تقارن محوری


تعریف

تقارن محوری تبدیلی است که با خطی راست که محور تقارن نامیده می شود مشخص می شود . قرینه نقطهپارسیان نسبت به خطپارسیان نقطهپارسیان است در صورتی که، خطپارسیان عمود منصف پاره خطپارسیان باشد .
هرگاه نقطهپارسیان قرینه نقطهپارسیان نسبت به خطپارسیان باشد آن را با نمادپارسیان نشان می دهیم .هر نقطه که روی خطپارسیان باشد قرینه اش نسبت به خطپارسیان بر خودش منطبق است . در این تقارن خطپارسیان را محور تقارن می نامیم و قرینه ، قرینه محوری است . ار تعریف بالا به سادگی نتیجه می شود که قرینه قرینه پارسیاننسبت به خطپارسیان بر خودپارسیان منطبق است ، یعنی :
پارسیان
پارسیان

خواص تقارن محوری


خاصیت اول.

در تقارن محوری قرینه هر خط راست که با محور تقارن متقاطع باشد خطی است راست که از نقطه تقاطع آن خط با محور تقارن می گذرد و زاویه ان با محور برابر است با زاویه همان خط با محور. اگر خط با محور موازی باشد قرینه آن نیز با محور موازی و خط و قرینه اش از محور به یک فاصله می باشند . ( به شکل های الف و ب توجه کنید)
پارسیان
(الف)

پارسیان
(ب)
اثبات.
اگرپارسیان قرینهپارسیان نسبت بهپارسیان باشد و از پارسیانبه محل تلاقی خط پارسیانبا خطپارسیان وصل کنیم ، خطپارسیان قرینه خطپارسیان نسبت به خطپارسیان است .
پارسیان
اگرپارسیان نقطه ی دلخواهی از خطپارسیان باشد و از پارسیانبر خطپارسیان عمود کنیم تا امتداد آن خطپارسیان را درپارسیان قطع کند، از تساوی دو مثلثپارسیان وپارسیان ( ز-ض-ز) نتیجه می شود که :
پارسیان
یعنیپارسیان ، پس قرینه ی هر نقطه دلخواه خطپارسیان نسبت به خطپارسیان رویپارسیان می افتد و هم چنین بر عکس ، ثابت می شود که هر نقطه خطپارسیان قرینه یک نقطه خطپارسیان نسبت به خطپارسیان است ، یعنی : پارسیان

نتیجه ۱.

قرینه محوری هر پاره خط با ان مساوی است .

نتیجه ۲.

قرینه محوری هر زاویه زاویه ای است مساوی با آن .

نتیجه ۳.

تبدیل یافته هر شکل در تقارن محوری با آن شکل برابر است .
اما تساوی ، تساوی معکوس است . زیرا طرز قرار گرفتن زاویه ها و راس های نظیر در دو شکل هندسی در دو جهت مختلف است .

خاصیت دوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن با محورهای موازی یک انتقال است .
اثبات.
با توجه به شکل داریمپارسیان ، بنابراین :
پارسیان
پس می توان نوشت :
پارسیان یا پارسیان
پارسیان

خاصیت سوم.

نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای متقاطع یک دوران است که مرکز دوران همان محل برخورد محورها و زاویه ی دوران دو برابر زاویه ی بین دو محور می باشد .
اثبات.
پارسیان
پارسیان

نتیجه ۱.

اگر دو محور بر هم عمود باشندپارسیان آنگاه زاویه ی دوران ۱۸۰ است یعنی نتیجه ترکیب دو تقارن محوری با محورهای عمود بر هم یک تقارن مرکز است .

محور تقارن


تعریف.

هر گاه قرینه هر نقطه از شکلپارسیان نسبت به خط ثابتپارسیان بر روی خود شکل قرار گیرد خط پارسیانرا محور تقارن شکل گوییم . یک شکل ممکن است چندین محور تقارن داشته باشد .
خاصیت چهارم. بنا به نتیجه (۱) و تعریف بالا هر گاه شکلی دارای دو محور تقارن عمود بر هم باشد، دارای مرکزتقارن است و محل تلاقی دو محور تقارن خواهد بود . مانند بیضی ، دایره، مربع و …

خاصیت پنجم.

هر پارسیانضلعی منتظم دارایپارسیان محور تقارن است . اگر پارسیانفرد باشد این محورهای تقارن از یک راس و وسط یک ضلع می گذرند مانند مثلث متساوی الاضلاع ، پنج ضلعی منتظم و … و اگرپارسیان زوج باشد نصف محورهای تقارن از وسط های اضلاع و نصف دیگر از راس ها می گذرند مانند مربع ، شش ضلعی منتظم و … هم چنین دایره بی شمار محور تقارن دارد .
پارسیان
(الف)
(ب)

خاصیت ششم.

دو دایره با شعاع های مساوی و مرکز های متمایز دارای دو محور تقارن عمود بر هم می باشد و دو دایره با شعاع های نامساوی و مرکز های متمایز دارای یک محور تقارن می باشند که این محور تقارن امتداد خط المرکزین آن هااست و مماس مشترک های دو دایره نسبت به آن قرینه اند . هم چنین دو دایره متحد المرکز دارای بی‌شمار محورتقارن هستند.
پارسیان
(الف)
(ب)

خاصیت هفتم.

هر خط راست بی شمار محور تقارن دارد . نیم خط محور تقارن ندارد و پاره خط یک محور تقارن دارد که عمودمنصف آن است .

مساله‌ ۱.

بین تمام مثلث هایی که قاعدهو مساحت برابر دارند محیط مثلثی مینیمم است که متساوی الساقین باشد .
حل. فرض کنید مثلثپارسیان باشد، که ارتفاع آنپارسیان است ، حال اگر قاعده مشترک راپارسیان بنامیم و پارسیانمساحت باشد؛ چونپارسیان پس ارتفاع ثابت است و مکان هندسی راسپارسیان دو خط موازیپارسیان می باشد .
حال برای آن که پارسیانمینیمم باشد (پارسیانثابت است ) قرینه ی پارسیانرا نسبت به خطپارسیان پیدا می کنیم و آن راپارسیان می نامیم . ازپارسیان بهپارسیان وصل می کنیم تاپارسیان را قطع کند . محل تقاطع راپارسیان می نامیم . چونپارسیان وپارسیان موازیند، پسپارسیانوپارسیان مساوی و مثلثپارسیان متساوی الساقین است .

مساله‌ ۲.

مثلثپارسیان و نقطه پارسیانروی ضلع پارسیانمفروض است ، نقاطپارسیان و پارسیانرا رویپارسیان و پارسیانطوری بیابید که محیط مثلثپارسیان کمترین مقدار ممکن را داشته باشد .
حل. فرض کنیدپارسیان وپارسیان قرینه هایپارسیان نسبت به پارسیانوپارسیان باشند . اگرپارسیان،پارسیان و پارسیانرا درپارسیانوپارسیان قطع کند ادعا می کنیم مثلثپارسیان مثلث مطلوب است وتوجه کنید کهپارسیان . پس محیط مثلثپارسیان برابر طول پاره خطپارسیان است . مشابهاً اگرپارسیان وپارسیان نقاط دیگری رویپارسیان باشند محیط مثلث پارسیانبرابر طول پاره خط شکستهپارسیان است که به وضوح از طول پاره خطپارسیان که برابر محیط مثلثپارسیان بود، بیشتر است . پس مثلث پارسیانکمترین محیط را دارد .
پارسیان

مساله ۳.

تمام پارسیانهایی را پیدا کنید که بتوان پارسیانمربع یکسان را طوری در صفحه قرار داد که اضلاع آنها افقی و عمودی باشد و شکل حاصل حداقل سه محور تقارن داشته باشد .
پارسیان
حل. فرض کنیدپارسیانیکی از مربع های مذکور باشد و پارسیانیکی از محورهای تقارن وپارسیان خطی موازی خطی افق وپارسیان قرینه ی پارسیاننسبت به پارسیانباشد . داریم :
پارسیان
کهپارسیان ( مطابق شکل ) . حال از آنجا کهپارسیان یکی از اضلاع مربع های موجود در صفحه است دو حالت داریم:
پارسیان
پس محورهای تقارن با یکدیگر و سطح افق زاویه ۴۵ یا ۹۰ درجه می سازند . زیرا اضلاع مربعپارسیان ، یا موازی محور یا عمود بر آن می باشند . از طرف دیگر ممکن استپارسیان ، پارسیان را قطع نکند و داشته باشیمپارسیان . پس چهار نوع تقارن داریم ، که در شکل شماره گذاری شده اند :
پارسیان
دو حالت داریم :
الف.فرض می کنیم هیچ دو محور تقارنی موازی نباشند پس یا محور تقارن های ۱و۳ با هم وجود دارند، یا محور تقارن های ۲و۴ با هم وجود دارند .
زیرا طبق اصلا لانه کبوتری اگر دو دسته (۳و۱) و (۴و۲) را در نظر بگیریم ، از یک دسته حتماً دو عضوآن انتخاب می شود؛ چون حداقل ۳ محور تقارن داشتیم .
بدون کم شدن از عمومیت مسیله فرض می کنیم دو محور از انواع ۳و۱ داریم :
حالت دوم از دوارن ۹۰ این دو محور نسبت به محل برخورد آنها حاصل می شود (دقت کنید که قرینه و یا دوران ۹۰ درجه محورها و شکل مربع ها ، تنها اضلاع افقی را به عمودی و عمودی را به افقی تبدیل می‌کند و یا تغییر در آنها نمی دهد.) حال فرض کنید محل برخورد دو محورپارسیان مبدا مختصات باشد و پارسیانمرکز یکی از مربع ها باشد . (واضح است که با توجه به یکسان بودن مربع ها و مختصات مرکز آنها و مربع ها به طور یکتا تعیین می شوند)
پارسیان
پس اگرپارسیان موجود باشد آنگاهپارسیان موجود است پس خطپارسیان نیز یک محور تقارن است و شکل حاصل ۳ محور تقارن دارد .
حال اگرپارسیان وپارسیان آنگاه از هر مربع پارسیانمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرپارسیان وپارسیان آنگاه از هر مربع پارسیانمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرپارسیان وپارسیان آنگاه از هر مربع پارسیانمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرپارسیان وپارسیان آنگاه از هر مربع پارسیانمربع ( با خود مربع) حاصل می شود .
•اگرپارسیان آنگاه از هر مربع یک و فقط یک مربع ( یعنی خود مربع ) حاصل می شود . از حالات فوق نتیجه می شود که تعداد مربع ها به شکلپارسیان وپارسیان می باشد .
ب‌.فرض کنید حداقل دو محور تقارن موازی باشند . بدون این که خللی به فرض مسیله وارد شود فرض کنیم ازنوع ۱ باشند و یکیپارسیان به معادله یپارسیان و دیگریپارسیان به معادلهپارسیان باشد وپارسیان مرکز یکی از مربع ها باشد پارسیان
پارسیان
و چونپارسیان بی نهایت نقطه به شکلپارسیان داریم : پس بی نهایت مربع داریم ( تناقض).