای این مسافر باعث از دست دادن یک روز کامل می شود. بسیاری از پدیده های طبیعی دارای چنین حساسیتی به شرایط اولیه هستند. قلوه سنگی که در خط الراس یک کوه قرار دارد ممکن است تنها بر اساس اندکی تمایل به سمت چپ یا راست، به دره شمالی یا جنوبی بلغزد، در حالی که چند میلیون سال بعد، که توسط فرآیندهای زمین شناسی و تحت نیروهای باد و آب و ... چند هزار کیلومتر انتقال می یابد، می توان فهمید که آن تمایل اندک به راست و چپ به چه میزان در سرنوشت این قلوه سنگ تاثیرگذار بوده است. مثال بسیار آشنای دیگر، وابستگیهای جسمی و روانی انسانها به شرایط لقاح و مسائل ژنتیکی است.

اگر چه چنین وابستگی آشوبناک (Chaotic) به شرایط اولیه را می توان در بسیاری از وقایع جامعه شناسی (از جمله انقلابها) و روانشناسی و .. پیجویی کرد، لکن به جز یک حوزه(که پایینتر به آن اشاره خواهد شد)، تاکنون توجه خاصی بدین مسئله صورت نگرفته است. به این معنا که اغلب برای تمام طول حیات یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شود، در حالی که تئوری آشوب، نقش کلیدی را در شرایط و المانهای مرزی اولیه می داند. ادوارد لورنز، دانشمند مشهور هواشناسی، سالها پیش جمله مشهور خود را که بعدها به " اثر پروانه" (Butterfly Effect) مشهور شد، چنین عنوان کرده است: " در یک سیستم دینامیکی مانند اتمسفر زمین، آشفتگی بسیار کوچک ناشی از به هم خوردن بالهای یک پروانه می تواند منجر به توفانهایی در مقیاس یک قاره بشود". در بسیاری از وقایع جامعه شناختی و سیاسی نیز می توان به جای پیجویی عوامل بسیار پیچیده و نادیده گرفتن عوامل به ظاهر ساده، با جدی گرفتن عوامل به ظاهر بی ارزش به تحلیل صحیحی نسبت به آن واقعه رسید.

پیشتر اشاره کردم که در این مورد ، در یک حوزه کار وسیعی صورت گرفته است. این حوزه ، روانشناسی است و تئوری عظیم نابغه دنیای روانشناسی، فروید، دارای چنین رویکردی است. فروید ریشه تمامی رفتارهای انسانها در طول زندگی را متاثر از دوران کودکی (شرایط اولیه به زبان تئوری آشوب) می داند و با پیجویی این رفتارها تا دوران کودکی، به تحلیل این رفتارها می پردازد.
علاوه بر مطالبی که ذکر شد ،تئوری آشوب ، با ارائه نظریه فرکتالها (Fractals) و ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی (Dimension) و مفاهیمی مانند "خود تشابهی" و " خود تمایلی" ، دروازه جدیدی در کشف نظم در پدیده ها گشود که در جای خود می تواند به طور جدی ، مورد استفاده علوم انسانی قرار گیرد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:27 PM
جهان ریاضیات در فضای نانو علوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندة اثراث اجتماعی شگفتانگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش.
پیشبینیهای گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مهآلود و اسرارآمیز است. این مقاله میکوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفتانگیز نانو بررسی کند.به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت ؟ همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیستها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.

این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که میبایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیشگویی و پیشبینی کنیم.
دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبهة علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است. محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیة پیشبینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایة تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است.
همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیقتر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیقپذیری آن با واقعیت، به بحث میپردازند. «محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است.

مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسههای علمی هستند و اغلب اوقات در سیستمهای آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمیشود. یک مدل ریاضی بر پایة فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده میشود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون میتوان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا میبایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد.

در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر دادههای آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت مییابد.
یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه میکند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس میگیرد.
مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.
تئوری در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسههای فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.
عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق میافتد. زمانی مدلها، مشابه سیستمهای شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید میآورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیشگوئی اتفاق میافتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل میگیرند. میانبرهای اساسی لازم است تا شبیهسازی صورت گیرد:
طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیهسازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالشها نوید دهندة برهم کنشهای کامل میان حوزههای مختلف ریاضی خواهد بود.
آثار اجتماعی این چالشها زیاد و متنوع خواهد بود.
منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود.
جامعه ریاضی میبایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشتهای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات.
ریاضیات چه حوزههایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزههای ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.

برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی میکنیم: ـ روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزههای شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹)
ـ روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیهسازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایههای پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou)
ـ تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)
ـ روشهای بهبود مشبندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندة مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz)
ـ روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحلهای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوبگیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)
ـ روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئنها) (Pierce& Giles)
ـ روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازکها (Caflisch))
ـ روشهای چند شبکهبندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است.
ـ روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:28 PM
كاربرد مثلث در موسيقي مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر از آن استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود ۲۸۰۰ سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد در نپال نیز مشاهده کرد.
معروف هست تالس (۶۴۰-۵۵۰ سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم. موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.
یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما” شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل ۴ نیم پرده تشکیل شده است.

http://www.harmonytalk.com/archives/images/c-aug.gif
مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا” اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا” نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما” می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus۲ را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus۲ برای C و حالت آکورد sus۴ برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus> در حالت های ۲ و ۴ برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus۲ دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus۴قرار دارد.

http://www.harmonytalk.com/archives/images/mm-circle.gif

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سیوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:28 PM
رياضيات و نجوم رصدخانه اي كه مامون ضميمه بيت الحكمه كرد، مركزي شد براي مطالعه در نجوم و رياضيات.در اين رصدخانه مسلمين محاسبات مهم نجومي انجام ديدند چنانكه طول يك درجه از نصف النهار را با دقتي نزديك به حاسبات رياضي امروز اندازه گرفتند.تفصيل طرز عمل و محاسبه را ابن خلكان در شرح حال محمد بن موسي خوارزمي نقل ميكند.ارقام معروف هندي از همين ايام نزد مسلمين متداول شد و ظاهرا" ترجمه كتاب نجومي سدهانته معروف به سندهند از سنسكريت به عربي كه بوسيله ي محمد بن ابراهيم فزاري انجام شد و همچنين كارهاي خوارزمي از اسباب رواج اين ارقام شد، چنانكه جنب و جوش بازرگاني مسلمين و وسعت دامنه تجارت آنها بعدها موجب انتشار استعمال اين نوع ارقام در اروپا شد. در نجوم مطالع مسلمين مخصوصا" ارزنده بود.مطالعات بابليها، هندوان و ايرانيان كه به آنها رسيد از اسباب عمده (Albumasar) مي خوانده اند: مجموعه در پيشرفت آنها: ابو معشر بلخي كه اروپائيها در قرون وسطي وي را بنام زيجاتي داشت كه در آن حركات سيارات از روي طريقه هندي و رصد گنگ دز محاسبه شده بود و اگر چه اصل آن نمانده است اما آثار ديگر او از خيلي قديم به زبان لاتيني ترجمه و مكرر چاپ شده است و اينهمه او را در نجوم در تمام قرون وسطي شهرت جهاني بخشيد.با اينهمه، وي روي هم رفته به عنوان يك منجم بيشتر اهميت دارد تا بعنوان يك عالم نجوم.از اينها گذشته، تجارب و اطلاعات صائبين نيز در پيشرفت نجوم اسلام تاثير بسيار داشت.پابت ابن قره- كه به هندسه و فيزيك علاقه داشت، در تحقيق طول سال شمسي و درجه آفتاب مطالعات مهمي كرد.بتاني كه نيز از ميراث صائبين بهره داشت با تاليف زيجي در بسط هيئت و نجوم اسلامي تاثير قابل ملاحظه اي داشت.وي حركت نقطه اوج آفتاب را كشف كرد و بعضي اقول بطليموس را در اين باب نقد نمود.ملاحظات او در باب خسوف در محاسباتي كه دانتورن (Dunthorn) از علماء قرن هجدهم اروپا كرد به عنوان يك راهنما يا محرك تلقي شد.نيز وي براي مسائل مربوط به مثلثات كروي راه حلهايي يافت كه رجيومانتس (متوفي 1476) از آنها استفاده كرد.
سه شاهكار نجومي مسلمين در اين زمينه به عقيده ي سارتون، يكي صور الكوكب عبد الرحمن صوفي است ( متوفي 376 ) ديگر زيج ابن يونس(متوفي 399) است كه شايد بزرگترين منجمين اسلام باشد و چون وي آن را بنام احاكم بامرالله خليفه فاطمي مصر ساخت زيج حاكمي خوانده مي شود.سومين شاهكار نجومي عبارتست از زيج الغ بيگ كه با همكاري امثال قاضي زاده رومي و غياث الدين جمشيد كاشاني تدوين شد اما قتل الغ بيگ مطالعات جدي مربوط به نجوم را در شرق در واقع پايان داد.ازجمله اقدامات علمي مسلمين در امور مربوط به رياضي نجوم اصلاح تقويم بود.در عهد جلال الدوله ملكشاه سلجوقي كه گويند عمر خيام هم با منجمين ديگر در اين اصلاح همكاري داشت و تقويم جلالي كه بدينگونه بوجود آمد از بعضي تقويم هاي مشابه كه در اروپا بوجود آمد دقيقتر و شايد علمي تر بود.خواجه نصير طوسي قطع نظر از تحرير اقليدس و مطالعات راجع به مثلثات كه آن را از گرو نجوم بيرون آورد و مستقل ساخت.در كتاب تذكره، هيئت بطليموسي را به شدت انتقاد نمود و خود نظريات بديعي پيشنهاد داد.اثبات و طرح عيوب
سيستم بطليموس به ضرورت اظهار طرح تازه اي كه بعدها بوسيله ي كوپرنيك عرضه شد، كمك كرد.
كوتاه در مورد ماياها
در میان بناهای باشکوه " مایا "ها در " په لنگ " و شهر" چیکن ایتزا " نقوش حجاری شده بسیاری بر تخت سنگها و دیوارها بچشم میخورد – اما سرامد تمام انها تابوت حجاری شده ای است, که بسیاری از باستان شناسان و دانشمندان علوم فضائی را به تعجب و تحسین وادار کرده است – این تابوت در سال 1952 توسط تیم کاوشگران پرفسور " البرتو روزلهالیر " بعد از گذشت 2 سال تلاش بی وقفه بدست امد . در کنار این تابوت انواع لوح های سنگی که وزن بعضی از انها بیش از 5 تن میباشد , بهمراه یک ماسک سنگی که با ظرافت بینظری ساخته شده است، بدست امد.
پرفسور " ریماند کارتایر " باستان شناس نامی جهان که سالهای بسیاری صرف تحقیق و بررسی تمدنهای امریکای لاتین و بخصوص تمدن شگفت انگیز " مایا "ها کرده است, بعد از یک کار طاقت فرسا توانست رمز کتیبه ها و همچنین تابوت حجاری شده را پیدا کرده و انرا ترجمه نماید. کار پرفسور " ریماند کارتایر " چون طوفان سهمگینی بود که بر اندیشه دانشمندان امروزی ما تازیانه می زد – خبر بسیار حیرت انگیز و شگفت اور بود – مایاها هزاران سال پیش, از نیروی الکترو مغناطیس زمین با خبر بودند .!!
انها درک عمیقی از سیستم خورشیدی و پرتوهای حرارتی ان داشته اند . سئوالی که دانشمندان از خود میپرسیدند این بود : چگونه .؟!! مایاها از کجا به این دانش عظیم دست پیدا کرده بودند.؟ این سئوالی است که دانش امروز جوابی برای ان ندارد . متاسفانه بخش عظیمی از کتیبه ها "مایا"ها نابود شده است – اما همان اندک مدارک, دال بر دانشی می کنند که دانش امروز قادر به درک ان نیست . وزن سنگهای بکار رفته در این بنای اسرار امیز هر کدام بیش از 25 تن میباشد – که بصورت باور نکردنی صیقل داده شده است - در اطراف این قعله اسرار امیز هیچ مدخل یا ورودی کشف نشده است. ایا " اینکا"ها بخود انهمه زحمت طاقت فرسا میدادند که یک بنای بی درب بسازند.؟!! یا انها میدانستند چگونه از این دیوارهای غول پیکر عبور کنند؟! همانطور که در بالا اشاره شد، توضیحات مفصلی از "اینکا"ها و "مایا"ها بارها بيان شده است و همانگونه که میدانید این قوم اسرار امیز خبرگان علوم ریاضیات – نجوم و ستاره شناسی بودند – "مایا"ها از چرخ استفاده نمیکردند – اما جاده های پهن و یکدست انها باستان شناسان را به این فکر انداخت که انها چه نیازی به این جاده های پهن داشتند؟!
محاسبات بسیار دقیق ریاضی – ستاره شناسی و نجوم بینظیر از "مایا"ها تمدنی ساخته که بقول پرفسور "اریک فن دانکین" "مایاها" ربوتیک ترین تمدن جهان هستند.!! تمام زندگی و دانش انها از روی تقویم و برنامه شکل میگرفته است. تمام بناهای باشکوه از روی برنامه و تقویم مایائی ساخته شده است.!! چه کس این تقویم را در اختیار انها قرار داده است.؟!! سئوالی که هنوز پاسخی به ان داده نشده! در یک افسانه مایائی بنام "پوپول وه " اینچنین میگوید : خدایان قادر به شناختن و دانستن همه چیز بودند, کیهان و چهار جهت اصلی – قطب های زمین و همچنین گرد بودن شکل زمین را میدانسته اند.!! چگونه اجداد "مایا"ها از گرد بودن زمین باخبر بودند؟!

حال به بحث محاسبات ریاضی مایاها در نجوم میپردازیم:
انان نه تنها صاحب یک تقویم افسانه ای بودند بلکه محاسبات باور نکردنی هم انجام داده اند که تا امروز چون یک معما حل نشده است . انان می دانستند که سال زهره 584 روز است و مدت سال زمینی را هم در حدود 2410و 365 روز محاسبه کرده اند ( محاسبه دقیق امروزی عدد 2422و 365 است) – محاسبات مایائی به 64 میلیون سال پیش برمیگردد .
نوشته های دیگر در جزئیاتي بحث میکند که قریب به 400 میلیون سال قدمت دارد . این فرمولهای مشهور زهره ای را- تنها ميتوان با يك كامپیوتر امروزی محاسبه کرد . به هر تقدیر بسیار مشگل است که منشاء این حقایق را از مردمانی جنگل نشین که بسیاری انها را وحشی میدانند بدانیم . فرمول مشهور نجومی "مایا"ها از قرار زیر است : تزولکین 260, سال زمینی 365 و سال زهره ای 584 روز است . این اعداد ظاهرا حاصل يك تقسیم ساده عجیب را, پنهان نگاه میدارند . اما 365 مساوی حاصل ضرب 73 در 5 و584 مساوی حاصل ضرب 73 در 8 است .
960 37 = 73 × 2 × 260 = 73 × 2 × 13 × 20 ( ماه )
960 37 = 73 × 5 × 104= 73 × 5 × 13 × 8 (خورشید)
960 37 = 73 × 8 × 65 = 73 × 8× 13× 5 (زهره )
به عبارت دیگر تمام این ادوار بعد از 37960 روز با هم تقارون پیدا می کنند . اساطیر مایائی مدعی است که بعد از این ,خدایان به محل استراحتگاه بزرگ خود باز خواهند گشت . براستی این محاسبات پیچیده – شگفت انگیز نیست .؟!! در مدت 8 سال زمینی – زهره 13 بار به دور خورشید میگردد و این محاسبات را "مایا"ها به شکل بینظیری انجام داده اند

رابطه رياضي فاصله سيارات تا خورشيد
سال 1766 ميلادي، يوهان تيتوس منجم آلماني توانست رابطه ساده اي بيابد که با استفاده از آن مي شد فاصله سيارات از خورشيد را بدست آورد. چند سال بعد نيز ديگر منجم هموطن او، يوهان الرت بُد، اين رابطه را مستقلا" دوباره کشف کرد.البته اين رابطه را هر دو از طريق بازي با اعداد بدست آوردند و بدست آوري آن رابطه پايه علمي نداشت. امروزه اين رابطه به رابطه تيتوس_بُد مشهور است. اين رابطه بدين صورت است:
فاصله سياره از خورشيد(بر حسب فاصله متوسط زمين از خورشيد)=0.4+(0.3*n)
• n=1,2,4,8,.....
• اعداد بدست آمدهبا دقت خوبیبا فاصله واقعی سیارات هم خوانی داشت:
براي فاصله 2.8 برابر فاصله زمين از خورشيد در آن زمان سياره اي يافت نشده بود. بسياري از اخترشناسان عقيده داشتند که سياره اي کوچک در اين فاصله بين مريخ و مشتري وجود دارد که کشف نشده است. جستجوي منظم نوار دايرِةالبروج براي يافت اين سياره مفقود از اواخر قرن هجدهم شروع شد و سرانجام در اولين روز قرن نوزدهم، يک منجم ايتاليايي به نام جوزپه پياتزي، موفق شد جسم کوچکي را در حدود اين فاصله از خورشيد بيابد که آن را سِرِس ناميد. بعد از آن نيز اجرام ديگري با همين فاصله از خورشيد کشف شدند. اخترشناسان آن دوران اين نظريه را پيش کشيدند که در آن فاصله از خورشيد، بجاي يک سياره، تعداد زيادي سيارک وجود دارد که با کشف تعدادزيادي از اين سياکها در سالهاي بعد اين نظريه تاييد شد.در حقيقت رابطه تيتوس_بُد محرک اصلي کشف سيارکها بود.
سالها بعد نيز سياره اورانوس کشف شد که فاصله اش با فاصله پيشبيني شده توسط رابطه تيتوس_بُد نيز مي خواند!(19.6 بنابر رابطه و 19.9 بنابر اندازه گيري). اما فاصله سيارات بعدي نپتون و پلوتو در اين رابطه صدق نمي کنند. امروزه نظريه اي که به نظريه واهلش ديناميکي(Dynamical Relaxation) موسوم است توضيحي براي اين رابطه يافته است. بنا به اين نظريه، سيارات نخست در مدارات متفاوت تکوين يافتند؛ اما سپس به مداراتي منتقل شدند که نيروهاي اغتشاشي گرانشي ديگر سيارات را به حداقل برسانند. نتيجه اين کار از نظر رياضي به روابطي شبيه رابطه تيتوس_بُد منجر مي شود.

سیارات:
عطارد زهره زمین مریخ ؟؟؟؟ مشتری زحل
جواب رابطه تیتوس-بد: 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10
فاصله واقعی از خورشید : 0.39 0.72 1.0 1.52 ؟؟؟؟ 5.20 9.54........

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:29 PM
نجوم از صفر تا بی نهایتعلم کیهان شناسی:
کیهان شناسی شاخهای از علم ستاره شناسی است که به مطالعه آغاز ساختار کلی و تکاملی جهان میپردازد. ستاره شناسان با استفاده از علم ریاضی‏‏‏‏ الگوهایی فرضی از جهان ساخته و مشخصات این الگوها را با جهان شناخته شده مقایسه میکنند. کیهان شناسی ، گذشته ، حال و آینده کائنات را بررسی میکند. کائنات تمام چیزهای موجود در عالم را شامل میشود: چه مرئی باشد چه نامرئی ، چه کشف شده باشد چه کشف نشده باشد.
تاریخچه و سیر تحولی کیهان شناسی
• اقلیدس ، ریاضیدان یونانی ، (حدود 300 سال قبل از میلاد) ، با استفاده از سه بعد طول ، عرض و ارتفاع ، فضا را تعریف کرد. تعریفی که اسحاق نیوتن (1727 - 1643) ، فیزیکدان و ریاضیدان انگلیسی ، از جهان ارائه داد. مطابق با نظریات اقلیدس بود . فضایی لایتناهی که با استفاده از سه بعد طول ، عرض و ارتفاع تعریف می شد. اما نظریه فضای لایتناهی عاری از مشکل نیست. طبق قضیه اولبرس که از نام ستاره شناس آلمانی ، ویلهلم اولبرس (1840 - 1758) گرفته شده ، اگر ستارگان به یک شکل در تمام فضای لایتناهی پراکنده شوند، در تمامی جهات ستارهای وجود خواهد داشت. اگر چیزی در مسیر ستارگان دور دست قرار نگیرد تمام آسمان درخشندگی خورشید را خواهد داشت که عملا چنین نیست.
آلبرت انیشتین (1955 - 1879) ، دانشمند آمریکایی آلمانی تبار ، با ارائه نظریه نسبیت عام در سال 1915 مشکل نظریه نیوتن را حل کرد. آلبرت انیشتین نشان داد که فضا و ماده موجود در آن ، محدود اما نامحصور است (یک جهان دو بعدی به شکل سطح یک کره را تصور کنید، این جهان محدود خواهد بود اما هیچ لبه یا حصاری نخواهد داشت). جهان محدود اما نامحصور آلبرت انیشتین ، ساکن است اما به آسانی میتواند منبسط یا منقبض شود.
نظریه انبساط جهان با کشفی که ادوین هابل (1953 - 1889) ، ستاره شناس آمریکایی ، به عمل آورد، قوت گرفت. او دریافت که کهکشانها در حال حرکت در جهان هستند. او همچنین متوجه شد که کهکشانهای دورتر ، سریعتر از کهکشانهای نزدیکتر حرکت میکنند. در سال 1931 ، ژرژ لومتر (1966 - 1894) ، دانشمند بلژیکی ، اعلام کرد که عامل این انبساط ، تجزیه خود بخود آنچیزیست که او اتم اولیه نامیده است (اتم اولیه یک ماهیت تنهاست که در برگیرنده تمام ماده و انرژی موجود در جهان است).
فرد هویل ، ستاره شناس انگلیسی ، حاضر به پذیرفتن نظریه انفجار بزرگ نبود و آنرا به تمسخر گرفت. در عوض او معتقد به یک اصل کامل ستاره شناسی بود و در سال 1948 اعلام کرد که جهان در هر زمان و مکانی که مورد آزمایش قرار گیرد باید یکسان به نظر رسد. یا به عبارت خلاصهتر ، جهان دارای حالتی پایدار است. طبق نظر هویل ، بوجود آمدن مداوم ماده در سرتاسر فضا باعث ایجاد توازن در انبساط جهان شده و حالت پایای آنرا حفظ میکند (سرعت بوجود آمدن ماده که حدود یک اتم هیدروژن در یک لیتر در هر 20 سال میباشد بقدری کند است که قابل مشاهده در آزمایشگاه نیست). بین نظریههای جهان پایدار و انفجار بزرگ چند تفاوت اساسی وجود دارد. مثلا طبق نظریه حالت پایا ، اندازه و چگالی کهکشانهای جدید و قدیم در سراسر جهان بایستی یکسان باشد. اما طبق نظریه انفجار بزرگ ، اندازه و چگالی اجسام جدیدتر بایستی مطابق با میزان فاصلهشان افزایش یابد.

محاسبات نجومی
محاسبه قطر و فاصله ماه در زمان گرفتگي:
ماهگرفتگی یا خسوف پدیدهای است که به سبب عبور ماه از درون سایه زمین ایجاد میشود. در ما گرفتگی کامل قرص نقره ای ماه به تدریج تیره و تیره تر میشود و بدلیل شکست نور از درون جو زمین رنگ ماه به قرمز و یا زرد تبدیل میشود. در طول گرفتگی کامل منظره زیبایی در آسمان پدید می آید. ابرخفس اخترشناس یونان باستان با رصد ماهگرفتگی تلاش کرد که قطر و فاصله ماه تا زمین را محاسبه کند اما او میبایست برای این کار فاصله زمین و خورشید را بداند.خورشید به شکل قرص نورانی دیده میشود و به همین دلیل از تمام جهات به زمین میتابد. نتیجه این تابش این است که سایهای در فضا ایجاد میشود. سایه زمین دو بخش دارد : بخش درونیف سایه تیرهتر است. اگر ناظر در این بخش قرارگیرد، هیچ چیزی از خورشید نمیبیند . زمین به طور کامل جلوی نور خورشید را میگیرد. این بخش را اصطلاحاً تمام سایه میگویند. در هاله کمنورتر اطراف، بخشی از خورشید دیده میشود که آن را نیمسایه مینامند.
اندازهگیری مخروط سایه در شروع کار توپ تنیسی را در نظر میگیریم. قطر توپ تنیس 6.5 سانتیمتر است و مدل خوبی برای زمین است. چون زمین جو دارد، حاشیه دایره تمامسایه شکل محوی دارد. توپ تنیس هم پوشش کرکی دارد و حاشیه تمامسایهاش محو است. در زمانی که خورشید ارتفاع کمی از افق دارد، توپ تنیس را در مقابل دیواری نگهدارید. دو بخش سایه توپ روی دیوار دیده میشود، و برعکس هرچه توپ از دیوار دورتر نگهداشته شود، تمامسایهاش کوچکتر میشود و هرچه به دیوار نزدیکتر شود تمامسایهاش بزرگتر دیده میشود. روش دیگر برای مشاهده این موضوع به صورت مستقیم است. در این روش شما باید از عینک شماره 14 جوشکاری بهره ببرید. در این روش توپ را در جلوی نور خورشید قرار دهید و از پشت آن به خورشید بنگرید و فاصله مخروط را محاسبه کنید. با استفاده از هرکدام از روشهای گفته شده، میتوانید عامل دلتا ( ∆ ) را بدست آورید که از فرمول زیر محاسبه میشود.
قطر توپ / طول مخروط سایه = ∆

با اندازهگیریهای انجام شده، مقدار متوسط دلتا برای توپ تنیس 104 بدست میآید. با در نظر گرفتن فاصله متوسط زمین تا خورشید مقدار دلتا برای زمین 108 محاسبه میشود. قطر متوسط زمین هم 12740 کیلومتر است. با این حساب اندازه مخروط سایه زمین 1375920 کیلومتر است.
فاصله و قطر ماه
به طور تقریبی ماه در هر ساعت نیم درجه در آسمان به سمت شرق تغییر مکان میدهد. زمانی که ماه وارد سایه زمین میشود، با استفاده از دو روش میتوان اندازه زاویهای دایره تمامسایه را حساب کرد. اگر گرفتگی جزیی باشد، در هر ساعت طرحی از قرص ماه و بخش تیره شده آن را رسم کنید. بعد با توجه به قطر زاویهای ماه در آسمان، در کنار خط کشی که ساعتهای رصدی را نشان میدهد.
در این روش میتوانید بخشی از دایره تمامسایه را که بوجود آمده مشاهده کنید و اندازهگیری قطر ماه میسر میشود. چند نکته را حتماً در طراحی رعایت کنید: اول اینکه اندازه دایره فرضی را که برای قطر ماه در نظر میگیرید، تغییر ندهید. دوم اینکه، توجه کنید که قطر ماه میباید معادل اندازه خطی یک ساعت در خطکش ساعتی باشد. روش دیگر که بهتر میتوانید در آن عمل کنید و از دقت بالاتری برخوردار است، روش عکاسی میباشد. البته در این عکسها شما فقط مقداری از قطر تمام سایه را میبینید و به آسانی میتوانید اندازه زاویهای کل دایره را نسبت به قطر ماه اندازه بگیرید. البته با تعداد بیشتری از این عکسها مقدار دقت شما افزایش میابد.
حال به اصل ماجرا میرسیم. اینکه چگونه فاصله و قطر ماه را اندازه بگیریم. با فاصله گرفتن از زمین، قطر واقعی تمام سایه، با افزایش عامل f کاهش می یابد. اندازه f در قله مخروط سایه " یک " است. بر این اساس

قطر واقعی تمام سایه =*12740(f-1)

قطر زاویهای تمام سایه را قبلاً بر حسب درجه محاسبه کردهایم و اکنون آنرا بر حسب رادیان تبدیل کنید. D بنامید. اندازه قطر واقعی تمامسایه تقسیم بر فاصله ماه از زمین.
پیشتر حاصل تقسیم 12740/1375920 را دلتا ∆ در نظر گرفته بودیم. با این حساب معادله بالا به صورت زیر تغییر مییابد:

(1 + (∆ * D )) / 1 = f

مقدار دلتا که 108 است. قطر زاویهای تمامسایه (D) هم بر حسب رادیان مشخص است. از رابطه 3 f را محاسبه کنید و فاصله ماه بر حسب کیلومتر برابر است با f * 1375920 و برای محاسبه قطر واقعی ماه ابتدا تمام سایه را از رابطه 1 بدست آورید. از طرفی نسبت قطر زاویهای ماه به تمامسایه را هم از طریق رصد محاسبه کنید. اگر قطر واقعی تمامسایه را در این نسبت ضرب کنید، قطر واقعی ماه محاسبه می شود. امیدواریم این مقاله رصدی بتواند نیاز منجمان آماتور را تا حدودی بر طرف سازد. منتظر رصد های شما هستیم.

محاسبه فاصله زمین و خورشید با استفاده از گذر زهره
اهداف:
اندازه گیری فاصله زمبن و خورشید با استٿاده از مشاهده گذر زهره از دو مکان متفاوت که بر روی یک نصف النهار قرار گرفته باشند. البته محاسبه این فاصله از روی دو نصف النهار متفاوت نیز امکان پذیر است ولی احتیاج به روابط ریاضی پیچیده ای دارد.
ارائه یک روش ساده شده که براساس اندازه گیری های انجام شده در قرن 18 به دست آمده.
مفروضات:
1-دو محل مشاهده بر روی سطح خورشید تصویر می شوند و مراکز زمین، خورشید و زهره در یک صفحه قرار دارند.
2-مدار زمین و زهره به دور خورشید دایره است.
پیش زمینه های لازم:
الف )اطلاعات ریاضی:
مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر با 180 درجه است.
تعریف سینوس و کسینوس یک زاویه
نسبت های مستقیم
تئوری فیثاغورث (اختیاری)
ب )اطلاعات نجومی
قانون سوم کپلر
تعریف parallax افقی
ج )وسایل لازم
خط کش
ماشین حساب
مقدمه:
سر ادوارد هالی( Ser Edward Halley) در سال های 1761، 1769 پیشنهاد برپائی مسابقه ای در زمنیه مشاهده گذر زهره را داد و جین نیکلاس دلیسله (Jean Nicolas Delisle) نتایج آن را گرد آوری کرد. ما این مشاهدات را برای محاسبه فاصله زمین و خورشد با استفاده از یک روش ساده برای رصد گران در نصف النهارهای یکسان (با عرض از مبداهای متفاوت) به کار می گیریم. برای افزایش دقت محاسبات بهتر است افراد در مکان هائی با حدکثر اختلات ممکن در عرض جغرافیایی قرار گیرند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/f/fe/asmansb.jpg
روشی که در این جا استفاده می شود، ساده شده نسخه ای است که هالی از آن در قرن 18 میلادی استفاده کرد.
مکان هائی که در آن زمان برای رصد به کار می رفت، بسیار دور افتاده بودند و سفر کردن به خاطر جنگ های اقوام و ملت ها و طوٿان بسیار خطرناک بود. به طوری که در زمان مورد بحث ما در اقیانوس هند، انگلیس و فرانسه جنگ بود.
لازم به ذکر است که برای اولین بار در گذر سال 1761 چنین موقعیتی پیش آمد که یک مسابقه علمی بین الممللی با بیش از 130 حضور در سراسر جهان برگزار شود.
در سال 1769 نیز 151 رصد گر در 77 جای مکان مختلف به مشاهده گذر پرداختند. هریک از این گروه ها مشکلات خاص خود را داشتند که باعث می شد نتایج مورد نظر حاصل نشود.
مشاهدات از روی زمین:
حال دو رصد گر را در نظر می گیریم که در موقعیت های A و B بر روی یک نصٿ النهار با عرض از مبدا های متفاوت قرار دارند.
زهره به صورت یک دیسک کوچک بر روی سطح خورشید در دو نقطه A` و B` دیده میشود، و این به خاطر آن است که خطوط نور که به A و B می رسند با هم فرق دارند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/4/4b/starh.jpg
با قرار دادن نتایج دو مشاهده در کنار هم، امکان محاسبه Parallax ٿراهم میشود. با قرار دادن مراکز در خورشید (یکی برای ناظر A و دیگری برای ناظر B) بر روی هم A`B` فاصله مکانی بین دو مشاهده در یک لحظه بدست می آید.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/b/b2/mah.jpg
اگر ما حرکت زهره را از زمان تماس اول تا انتها مشاهده کنیم و خط مسیر آن را روی خورشید در طول گذر ترسیم کنیم دو خط متفاوت ولی موازی یکی برای مشاهده از A و یکی برای B خواهیم داشت. فاصله این دو خط، جابجایی( parallax (Δβ است
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/b/b2/korsid.jpg
عکس از گذر عطارد در سال 2003 میلادی

چگونه فاصله بین خورشید و زمین را محاسبه کنیم:
خورشید به مرکز C، زمین به مرکز O و زهره به مرکز V را در نظر میگیریم:
شخصی که در نقطه A قرار دارد زهره را در A` بر روی خورشید می بیند و شخصی که در نقطه B قرار دارد زهره را در B` میبیند. همان طور که میبینید مرکز زمین، زهره و خورشید بر روی یک خط قرار ندارند (شکل 1) ولی این به ما در جهت ساده سازی روابط ریاضی کمک میکند.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/a/a5/khrba.jpg
شکل 1

مثلث های APV و BPC دارای زاویه خارجی برابر در نقطه P هستند می توان نوشت:

βv + β1 = βs + β2
بنابراین:
βv - βs = β2 - β1 = Δβ

که در آن Δβ ٿاصله بین دو خط اثر گذر زهره بر روی سطح خورشید است. با ساده سازی خواهیم داشت:

Δβ = βs (βv / βs) - 1)

فاصله بین زمینـ خورشید را re و زهرهـ خورشید rv را در نظرمیگیریم

Parallax زهره برابر است با βv = AB / (re- rv) و parallax خورشید

βs = AB / re می باشد. با استفاده از این دو نسبت βv / βs را حساب می کنیم

βv / βs = re / (re- rv)

با جایگذاری این نسبت در رابطه Δβ خواهیم داشت

Δβ = βs (re / (re- rv) - 1) = βs rv / (re- rv)

بنابراین:

(βs = Δβ (re / rv) - 1)

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/04/mikro.jpg
نسبت rv / re را می توانیم با استفاده از قانون سوم کپلر به دست آوریم. همان طور که می دانیم یک سال زمینی 365.25 روز و یک سال برای سیاره زهره معادل 224.7 روز است.
(re / rv)3 = (365.25 / 224.7)2

بنابراین:
re / rv = 1.38248

با استٿاده از نتایج روابط parallax خورشید، خواهیم داشت

βs = Δβ (re / rv) - 1) = Δβ (1.38248 - 1)

در نتیجه

βs = 0.38248 Δβ

و در نهایت با استفاده از تعریف parallax ، ٿاصله زمین از خورشید، re این چنین تعریف می شود:
re = AB / βs
در نتیجه به ٿاصله بین دو رصد گر (AB) و Δβ ناشی از اطلاعات دیداری احتیاج داریم.

مشاهدات سال 1769
برای وضوح بیشتر از محاسبات گذر سال 1769 استٿاده میکنیم، که این اطلاعات را در کتاب تاریخ نجوم ("A History of Astronomy" by A. Pannekoek) ثبت شده است. این کتاب شامل طراحی ها و جداول گذر است که در مکان های مختلف در سال های 69 و 61 به دست آمده، در اینجا از اطلاعات مربوط به Lapland و Tahiti برای روشن شدن مطلب استفاده می کنیم.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/8/82/mahgamr.jpg
نقطه زهره در تائیتی از این زمان نامگذاری شده

الف )فاصله بین دو نقطه رصد A و B :
فاصله AB به وسیله عرض از مبدا دو نقطه مشاهده شده، محاسبه میشود. بر روی شکل φ1 و φ2 عرض از مبدا دونقطه A و B هستند و R شعاع زمین.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/d/da/moh.jpg
در مثلث بازی که مثلث متساوی الساقین RAB را قطع میکند داریم:
sin (φ1 + φ2) / 2) = (AB / 2) / R

با توجه به این رابطه خواهیم داشت

AB = 2 R sin (φ1 + φ2) / 2)

دقت کنید! اگر نقاط A و B در یک چهارم یکسانی از دایره باشند زاویه مورد نظر (φ1 - φ2) / 2)خواهد بود.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/a/a4/gmr.jpg

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:29 PM
به طور مثال لایلاند و تائینی بر روی یک نصف النهار قرار دارند با عرض از مبدا های 70° 21' N و 17° 32' S .

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/3/33/siarhmah.jpg

در نتیجه هندسه مساله تغییر می کند و زاویه جدید φ برابر است با :
φ = (90 - φ1) + 90 + φ2 = 127° 11' R = 6378 km

و با توجه به شعاع زمین R = 6378 km خواهیم داشت:
AB = 2 R sin(φ / 2) = 11425 km

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/1/1a/olmpik.jpg

سٿر کاپیتان جیمز کوک به هائیتی

ب) محاسبه Δβ
برای محاسبه Δβ از روش اندازه گیری مستقیم، قطر خورشید D و A'B' را از روی طراحی و یا عکس حساب می کنیم. قطر زاویه ای خورشید که از روی زمین دیده می شود 30' است. با استٿاده از تناسب خواهیم داشت:

Δβ / 30' = A'B' / D
بنابراین:
(Δβ = (30') (A'B' / D)
دقت کنید که برای محاسبات باید قطر زاویهای خورشید را بر حسب رادیان نوشت در نتیجه داریم:

(Δβ = (30 π / 10800) (A'B' / D

(Δβ = (π /360) (A'B' / D

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/e/eb/msbah.jpg

با اندازه گیری فاصله بین دو خط مستقیم 1و3 خواهیم داشت: Δβ = 1.5 mm وقطر برروی طراحی برابر با
D = 70 mm است. در نتیجه

Δβ = (π / 360)(1.5 / 70) = 0.00019 radians
در محاسبه مستقیم Δβ ، خطا در اندازه گیری به وجود می آید .
نرم افزار مهر و ماه
نرم افزار «مهر و ماه» كه در دست تهيه است، مختصات و مشخصات خورشيد و ماه را در زمان ها، مكا نها و حالات مختلف محاسبه مي كند و مي تواند براي تحليل هاي محققان و رصدگران ماه، گروه هاي استهلال و دست اندركاران تقويم مورد استفاده قرار گيرد. براي اين منظور، در اين نرم افزار دقيق ترين روشهاي محاسباتي به كار گرفته مي شود.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:30 PM
هنر حل مسائل از زبان مسئله آنی شئنفلد در باب آموزش هنر حل مسئله بیان می کندکمی برای کسی که اولین بار با این مساله برخورد می کند مغالطه آمیز است.درواقع چگونگی حل آن کمی سردرگم کننده است.این مساله به صورت زیر بیان می شود: فرض کنید pوq وr و s اعداد حقیقی مثبتی باشند نامساوی زیررا اثبات کنید:
P2+1)(q2+1)(r2+1)(s2+1) / pqrs ≥ 16 )
دراین مقاله آمده است دانشجویان سعی می کردند طرفین نامساوی را در pqrs ضرب کنند واکثرا ناموفق بوده اند.
معمولا این گونه مسایل نیاز به انتخاب یک استراتژی اصولی در ابتدای حل و پی گیری آن تا مراحل پایانی مسئله دارد.
استراتژی های جامع حل مسئله در زیر آمده است:

1)درک صورت مساله
2)تحلیل خود مساله
3)طراحی ابتدایی برهان
4)اجرای مرحله به مرحله برهان
5)بررسی موضعی
6)حل موقت
7)تعمیم حل موقت به حالت کلی
هدف اصلی ما در طرح ریزی این مساله انتخاب شیوه ای جدید برای حل این مساله است و از این شیوه جدید به نام"شبیه سازی پارامترها" نام می بریم.
به مساله باز می گردیم.باکمی دقت در مساله می توان دریافت مقادیر به کاررفته در صورت ومخرج کسر قابل برنامه ریزی واستراتژی بندی هستند.
برای حل مساله به شیوه ای نوین ابتدا لازم است یک نامساوی را مورد بحث قرار دهیم:
(p2+1)n/pn≥2n
این نامساوی را می توان با استقرا روی n اثبات کرد.(اثبات برعهده خواننده)
حال می خواهیم ببینیم چگونه از این نامساوی می توان در حل این مساله استفاده کرد.اگر در نامساوی فوق قرار دهیم n=1 اولین جمله طبیعی نامساوی برابر با 2 خواهد شد که خود اثباتی است از اتحاد اول.
اولین مولد طبیعی نامساوی یعنی 2را هسته نامساوی می گیریم.
اگر مساله را تجزیه کنیم داریم:
(p2+1)/p2 ,(q2+1)/q2 ,(r2+1)/r2 ,(s2+1)/s2
که همگی درهم ضرب شده اند و حاصل را بزرگتر –مساوی 24 ساخته اند.
می بینیم که در این نامساوی 4 جمله همگن در هم ضرب شده وحاصلی همگن با خود پدید آورده اند.
ملاحظه می شود که جملات ناشی از تجزیه سوال, جمله اول نامساوی مذکور ما است. لذا حاصل ضرب آنها به این معناست که گویی 4 بار 2 رادرخودش ضرب کنیم که همان 24است و مسئله اثبات می شود. در حالت کلی می توان گفت حل این گونه مسایل شگردهای خاص خودرادارد وممکن است از چندین راه حل شوند. ولی این راه حل ابتکاری که توسط نگارنده مقاله مورد استفاده قرار گرفته است حالات کلی تری را شامل می شود واین می تواند به زیبایی حل بیا فزاید.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:31 PM
اعداد تاكسي :
زماني كه رياضيدان انگليسي هاردي براي عيادت رياضيدان شهيرهند رامانوجان به
بيمارستان رفته بود به اين موضوع اشاره كرد كه شماره تاكسي كهبه وسيله آن به
بيمارستان آمده، عدد بي ربط و بي خاصيت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله
ضمن رد ادعاي هاردي به او يادآور شد كه اتفاقا 1729 بسيارجالب توجه است .
خود ۱۷۲۹ عدد اول است.
دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر كدام عدد اولهستند.
جمع چهار رقم تشكيل دهنده آن ميشود ۱۹ كه اول است.
جمع دو عدد اوليهو دو عدد آخري ميشود ۸۱۱ كه باز هم عدد اول است
دو عدد ابتدايي(سمت چپ) اگر جمعشوند؛عدد ۸۲۹ ميشود كه باز هم عدد اول است.
دو عدد اوليه اگر از هم ديگر كسرشوند؛عدد ۶۷ ساخته ميشود كه باز هم
عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اولاست(۱و۷و ۲).
عدد اول؛عددي است كه فقط بر يك و خودش تقسيم ميشودبنحوي كه نتيجهتقسيم
عددي كسري نباشد(خارج تقسيم نداشته باشد)
جمع عددي اعداد تشكيل دهنده۱۷۲۹يا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛
عكس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر ۱۹*۹۱بشودنتيجه برابر ۱۷۲۹ميشود.
اين هم يكي ديگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است كه در هر عددي ديده نميشود.
عدد 1729 اولين عددي است كه مي توان آنرا به دو طريق به صورت حاصلجمع
مكعبهاي دو عدد مثبت نوشت :
12 به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 بهتوان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر
1729 مي باشند .(اولين مطلب موجود دررابطه با اين خاصيت 1729 به كارهاي
بسي رياضيدان فرانسوي قرن هفدهم باز ميگردد.) حال اگر كمي مانند
رياضيدانها عمل كنيد بايد به دنبال كوچكترين عدديبگرديد كه به سه طريق مختلف
حاصلجمع مكعبهاي دو عدد مثبت است اين عدد87539319مي باشد كه در
سال 1957توسط ليچ كشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423به
توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر
87539319 است .
امروزه رياضيدانان عددي را كه به n طريق مختلف به صورتحاصلجمع مكعبهاي
دو عدد مثبت باشد ،n ــامين عدد تاكسي مي نامند و آنرا با Taxicab نمايش
مي دهند.جالبتر از همه اينكه ،هاردي و رايت ثابت كردند براي هرعدد طبيعي
n ناكوچكتر از 1 ،n ــامين عدد تاكسي وجود دارد !
هرچند، چهارمينتا هشتمين اعداد تاكسي نيز كشف شده اند ولي تلاشها براي
يافتن نهمين عدد تاكسيتاكنون نا كام مانده است . متاسفانه اطلاعات زيادي درباره
اعداد تاكسي موجودنيست . در ضمن ميتوان مسئله را از راههاي ديگر نيز گسترش
داد . مثلا همانگونهكه هاردي در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسيد و او قادر به
پاسخگويي نبود، اين پرسش را مطرح كنيد: كوچكترين عددي كه به دوطريق
حاصلجمع توانهاي چهارم دوعدد مثبت مي باشد ،كدام است؟ اين عدد
توسط اويلر يافت شده است :635318657حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنين
توانهاي چهارم 133 و 134 مي باشد.

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:31 PM
هندسه موسيقي




دكتر حسن بلخاري



مطلب زير بريدهاي از يك نوشتار بلند پيرامون مباني نظري موسيقي در تمدن اسلامي است. اين مطلب به ريشههاي و تاثيرات تفكر يوناني بر فرهنگ موسيقايي اسلامي ميپردازد.
در بررسي تاريخ موسيقي در تمدن اسلامي، گام اول اشارتي نه چندان گذرا به فرهنگ و فلسفه يوناني است. اين گام ضروري است زيرا در اين معنا ترديدي وجود ندارد كه تاثيرپذيري فلسفه و كلام اسلامي از انديشههاي فلاسفه يوناني، نقش مهمي در رويكرد به موسيقي در تاريخ تفكر و تمدن اسلامي داشته است. نظرگاههاي خاص «اخوان الصفا» و عرفاي بزرگي چون «مولانا محمد جلال الدين رومي » در مورد موسيقي و سماع، بازتابي از ديدگاه هاي فيثاغورثيان پيرامون موسيقي است.
بررسي تاريخي موسيقي با فيثاغورث آغاز ميشود. فيلسوف نامآور جزيره «ساموس» كه در سال 532 قبل از ميلاد به دنيا آمد و از بنيانگذاران اولين انجمن فلسفي عرفاني در زندگي انسان غربي است.
«كاپلستون » در «تاريخ فلسفه» معتقد است، محور افكار و اعمال فيثاغورثيان تزكيه و تطهير بود. آنها عوامل وصول بدين تطهير و تزكيه را، تمرين سكوت، موسيقي و مطالعه رياضيات ميدانستند. همنشيني موسيقي و رياضيات در ذهنيت فيثاغورثيان، ابواب معرفتي مهمي را بر ذهن و روح بشر گشود و در اين ميان موسيقي كه نسبت بسيار گستردهاي با عدد و هندسه داشت، عاملي براي عروج و صعود روح و ادراك رقص و چرخ افلاك توسط فيثاغورثيان شد.
فيثاغورثيان اولين كساني بودند كه پي بردند ميتوان فواصل ميان نتهاي چنگ را با عدد بيان كرد. همچنين «فيثاغورث ميان سازوارهاي موسيقايي و رياضيات رابطهاي اساسي يافت. ولي آنچه او كشف كرد بسيار دقيق و روشن بود. هر گاه تك تار كشيدهاي را به ارتعاش درآوريم يك نت اصلي ايجاد ميكند. نتهايي كه با اين نت سازوارهاي دارند با تقسيم تار به عده كاملا درستي از اجزاي آن به دست ميآيند، درست به دو جزء، درست به سه جزء، درست به چهار جزء. الي آخر. اگر نقطه ساكن تار، يا گره، بر يكي از اين نقاط مشخص قرار نگيرد، صداناساز است... فيثاغورث دريافته بود كه نواهايي كه به گوش خوشايند هستند با تقسيمات طول تمام تار بر اعداد درست مطابقت دارند. اين كشف براي فيثاغورثيان نيرويي عرفاني داشت. تطابق ميان طبيعت و عدد آنچنان قوي بود كه اينان متقاعد شده بودند كه نه تنها صداهاي طبيعت، بلكه همه ابعاد مميز آن نيز، بايد اعدادي ساده و بيانگر سازوارهاي باشند. مثلا فيثاغورث و پيروانش بر اين عقيده بودند كه مدارهاي اجرام فلكي را ( كه به تصور يونانيان روي كره هاي بلورين به دور زمين گردش ميكنند) با ربط دادن آنها به فاصلههاي موسيقي ميتوان حساب كرد.
احساس آنها چنين بود كه همه نظامهاي موجود در طبيعت موسيقايياند: از ديد آنها گردش چرخ، موسيقي افلاك بود.»
فيثاغورثيان زمين را كروي ميدانستند و معتقد بودند «نه تنها مركز جهان نيست بلكه زمين و سيارات همراه با خورشيد گرد آتش مركزي يا «كانون جهان» كه با عدد يك، يكي گرفته ميشد ميگردند.»
تحليل موسيقايي فيثاغورثيان در طول تاريخ مورد ستايش و در عين حال انتقاد برخي واقع شده است. ليكن اهميت كار او در كشف نقش مهم اعداد در موسيقي و حساب بسيار قابل توجه و غير قابل انكار است. برتراندراسل در اين مورد ميگويد:
«رابطهاي كه وي (فيثاغورث ) ميان موسيقي و حساب پديد آورد هنوز در اصطلاحات رياضي «معدل هارمونيك» و «تصاعد هارمونيك» به جاي مانده است.» همچنين راسل معتقد است نسبت قوي ميان رياضيات و حقيقت، منشأ اعتقادات عرفاني و عقلاني در حيات انسان شده است: «به نظر من بزرگترين منشأ اعتقاد به حقيقت كامل و ابدي و نيز اعتقاد به عالم معقول و نامحسوس همان رياضيات است. نظريات عرفاني درباره نسبت زمان و ابديت نيز به وسيله رياضيات مطلق تقويت مي شود. زيرا كه اشياي رياضي مانند اعداد اگر اصولا واقعيتي داشته باشند، ابدي هستند و در بستر زمان قرار ندارند چنين اشياي ابدي را ميتوان افكار خدا پنداشت؛ نظر به افلاطون كه ميگويد خدا «مهندس»است و عقيده سر جيمز جينز كه ميگويد خدا به علم حساب معتاد است از اين جا آب ميخورد، دين تعقلي در برابر دين اشراقي، از زمان فيثاغورث و خاصه از زمان افلاطون تاكنون متأثر از رياضيات و اسلوب رياضي بوده است، تركيب رياضيات و الهيات كه با فيثاغورث آغاز شد، در يونان و قرون وسطي و عصر جديد تا شخص كانت صفت مشخص فلسفه ديني شد.»
اين پيوستگي و پيوند ميان رياضيات، فلسفه، هنر، الهيات و عرفان بعدها عامل بسيار مهمي در شكل گيري هنر اسلامي شد.
در سطور پيشين ذكر شد كه نظريات فيثاغورثيان مورد انتقاد فلاسفه اسلامي چون فارابي، بوعلي سينا و بعدها «وين چن زوگاليله» - پدر گاليله- قرار گرفت. اما تحقيقات جديد نشان داده است استناد فيثاغورثيان به حساب و هندسه نه مبتني بر الهيات يوناني كه مبتني بر الهيات و اساطير سومريان بوده است.
در اين تحقيقات سعي بر اين است كه بين نقش بسيار مهم فلسفه يوناني در شكل گيري موسيقي علمي و عددي و نيز انتقادهايي كه به انديشه فيثاغورثيان ميشود، جمعي صورت گيرد. از يك سو افلاطون، «برجستهترين اسطوره نگارهارمونيك غرب» لقب ميگيرد و از سوي ديگر مباني فكري او مستند به كشفيات رياضي- موسيقايي سومريان ميشود. بدين ترتيب اين تحقيقات فيثاغورثيان را دور ميزند.
از جمله اين محققان جديد، «ارنست جي مك كلين» است. وي ضمن ذكر انتقادات وين چن زوگاليله به نظريات داستان جذاب ارتباط موسيقي و كيهان شناسي» خود برميگزيند. از ديدگاه وي افلاطون به عنوان برجستهترين اسطورهنگار هارمونيك، متأثر از رياضيات سومري است. وي ميگويد: «بايد بدانيم كه مجبوريم تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزههاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور- بنا به عقيده فيثاغورثيها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري «كوه»تبعيت نماييم و سپس مانند سقراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت سنگريزههاي مثلث شكل يا «چارگان مقدس» درآورده و اجرا كنيم و براي رسيدن به اين منظور – بنا به عقيده فيثاغورثيها- لازم است كه از الگوهاي خشتي موجود در نماد سومري«كوه» تبعيت نماييم و سپس مانند سفراط دلالتهاي هارمونيك تئوري اعداد مربوط به موسيقي را به صورت دايرهاي بر روي شن به تصوير درآوريم. اين دايره همان جهان يا كيهان است كه همانند صداهاي گام 12 درجهاي تا ابد به صورت دايرهاي خواهند بود.»
«مك كلين» با ذكر اعداد نمادين سومري كه كاركرد خدايان اين تمدن را نشان ميداد نسبت ميان تقسيمات موسيقي با اين اعداد و كاركردها را نشان ميدهد. به عنوان مثال نماد عددي Ano به صورت 6060=1 در نظر گرفته ميشد و خدايي چون ِِEnlil با نماد عددي 50 مبدع فاصله موسيقايي سوم بزرگ Major third با نسبت چهار پنجم و سوم كوچك Major third با نسبت پنج ششم محسوب ميشود. Enki خداي آبهاي شيرين و با نماد عددي 40، فاصله پنجم درست Perefect Fith كه فدرتمندترين فاصلهها پس از اكتاو است را سبب ميشود. خدايان ديگر نيز چون Sin، ٍShamash، ( يا شمس عربي)، Ishtar، nergal ، Baal و mardok هر كدام اين قلمرو پذيرايي نقشي ميشوند، نقشي كه از ارتباط گسترده ميان الهيات ، رياضيات و موسيقي حكايت ميكند. «تئون ازميري» متاثر از اين ديدگاه گفته بود: «اعداد سرچشمههاي شكل و وانرژياند در جهان. آنها حتي در نزد خود پويا و فعالند، چونان اغلب مردم در استعداد خود براي تئاتر متقابل.»
در تاثير پذيري فيثاغورثيان از هندسه و حساب سومري و نيز تاثير پذيري افلاطون از اين حساب و هندسه و همچنين قدسي انگاشتن عدد نزد فيثاغورث و فيثاغورثيان شكي وجود ندارد.
افلاطون در رساله تيمايوس Timaeu فرضيات جهان شناسي خود را ارائه كرده است. در اين رساله «جاي سقراط را يك تن فيثاغورثي گرفته است و قسمت عمده نظريات مكتب فيثاغورثي در آن بيان شده است.»
تاثير پذيري افلاطون از حساب و هندسه سومري و فيثاغورثي كه نقش مهمي در نظريات موسيقايي او داشت در اين رساله مشهود است:« تيمايوس ميگويد كه عناصر حقيقي جهان مادي خاك و هوا و آتش و آب نيستند بلكه عناصر حقيقي عبارتند از دو نوع مثلث قائمه الزاويه: يكي مثلثي كه نصف مريع است و ديگري مثلثي كه نصف مثلث متساوي الاضلاع است. در آغاز همه چيز درهم ريخته بوده و عناصر گوناگون پيش از آن كه نظم و آرايش يابند و جهان را پديد آورند در جاهاي گوناگون بودهاند ولي سپس خدا آنها را با شكل و عدد آرايش داد و آنها را كه خوب و زيبا نبودند تا سر حد امكان خوب و زيبا ساخت، گويا آن مثلثهايي كه در بالا ياد كرديم زيباترين شكلهايند بدين سبب خدا آنها را در ساختن ماده به كار برد. با اين مثلثها چها تا از احجام منتظم پنج گانه را ميتوان ساخت و هر يك از اتمهاي چهار عنصر اصلي يكي از آن احجام منتظم است. اتم خاك شش سطحي، اتم آتش چهار سطحي، اتم هوا هشت سطحي و اتم آب بيست سطحي است.»
بحث بر سر صحت يا عدم صحت فرضيات افلاطون نيست، راسل در تاريخ فلسفه غرب ميگويد: «رساله تيمايوس بيش از همه آثار افلاطون حاوي مطالب احمقانه است» اما در عين حال نميتواند به جدي بودن برخي مطالب او اقرار نكند: « مشكل بتوان تشخيص داد كه در رساله تيمايوس چه چيزهايي را بايد به جد گرفت و چه چيزهايي را بايد بازي خيال انگاشت. به نظر من شرح خلقت و پديد آمدن نظم از بي نظمي را بايد كاملا به جد گرفت. همچنين است تقسيم بندي چهار عنصر و رابطه آنها با احجام منتظم و مثلثهايي كه آنها را تشكيل ميدهند.»
همچنين رابرت لولر در كتاب ارزشمند خود تحت عنوان «هندسه مقدس» نسبت ميان هندسه قدسي و موسيقي از ديدگاه افلاطون را چنين روايت ميكند: «شايد به خاطر تامل در قوانين وساطت است كه شخص ميتواند رابطه بنيادين ميان هندسه و موسيقي را از قراري كه افلاطون در نامه هفتم خود مي گويد- و بيش از هر علم ديگر به آن احترام ميگذارد- اجمالا ببيند و شايد به همين دليل است كه مصريات دو هرم بزرگ را در جيزه ساختهاند كه يكي از آنها تنها مثلثي است كه اضلاعش يكي در تصاعد هندسي و ديگري در تصاعد 5،4،3 حساب است. در عصر ما «سايمون ويل» از اهميت اين علم به عنوان اصلي فلسفي براي عرفان عيسوي ياد ميكند

محسن71
Wednesday 27 June 2012-1, 10:32 PM
چگونه رياضيات را به دانشي دلچسب تبديل كنيم؟
بهناز ساويزي - دبير رياضيات:
طي بيست و شش سال اخير كه مستقيم و غيرمستقيم با رياضيات سر و كار داشته ام، چه در دوران مدرسه و دانشگاه و چه به عنوان دبير رياضيات در مدارس، يك پرسش بي جواب چون سايه همه جا مرا دنبال كرده است: «رياضياتي كه مي خوانيم به چه دردمان مي خورد؟»
در دبيرستان يك درد بزرگ داشتيم: «كنكور»! و البته رياضيات با ضريب بالايي كه داشت درمان مناسبي براي كاهش اين درد بود، ولي خود رياضيات هم درد كمي نبود. در دانشگاه فني مهندسي، جايگاه والاي رياضيات، صد البته نيازي به يادآوري نداشت. رياضيات مهندسي، محاسبات عددي، تبديلات لاپلاس و فوريه، معادلات پواسن و دهها عنوان و موضوع پرطمطراق ديگر.

گرايش الكترونيك رشته برق مي توانست از اين سرمايه هاي رياضيات به خوبي در شبيه سازي ترانزيستورها، طراحي مدارات داخلي آي سي ها، .....ها و.... بهره ببرد ولي «فوت آخر» را نه من و نه قريب به اتفاق دانشجويان اين رشته ندانستند.

باري شعبده روزگار و بخت يار ميز تستينگ و اسيلوسكوپ و هويه و ديگر ادوات فني را به گچ و تخته و ميز آموزگاري بدل كرد. تدريس مهندس سابق و معلم ناشي كه حتي يك واحد درسي در ارتباط با تدريس نگذرانده است، خود داستان ديگريست كه از بيانش چشم مي پوشم.سؤال بي جواب ذهنم يعني «رياضيات به چه درد مي خورد» را بارها و بارها از زبان دانش آموزان خوب، متوسط يا ضعيف مي شنيدم.

«رياضيات در رشته هاي فني بسيار كاربرد دارد، مثلاًً طراحي مدارات داخلي آسي ها، ترانزيستورها، طراحي و ساخت پل ها و آسمان خراش ها و....» دانش آموزان بي چاره كه با شنيدن كاربردهاي ناآشنا و عجيب و غريب رياضيات به طور ضمني، متهم به ناداني و ناآگاهي شده بودند با تكان دادن سر، دل خود و خاطر مرا خوش مي كردند و كسي جرات پيدا نمي كرد بپرسد: خانم چطور كاربرد دارد. شما خودتان مي دانيد؟

وسوسه تحصيل علم يك بار ديگر جايگاه معلمي را با جايگاه دانشجويي تعويض كرد. اين بار در رشته اي كه واقعاً با شغلم در ارتباط بود: آموزش رياضي. در كنار اهداف ديگر باز هم به دنبال پاسخ همان پرسش بودم و اين بار در دانشگاه. پس از طي دوران تحصيل و فراغت از آن، يك پرسش بي جواب به دو پرسش تبديل شده بود:«رياضيات به چه درد مي خورد؟» و «آموزش رياضيات به چه درد مي خورد؟»

رنج سرخوردگي از يافتن آ نچه به دنبالش بودم، ذهن و بيان مرا در پاسخ به همان سؤال بي جواب تلطيف نموده بود: «رياضيات ذهن آدمي را باز مي كند، رابطه زيادي با هنر و عرفان دارد. شما اگر ياد بگيريد چگونه يك مسأله رياضي را درست حل كنيد، مسائل زندگي را هم درست حل مي كنيد...» و باز در دل دعا مي كردم دانش آموز شجاعي نپرسد كه بتهوون يا ابوسعيد ابوالخير چه سهمي از رياضياتي هم سنخ رياضيات امروز ما را داشتند كه آنها را به آن درجه از مقام رسانده بود؟ و يا اينكه: «خانم شما خودتان چقدر از تفكر رياضي خود در حل مشكلات زندگي بهره جسته ايد؟( كه البته رنگ رخساره خبر مي دهد از سر درون!)»

مراحل حل مسأله شونفلد و پوليا، ساخت و سازگرايي، رفتارگرايي و نظريه هاي آموزش رياضي از هر نوعي، نمي توانست من و دانش آموزان مرا قانع كند كه مي توان مطالب و ايده هاي رياضيات را كه طي قرنها شكل گرفته اند، با آن حجم سنگين كتب درسي، در يك دوره كوتاه مدت مدرسه اي آموخت، دروني كرد و در جهان واقعي به كار گرفت.

حقيقت امر اين است كه كاربردهاي تصنعي و شسته و رفته اي كه براي موضوعات رياضي در گوشه كنار برنامه هاي درسي گنجانده شده اند، هرگز آن قدر جذاب و چالش برانگيز نيست كه زندگي روحي و فكري دانش آموز را براي حتي مدتي كوتاه عميقاً درگير خود سازد. دنياي واقعي و برگزيده اي كه به رياضيات مدرسه اي تحميل شده است به اندازه دنياي واقعي و ساده دانش آموزاني كه مي خواهند رياضيات را به نحوي با آن ارتباط دهند، واقعي نيست. پرسش اينجاست كه آيا در آموزش بايد دنياي واقعي را با رياضيات ارتباط داد يا رياضيات را با دنياي واقعي؟

در حالت اول، مدل ها داراي ارزشند و در حالت دوم مدلسازي. در حالت اول رياضيات تدريس مي شود و سپس احتمالاً كاربردهايي از جهان واقعي براي آن گزينش و انتخاب مي شود. مسائل و كاربردهايي كه شايد براي دانش آموزان ما هرگز در حكم يك نياز نباشد، هرگز دانش آموزان را براي حل، به چالش وا ندارد.در حالت دوم ابتدا مسأله اي از جهان واقعي معرفي مي گردد كه دانش آموزان اهميت آن را درك نموده اند، سپس براي حل بهينه آن رياضيات به كار گرفته مي شود، رياضياتي كه كليد حل مسأله است و دانش آموز را از نزديك درگير مراحل حل مسأله مي نمايد.

مسأله كاربرد رياضيات يا رياضيات كاربردي در آموزش جهاني نيز مطرح است. ناكامي رويكرد رياضيات جديد در رسيدن به اهداف خود ، جامعه جهاني را به فكر جبر